12. （6分）先将$\dfrac{\sqrt{a - 2}}{a - 2} ÷ \sqrt{\dfrac{a}{a^{3} - 2a^{2}}}$化简，然后自选一个合适的$a$值，代入化简后的式子求值.

解：
根据二次根式有意义的条件，得：
$\begin{cases}a-2＞0 \\\dfrac{a}{a^3-2a^2}＞0\end{cases}$
$\because a^3-2a^2=a^2(a-2)$，且$a＞2$时，$a^2＞0$，$a-2＞0$，$a＞0$，
$\therefore$ 解得$a＞2$。
化简原式：
$\dfrac{\sqrt{a - 2}}{a - 2} ÷ \sqrt{\dfrac{a}{a^{3} - 2a^{2}}}$
$=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a-2} ÷ \sqrt{\dfrac{a}{a^2(a-2)}}$
$=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a-2} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{a(a-2)}}$
$=\dfrac{\sqrt{a-2}}{a-2} × \sqrt{a(a-2)}$
$=\dfrac{\sqrt{a-2} · \sqrt{a} · \sqrt{a-2}}{a-2}$
$=\dfrac{\sqrt{a} · (a-2)}{a-2}$
$=\sqrt{a}$
取$a=3$（$a＞2$即可），代入得：
原式$=\sqrt{3}$

13. （6分）实数$m$，$n$在数轴上的位置如图，化简$2\sqrt{m^{2}} - \sqrt{n^{2}} + \sqrt{(m - n)^{2}}$.

解：由数轴可知，$-1＜m＜0$，$0＜n＜1$，
则$m＜0$，$n＞0$，$m-n＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得：
$2\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}+\sqrt{(m-n)^2}$
$=2|m|-|n|+|m-n|$
$=2(-m)-n+(n-m)$
$=-2m -n +n -m$
$=-3m$

14. （8分）已知$a - b = 3\sqrt{2} - 2$，$ab = 2\sqrt{2}$，求代数式$(a + 1)(b - 1)$的值.

解：
$(a + 1)(b - 1)$
$=ab - a + b - 1$
$=ab - (a - b) - 1$
当$a - b = 3\sqrt{2} - 2$，$ab = 2\sqrt{2}$时，
原式$=2\sqrt{2} - (3\sqrt{2} - 2) - 1$
$=2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2 - 1$
$=1 - \sqrt{2}$

15. （8分）已知$x = \sqrt{3} + 1$，$y = \sqrt{3} - 1$，求下列各式的值：
（1）$x^{2} - xy + y^{2}$；
（2）$\dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}$.

解：
先计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3}$，
$xy = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$。
（1）$x^2 - xy + y^2$
$= (x^2 + 2xy + y^2) - 3xy$
$= (x + y)^2 - 3xy$
$= (2\sqrt{3})^2 - 3×2$
$= 12 - 6$
$= 6$。
（2）$\dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}$
$= \dfrac{y^2 - x^2}{xy}$
$= \dfrac{(y - x)(y + x)}{xy}$
$\because y - x = (\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 1) = -2$，
$\therefore$ 原式$= \dfrac{(-2)×2\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}$。