一、选择题(每题3分，共18分)
1. 若式子$\sqrt{x + 6}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是()
A. $x ＞ - 6$
B. $x ＜ - 6$
C. $x ≠ - 6$
D. $x ≥ - 6$

解：
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，即：
$x + 6 ≥ 0$
解得：$x ≥ -6$
故选D。

2. 下列各式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是()

A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{6}$

C

根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式：
A. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，被开方数为2；
B. $\sqrt{10}$是最简二次根式，被开方数为10；
C. $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数为3；
D. $\sqrt{6}$是最简二次根式，被开方数为6。
只有$\sqrt{12}$化简后被开方数与$\sqrt{3}$相同，因此它与$\sqrt{3}$是同类二次根式。

3. 计算$\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \sqrt{8}$的结果是()

A.$- \dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$- \dfrac{3}{2}\sqrt{2}$

D

1. 化简二次根式：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$；
2. 合并同类二次根式：原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$。

4. 如图，在数轴上表示实数$\sqrt{13}$的点可能是()

A.点$P$
B.点$Q$
C.点$M$
D.点$N$

C

先估算$\sqrt{13}$的范围，因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。观察数轴可知，点$M$在3和4之间，因此表示$\sqrt{13}$的点可能是点$M$。

5. 若$\sqrt{(2 - a)^{2}} = 2 - a$，则$a$的取值范围是()

A.$a ≥ 2$
B.$a ＞ 2$
C.$a ≤ 2$
D.$a ＜ 2$

C

根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(2 - a)^2}=|2 - a|$。由题意$|2 - a|=2 - a$，根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它本身时，该数为非负数，因此$2 - a≥0$，解得$a≤2$。

6. 如图，数轴上$A$，$B$两点表示的数分别是$2$和$\sqrt{5}$，点$B$关于点$A$的对称点为点$C$，则点$C$所表示的数是()

A.$\sqrt{5} - 2$
B.$4 - \sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} - 4$
D.$2 - \sqrt{5}$

B

设点C表示的数为x。因为点B关于点A对称，所以点A是线段BC的中点，根据中点公式可得：$\frac{x+\sqrt{5}}{2}=2$。解方程得：$x+\sqrt{5}=4$，即$x=4-\sqrt{5}$。

二、填空题(每空6分，共30分)
7. 函数$y = \dfrac{\sqrt{4 - x}}{x - 2}$中，自变量$x$的取值范围是.

解：
根据题意，得
$\begin{cases}4 - x ≥ 0 \\x - 2 ≠ 0\end{cases}$
解不等式$4 - x ≥ 0$，得$x ≤ 4$；
解不等式$x - 2 ≠ 0$，得$x ≠ 2$。
综上，自变量$x$的取值范围是$x ≤ 4$且$x ≠ 2$。

8. 若$a ＜ b$，则$\sqrt{4a^{2} - 8ab + 4b^{2}} =$.

$2b - 2a$

先对根号内的式子因式分解：
$4a^2 - 8ab + 4b^2 = 4(a^2 - 2ab + b^2) = 4(a - b)^2$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{4(a - b)^2} = 2|a - b|$，
因为$a ＜ b$，所以$a - b ＜ 0$，则$|a - b| = b - a$，
因此原式$=2(b - a)=2b - 2a$。

9. 若$|m + 3| + \sqrt{n - 4} = 0$，则$m^{2} + n =$.

13

因为绝对值和算术平方根均为非负数，且$|m + 3| + \sqrt{n - 4} = 0$，所以$m + 3 = 0$，$n - 4 = 0$。解得$m = -3$，$n = 4$。将$m$、$n$代入$m^2 + n$得：$(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。

10. $\sqrt{19} - 3$的整数部分是，小数部分是.

整数部分是1，小数部分是$\sqrt{19}-4$

1. 估算$\sqrt{19}$的范围：因为$16＜19＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$。
2. 推导$\sqrt{19}-3$的范围：不等式两边同时减3，得$4-3＜\sqrt{19}-3＜5-3$，即$1＜\sqrt{19}-3＜2$，因此$\sqrt{19}-3$的整数部分是1。
3. 计算小数部分：小数部分=原数-整数部分，即$(\sqrt{19}-3)-1=\sqrt{19}-4$。

三、解答题（共52分）
11. （每题4分，共24分）计算：
（1）$\sqrt{30} ÷ \sqrt{5}$；
（2）$\sqrt{15} × \dfrac{5}{2}\sqrt{2\dfrac{2}{5}} ÷ 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}$；
（3）$\sqrt{27} - (\sqrt{12} - 2\sqrt{2})$；
（4）$\sqrt{45} - \sqrt{\dfrac{4}{3}} + 5\sqrt{\dfrac{1}{5}} + \sqrt{\dfrac{1}{12}} - \sqrt{5}$；
（5）$\sqrt{(3 - π)^{2}} + \sqrt{(π - 5)^{2}}$；
（6）$\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \dfrac{3}{\sqrt{3}}$.

解：
（1）$\sqrt{30} ÷ \sqrt{5}=\sqrt{30÷5}=\sqrt{6}$；
（2）$\sqrt{15} × \dfrac{5}{2}\sqrt{2\dfrac{2}{5}} ÷ 5\sqrt{\dfrac{1}{15}}$
$=\sqrt{15}×\dfrac{5}{2}\sqrt{\dfrac{12}{5}}÷5\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
$=(\dfrac{5}{2}÷5)×\sqrt{15×\dfrac{12}{5}÷\dfrac{1}{5}}$
$=\dfrac{1}{2}×\sqrt{15×\dfrac{12}{5}×5}$
$=\dfrac{1}{2}×\sqrt{180}$
$=\dfrac{1}{2}×6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}$；
（3）$\sqrt{27} - (\sqrt{12} - 2\sqrt{2})$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{2}$；
（4）$\sqrt{45} - \sqrt{\dfrac{4}{3}} + 5\sqrt{\dfrac{1}{5}} + \sqrt{\dfrac{1}{12}} - \sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{5}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}-\sqrt{5}$
$=(3\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{5})+(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{6})$
$=3\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；
（5）$\sqrt{(3 - π)^{2}} + \sqrt{(π - 5)^{2}}$
$=|3-π|+|π-5|$
$=π-3+5-π$
$=2$；
（6）$\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \dfrac{3}{\sqrt{3}}$
$=6-\sqrt{12}+\sqrt{3}$
$=6-2\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=6-\sqrt{3}$。