4. 如图，直线 $l$ 过正方形 $ABCD$ 的顶点 $B$，点 $A$，$C$ 到直线 $l$ 的距离分别是 $1$ 和 $2$，则正方形的边长是.

4. $ \sqrt{5} $.

5. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$△ ABE$ 和 $△ CDF$ 为直角三角形，$∠ AEB = ∠ CFD = 90°$，$AE = CF = 5$，$BE = DF = 12$，则 $EF$ 的长是.

5. $ 7\sqrt{2} $.

6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $CD$，$AD$ 上的点，且 $CE = DF$，$BE$，$CF$ 相交于点 $G$.求证：$BE⊥ CF$.

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $BC = CD$，$∠ BCE = ∠ CDF = 90°$。
∵ $CE = DF$，
∴ $△ BCE ≌ △ CDF$（SAS）。
∴ $∠ CBE = ∠ DCF$。
∵ $∠ DCF + ∠ BCG = 90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ BCG = 90°$。
∴ $∠ BGC = 180° - 90° = 90°$。
∴ $BE ⊥ CF$。

已知：四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB = 20$，点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别在边 $AB$，$BC$，$AD$，$DC$ 上.

（1）如图（1），若 $∠ EDF = 45°$，$AE = CF$，求 $∠ DFC$ 的度数；
（2）如图（2），若 $∠ EDF = 45°$，点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$BC$ 上的动点，求证：$△ EBF$ 的周长是定值；
（3）如图（3），若 $GD = BF = 5$，$GF$ 和 $EH$ 交于点 $O$，且 $∠ EOF = 45°$，求 $EH$ 的长度.

（1）$ 67.5^{\circ} $.
（2）如图（1），延长 $ BC $ 到点 $ K $，使 $ CK = AE $，连接 $ DK $.
$ \because ∠ DCK = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ DCK = ∠ A $，
$ \therefore △ DCK ≌ △ DAE(SAS) $，
$ \therefore DK = DE $，$ ∠ CDK = ∠ ADE $，
$ \therefore ∠ KDF = ∠ CDK + ∠ CDF = ∠ ADE + ∠ CDF = 45^{\circ} $，
$ \therefore ∠ KDF = ∠ EDF $. $ \because DF = DF $，
$ \therefore △ KDF ≌ △ EDF(SAS) $，$ \therefore KF = EF $.
$ \because KF = CK + CF = AE + CF $，$ \therefore EF = AE + CF $，
$ \therefore BE + EF + BF = BE + AE + CF + BF = AB + BC $.
$ \because AB = BC = 20 $，$ \therefore BE + EF + BF = 40 $，$ \therefore △ EBF $ 的周长是定值.

（3）如图（2），作 $ DL // EH $，交 $ AB $ 于点 $ L $，交 $ FG $ 于点 $ P $，作 $ DM // FG $，交 $ BC $ 于点 $ M $，交 $ EH $ 于点 $ Q $，连接 $ LM $. $ \because DH // LE $，$ DG // FM $，$ \therefore $ 四边形 $ DLEH $、四边形 $ DGFM $、四边形 $ OPDQ $ 都是平行四边形，$ \therefore GD = BF = FM = 5 $，$ EH = DL $，$ ∠ LDM = ∠ POQ = ∠ EOF = 45^{\circ} $，$ \therefore BM = 5 + 5 = 10 $. 由（2）得，$ BL + LM + BM = 40 $，$ \therefore BL + LM = 30 $，
$ \therefore LM = 30 - BL $. $ \because ∠ B = 90^{\circ} $，
$ \therefore BL^{2} + BM^{2} = LM^{2} $，
$ \therefore BL^{2} + 10^{2} = (30 - BL)^{2} $，
解得 $ BL = \frac{40}{3} $，$ \therefore AL = 20 - \frac{40}{3} = \frac{20}{3} $.
$ \because AD = AB = 20 $，
$ \therefore DL = \sqrt{20^{2} + (\frac{20}{3})^{2}} = \frac{20\sqrt{10}}{3} $，
$ \therefore EH = \frac{20\sqrt{10}}{3} $.