素养提升
8. （应用意识）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案。也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）。这显然与正多边形的内角大小有关。当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（$360^{\circ}$）时，就拼成了一个平面图形。
（1）请根据下列图形，填写表中空格：

（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）在正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由。

(1) 60°，90°，108°，120°；
(2) 正三角形、正方形、正六边形；
(3) 见解析。

(1) 根据正多边形的内角公式：
$ \mathrm{内角度数} = \frac{(n-2) × 180°}{n} $
填入表格：
正三角形：$ \frac{(3-2) × 180°}{3} = 60° $，
正方形：$ \frac{(4-2) × 180°}{4} = 90° $，
正五边形：$ \frac{(5-2) × 180°}{5} = 108° $，
正六边形：$ \frac{(6-2) × 180°}{6} = 120° $。
填表如下：
| 正多边形边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 正多边形每个内角的度数 | 60° | 90° | 108° | 120° | … |
(2) 如果限于用一种正多边形镶嵌，则该正多边形的内角度数应能整除360°。即：
$ \frac{360°}{\mathrm{内角度数}} $ 应为整数。
正三角形：$ \frac{360°}{60°} = 6 $，整数，可以镶嵌。
正方形：$ \frac{360°}{90°} = 4 $，整数，可以镶嵌。
正五边形：$ \frac{360°}{108°} \approx 3.33 $，非整数，不能镶嵌。
正六边形：$ \frac{360°}{120°} = 3 $，整数，可以镶嵌。
所以，正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图形。
(3) 选择正三角形和正方形：
正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°。
设用m个正三角形和n个正方形镶嵌，则：
$ 60m + 90n = 360° $
解得：
$ 2m + 3n = 12 $
即：
$ m = 6 - \frac{3}{2}n $
为使m为正整数，n应为2的倍数，即n=2时，m=3；n=4时，m=0（舍去）。
所以，用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌成一个平面图形。
选择正三角形和正六边形：
正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°。
设用m个正三角形和n个正六边形镶嵌，则：
$ 60m + 120n = 360° $
解得：
$ m + 2n = 6 $
即：
$ m = 6 - 2n $
为使m为正整数，n可以取1, 2。
当n=1时，m=4；当n=2时，m=2。
所以，用4个正三角形和1个正六边形，或者用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌成一个平面图形。
选择正方形和正六边形：
正方形的内角为90°，正六边形的内角为120°。
设用m个正方形和n个正六边形镶嵌，则：
$ 90m + 120n = 360° $
解得：
$ 3m + 4n = 12 $
此方程无整数解，所以正方形和正六边形不能组合镶嵌。
综上所述，可以选择正三角形和正方形、正三角形和正六边形进行组合镶嵌，分别能镶嵌成1种和2种不同的平面图形。