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知识梳理
1. 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的内角之和能否为。若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满。
2. 形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成图形；形状、大小相同的任意四边形(凸四边形)能镶嵌成平面图形。
3. (1)用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形。
(2)用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形；③正三角形、正十边形与正十五边形；④正方形、正五边形与正二十边形。
1. 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的内角之和能否为。若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满。
2. 形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成图形；形状、大小相同的任意四边形(凸四边形)能镶嵌成平面图形。
3. (1)用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形。
(2)用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形；③正三角形、正十边形与正十五边形；④正方形、正五边形与正二十边形。
答案
1.$360^{\circ}$；2. 平面
解析
1. 正多边形组合能否铺满地面，关键看同一顶点处几个多边形内角和是否为$360^{\circ}$，这是平面镶嵌的基本条件。
2. 形状、大小完全相同的任意三角形，其内角和为$180^{\circ}$，$6$个三角形就可以在平面顶点处使内角和达到$360^{\circ}$，能镶嵌成平面图形；形状、大小相同的任意四边形（凸四边形），其内角和为$360^{\circ}$，在平面顶点处四个四边形的内角可以拼合为$360^{\circ}$，能镶嵌成平面图形。
2. 形状、大小完全相同的任意三角形，其内角和为$180^{\circ}$，$6$个三角形就可以在平面顶点处使内角和达到$360^{\circ}$，能镶嵌成平面图形；形状、大小相同的任意四边形（凸四边形），其内角和为$360^{\circ}$，在平面顶点处四个四边形的内角可以拼合为$360^{\circ}$，能镶嵌成平面图形。
重难点 用多种正多边形铺设
【典例】“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正 $n$ 边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则 $n$ 的值为（B）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
解析：由题意，得正 $n$ 边形的一个内角 $=(360^{\circ}-90^{\circ})÷2 = 135^{\circ}$，
$\therefore 135^{\circ}n=(n - 2)·180^{\circ}$，解得 $n = 8$。
故选 B。
【典例】“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正 $n$ 边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则 $n$ 的值为（B）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
解析：由题意，得正 $n$ 边形的一个内角 $=(360^{\circ}-90^{\circ})÷2 = 135^{\circ}$，
$\therefore 135^{\circ}n=(n - 2)·180^{\circ}$，解得 $n = 8$。
故选 B。
答案
B
解析
正方形的每个内角为$90°$，两种地砖结合处的各角之和为$360°$，
因此正$n$边形的每个内角为：
$(360° - 90°) ÷ 2 = 135°$，
根据正多边形的内角公式，内角为：
$\frac{(n - 2) · 180°}{n}$，
所以有：
$\frac{(n - 2) · 180°}{n} = 135°$，
解方程：
$135n = 180n - 360$，
$45n = 360$，
$n = 8$。
因此正$n$边形的每个内角为：
$(360° - 90°) ÷ 2 = 135°$，
根据正多边形的内角公式，内角为：
$\frac{(n - 2) · 180°}{n}$，
所以有：
$\frac{(n - 2) · 180°}{n} = 135°$，
解方程：
$135n = 180n - 360$，
$45n = 360$，
$n = 8$。
对点训练
下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是()
A. 正六边形和正三角形
B. 正六边形和正方形
C. 正八边形和正五边形
D. 正十二边形和正五边形
下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是()
A. 正六边形和正三角形
B. 正六边形和正方形
C. 正八边形和正五边形
D. 正十二边形和正五边形
答案
A
解析
要判断正多边形组合能否铺满地面，需看在同一顶点处几个多边形的内角组合能否拼成$360^{\circ}$，即围绕一点的多边形内角和为$360^{\circ}$且各多边形数量为正整数。
正三角形内角为$60^{\circ}$，正六边形内角为$120^{\circ}$，设用$x$个正三角形和$y$个正六边形，$60x + 120y=360$，化简得$x + 2y = 6$，当$y = 1$，$x = 4；y = 2$，$x = 2；y = 3$，$x = 0（舍去）$等有正整数解，可以铺满。
正方形内角为$90^{\circ}$，正六边形内角为$120^{\circ}$，设用$m$个正方形和$n$个正六边形，$90m+120n = 360$，化简为$3m + 4n = 12$，$4n=12 - 3m$，$n = 3-\frac{3m}{4}$，无正整数解，不能铺满。
正八边形内角为$135^{\circ}$，正五边形内角为$108^{\circ}$，设用$a$个正八边形和$b$个正五边形，$135a+108b = 360$，化简为$15a + 12b = 40$，$5a+4b=\frac{40}{3}$，无正整数解，不能铺满。
正十二边形内角为$150^{\circ}$，正五边形内角为$108^{\circ}$，设用$p$个正十二边形和$q$个正五边形，$150p+108q = 360$，化简为$25p + 18q = 60$，$q=\frac{60 - 25p}{18}$，无正整数解，不能铺满。
正三角形内角为$60^{\circ}$，正六边形内角为$120^{\circ}$，设用$x$个正三角形和$y$个正六边形，$60x + 120y=360$，化简得$x + 2y = 6$，当$y = 1$，$x = 4；y = 2$，$x = 2；y = 3$，$x = 0（舍去）$等有正整数解，可以铺满。
正方形内角为$90^{\circ}$，正六边形内角为$120^{\circ}$，设用$m$个正方形和$n$个正六边形，$90m+120n = 360$，化简为$3m + 4n = 12$，$4n=12 - 3m$，$n = 3-\frac{3m}{4}$，无正整数解，不能铺满。
正八边形内角为$135^{\circ}$，正五边形内角为$108^{\circ}$，设用$a$个正八边形和$b$个正五边形，$135a+108b = 360$，化简为$15a + 12b = 40$，$5a+4b=\frac{40}{3}$，无正整数解，不能铺满。
正十二边形内角为$150^{\circ}$，正五边形内角为$108^{\circ}$，设用$p$个正十二边形和$q$个正五边形，$150p+108q = 360$，化简为$25p + 18q = 60$，$q=\frac{60 - 25p}{18}$，无正整数解，不能铺满。
基础巩固
1. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是()
A. 正方形
B. 正五边形
C. 正六边形
D. 正十二边形
2. 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有 $m$ 个正三角形、$n$ 个正六边形，则 $m$，$n$ 满足的关系式是()
A. $2m + 3n = 12$
B. $m + n = 8$
C. $2m + n = 6$
D. $m + 2n = 6$
3. 用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有 3 个等边三角形和个正方形。
4. 用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有 $m$ 个正方形，$n$ 个正八边形，则 $m + n=$。
5. 用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形 6 个，第二个图案中有正三角形 10 个，……，则第 12 个图案中正三角形的个数为。
6. 用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形能否镶嵌成平面图案？说明理由。
7. 小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种正八边形的地砖，可服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，于是又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、长方形的、正三角形的、平行四边形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？(列举 2 种即可)
1. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是()
A. 正方形
B. 正五边形
C. 正六边形
D. 正十二边形
2. 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有 $m$ 个正三角形、$n$ 个正六边形，则 $m$，$n$ 满足的关系式是()
A. $2m + 3n = 12$
B. $m + n = 8$
C. $2m + n = 6$
D. $m + 2n = 6$
3. 用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有 3 个等边三角形和个正方形。
4. 用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有 $m$ 个正方形，$n$ 个正八边形，则 $m + n=$。
5. 用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形 6 个，第二个图案中有正三角形 10 个，……，则第 12 个图案中正三角形的个数为。
6. 用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形能否镶嵌成平面图案？说明理由。
7. 小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种正八边形的地砖，可服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，于是又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、长方形的、正三角形的、平行四边形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？(列举 2 种即可)
答案
1. B
2. D
3. 2
4. 3
5. 50
6. 不能。
7. 正方形、等腰直角三角形
2. D
3. 2
4. 3
5. 50
6. 不能。
7. 正方形、等腰直角三角形
解析
1.正三角形的内角为$60°$，正五边形内角为$108°$，不能整除$360°$，所以不能密铺。
正方形内角$90°$，$360÷90=4$，可以密铺。
正六边形内角$120°$，$360÷120=3$，可以密铺。
正十二边形内角$150°$，但$150°+150°+60°=360°$，可以与正三角形组合密铺。
2.正三角形内角$60°$，正六边形内角$120°$，设每个顶点周围有$m$个正三角形，$n$个正六边形，则：
$60m+120n=360$。
化简得：
$m+2n=6$。
3.等边三角形内角$60°$，正方形内角$90°$。设每个顶点周围有$x$个等边三角形，$y$个正方形，则：
$60x+90y=360$。
已知$x=3$，代入得：
$180+90y=360$。
$90y=180$。
$y=2$。
4.正方形内角$90°$，正八边形内角$135°$。设每个顶点周围有$m$个正方形，$n$个正八边形，则：
$90m+135n=360$。
化简得：
$2m+3n=8$。
通过尝试，$n=2,m=1$时等式成立，所以$m+n=3$。
5.观察图案规律，第$n$个图案中正三角形个数为：
$4n+2$。
第12个图案中正三角形个数为：
$4× 12+2=50$。
6.正方形内角$90°$，正五边形内角$108°$，正十二边形内角$150°$。三者内角和为：
$90+108+150=348°≠ 360°$。
不能密铺。
7.正八边形内角$135°$，特别地，$2× 135°+90°=360°$，合条件的地砖有正方形和等腰直角三角形。
正方形内角$90°$，$360÷90=4$，可以密铺。
正六边形内角$120°$，$360÷120=3$，可以密铺。
正十二边形内角$150°$，但$150°+150°+60°=360°$，可以与正三角形组合密铺。
2.正三角形内角$60°$，正六边形内角$120°$，设每个顶点周围有$m$个正三角形，$n$个正六边形，则：
$60m+120n=360$。
化简得：
$m+2n=6$。
3.等边三角形内角$60°$，正方形内角$90°$。设每个顶点周围有$x$个等边三角形，$y$个正方形，则：
$60x+90y=360$。
已知$x=3$，代入得：
$180+90y=360$。
$90y=180$。
$y=2$。
4.正方形内角$90°$，正八边形内角$135°$。设每个顶点周围有$m$个正方形，$n$个正八边形，则：
$90m+135n=360$。
化简得：
$2m+3n=8$。
通过尝试，$n=2,m=1$时等式成立，所以$m+n=3$。
5.观察图案规律，第$n$个图案中正三角形个数为：
$4n+2$。
第12个图案中正三角形个数为：
$4× 12+2=50$。
6.正方形内角$90°$，正五边形内角$108°$，正十二边形内角$150°$。三者内角和为：
$90+108+150=348°≠ 360°$。
不能密铺。
7.正八边形内角$135°$，特别地，$2× 135°+90°=360°$，合条件的地砖有正方形和等腰直角三角形。
