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1. 如图，在平面直角坐标系中，若直线 $ y_1 = -x + a $ 与直线 $ y_2 = bx - 4 $ 相交于点 $ P(1, -3) $，则下列结论错误的是()
A.方程 $ -x + a = bx - 4 $ 的解是 $ x = 1 $
B.不等式 $ -x + a ＜ -3 $ 和不等式 $ bx - 4 ＞ -3 $ 的解集相同
C.方程组 $ \begin{cases} x + y = a, \\ y - bx = 4 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases} $
D.不等式 $ bx - 4 ＜ -x + a $ 的解集是 $ x ＜ 1 $
A.方程 $ -x + a = bx - 4 $ 的解是 $ x = 1 $
B.不等式 $ -x + a ＜ -3 $ 和不等式 $ bx - 4 ＞ -3 $ 的解集相同
C.方程组 $ \begin{cases} x + y = a, \\ y - bx = 4 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -3 \end{cases} $
D.不等式 $ bx - 4 ＜ -x + a $ 的解集是 $ x ＜ 1 $
答案
C
解析
∵直线$y_1=-x+a$与$y_2=bx-4$交于点$P(1,-3)$，
∴将$P(1,-3)$代入$y_1$：$-3=-1+a⇒ a=-2$，则$y_1=-x-2$；
代入$y_2$：$-3=b·1-4⇒ b=1$，则$y_2=x-4$。
选项A：方程$-x+a=bx-4$即$y_1=y_2$，交点横坐标为$x=1$，解为$x=1$，正确。
选项B：不等式$-x+a＜-3$即$y_1＜-3$，$y_1=-x-2＜-3⇒ -x＜-1⇒ x＞1$；
不等式$bx-4＞-3$即$y_2＞-3$，$y_2=x-4＞-3⇒ x＞1$，解集相同，正确。
选项C：方程组$\begin{cases}x+y=a\\y-bx=4\end{cases}$，将$a=-2$，$b=1$代入得$\begin{cases}x+y=-2\\y-x=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}≠\begin{cases}1\\-3\end{cases}$，错误。
选项D：不等式$bx-4＜-x+a$即$y_2＜y_1$，$y_1$下降、$y_2$上升，交点$x=1$，故解集$x＜1$，正确。
2. 如图，直线 $ y_1 = k_1x $ 与直线 $ y_2 = k_2x + b $ 交于点 $ A(1, 2) $。当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是。
答案
$x ＜ 1$
解析
根据图象，直线 $ y_1 = k_1x $ 与直线 $ y_2 = k_2x + b $ 交于点 $ A(1, 2) $。当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，直线 $ y_1 $ 在直线 $ y_2 $ 的下方。由图可知，当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $。
3. 已知 $ A $ 地在 $ B $ 地正南方 $ 3 \mathrm{km} $ 处，甲、乙两人同时分别从 $ A $，$ B $ 两地向正北方向匀速直行，他们与 $ A $ 地的距离 $ s $(单位：$ \mathrm{km} $)与所行的时间 $ t $(单位：$ \mathrm{h} $)之间的函数关系图象如图所示。当甲一直在乙的后面时，$ t $ 的取值范围为。
答案
$0≤ t ＜ 2$
解析
由题意，甲从A地出发，乙从B地出发（B在A正北3km处）。设甲的函数为$s_{甲}=k_1t$，乙的函数为$s_{乙}=k_2t + 3$。
图像中甲乙交于点$(2,4)$，代入甲：$4 = 2k_1$，得$k_1=2$，故$s_{甲}=2t$；代入乙：$4 = 2k_2 + 3$，得$k_2=0.5$，故$s_{乙}=0.5t + 3$。
甲在乙后面即$s_{甲}＜s_{乙}$，解$2t ＜ 0.5t + 3$，得$t ＜ 2$。又$t≥0$，所以$0≤ t ＜ 2$。
图像中甲乙交于点$(2,4)$，代入甲：$4 = 2k_1$，得$k_1=2$，故$s_{甲}=2t$；代入乙：$4 = 2k_2 + 3$，得$k_2=0.5$，故$s_{乙}=0.5t + 3$。
甲在乙后面即$s_{甲}＜s_{乙}$，解$2t ＜ 0.5t + 3$，得$t ＜ 2$。又$t≥0$，所以$0≤ t ＜ 2$。
4. 提升题 如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ A $，$ OA = 4 $，与正比例函数 $ y = 3x $ 的图象交于点 $ B $，点 $ B $ 的横坐标为 $ 1 $。
(1)求一次函数 $ y = kx + b $ 的表达式；
(2)请直接写出当 $ kx + b ＜ 3x $ 时，$ x $ 的取值范围：；
(3)若点 $ P $ 在 $ y $ 轴的正半轴上，且满足 $ △ APB $ 的面积是 $ △ AOB $ 面积的一半，求点 $ P $ 的坐标。
(1)求一次函数 $ y = kx + b $ 的表达式；
(2)请直接写出当 $ kx + b ＜ 3x $ 时，$ x $ 的取值范围：；
(3)若点 $ P $ 在 $ y $ 轴的正半轴上，且满足 $ △ APB $ 的面积是 $ △ AOB $ 面积的一半，求点 $ P $ 的坐标。
答案
(1) 点B在y=3x上，横坐标为1，当x=1时，y=3×1=3，∴B(1,3)。
OA=4，点A在x轴上，∴A(4,0)。
将A(4,0)，B(1,3)代入y=kx+b得：
$\begin{cases}4k+b=0\\k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，∴一次函数表达式为y=-x+4。
(2) x＞1
(3) 设P(0,p)，p＞0。
S△AOB=$\frac{1}{2}×OA×|y_B|=\frac{1}{2}×4×3=6$，
则S△APB=$\frac{1}{2}×6=3$。
由A(4,0)，P(0,p)，B(1,3)，面积公式：
$\frac{1}{2}|4(p-3)+0(3-0)+1(0-p)|=3$，
即$\frac{1}{2}|3p-12|=3$，$|p-4|=2$，
解得p=6或p=2，∴P(0,2)或(0,6)。
OA=4，点A在x轴上，∴A(4,0)。
将A(4,0)，B(1,3)代入y=kx+b得：
$\begin{cases}4k+b=0\\k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，∴一次函数表达式为y=-x+4。
(2) x＞1
(3) 设P(0,p)，p＞0。
S△AOB=$\frac{1}{2}×OA×|y_B|=\frac{1}{2}×4×3=6$，
则S△APB=$\frac{1}{2}×6=3$。
由A(4,0)，P(0,p)，B(1,3)，面积公式：
$\frac{1}{2}|4(p-3)+0(3-0)+1(0-p)|=3$，
即$\frac{1}{2}|3p-12|=3$，$|p-4|=2$，
解得p=6或p=2，∴P(0,2)或(0,6)。
