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2. 如图，点E在正方形ABCD的边CD上，连接AE，BE. 若△ABE的面积为8，CE=3，求线段BE的长.
答案
5
解析
设正方形ABCD的边长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ $ AB = BC = CD = DA = x $，$ AB // CD $，$ ∠ C = 90° $。
∵ $ △ ABE $的面积为8，AB为底边，点E到AB的距离等于正方形的边长$ x $，
∴ $ S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × x = \frac{1}{2}x^2 = 8 $。
解得$ x^2 = 16 $，$ x = 4 $（边长为正数）。
∵ $ CE = 3 $，$ BC = x = 4 $，在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，
由勾股定理得：$ BE = \sqrt{BC^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $。
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ $ AB = BC = CD = DA = x $，$ AB // CD $，$ ∠ C = 90° $。
∵ $ △ ABE $的面积为8，AB为底边，点E到AB的距离等于正方形的边长$ x $，
∴ $ S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × x = \frac{1}{2}x^2 = 8 $。
解得$ x^2 = 16 $，$ x = 4 $（边长为正数）。
∵ $ CE = 3 $，$ BC = x = 4 $，在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，
由勾股定理得：$ BE = \sqrt{BC^2 + CE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $。
1. 如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是()
A.2.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.2
A.2.5
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.2
答案
B
解析
以点B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵正方形ABCD中BC=1，∴B(0,0)，C(1,0)，A(0,1)，D(1,1)。
∵正方形CEFG中CE=3，点D在CG上，CE在x轴正方向，CG在y轴正方向，∴E(4,0)，G(1,3)，F(4,3)。
∵H是AF中点，A(0,1)，F(4,3)，∴H点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{1+3}{2})=(2,2)$。
∵C(1,0)，H(2,2)，∴$CH=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。
∵正方形ABCD中BC=1，∴B(0,0)，C(1,0)，A(0,1)，D(1,1)。
∵正方形CEFG中CE=3，点D在CG上，CE在x轴正方向，CG在y轴正方向，∴E(4,0)，G(1,3)，F(4,3)。
∵H是AF中点，A(0,1)，F(4,3)，∴H点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{1+3}{2})=(2,2)$。
∵C(1,0)，H(2,2)，∴$CH=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。
2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接ED，则∠BED的度数为()
A.15°
B.35°
C.45°
D.55°
A.15°
B.35°
C.45°
D.55°
答案
C
解析
设正方形ABCD边长为a，则AB=AD=a。∵△ABE为等边三角形，∴AE=AB=a，∠BAE=60°。∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°。在△ADE中，AD=AE=a，∴△ADE为等腰三角形，∠AED=(180°-150°)/2=15°。∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°。
3. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，如果DE=$\sqrt{5}$，那么四边形ABED的面积是()
A.$\sqrt{5}$
B.4
C.2
D.3
A.$\sqrt{5}$
B.4
C.2
D.3
答案
D
解析
设正方形边长为$a$，则$EC=\frac{a}{2}$。在$Rt△ DCE$中，$DC^2 + EC^2 = DE^2$，即$a^2 + (\frac{a}{2})^2 = (\sqrt{5})^2$，解得$a=2$。四边形$ABED$面积为梯形面积，$S = \frac{(AB + DE_{上底})×高}{2}$，这里$AB = 2$，$BE = 1$，高为$2$，所以$S = \frac{(2 + 1)×2}{2}=3$。
4. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是.
答案
22.5°
解析
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AC平分∠BAD，∠ACB=45°（正方形对角线平分内角）。
∵AE=AC，∴△ACE是等腰三角形，∠ACE=∠AEC。
在△ACE中，∠CAE=∠BAC=45°（AC平分∠BAD），
∴∠ACE=(180°-∠CAE)/2=(180°-45°)/2=67.5°。
∵∠ACB=45°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°。
∵AE=AC，∴△ACE是等腰三角形，∠ACE=∠AEC。
在△ACE中，∠CAE=∠BAC=45°（AC平分∠BAD），
∴∠ACE=(180°-∠CAE)/2=(180°-45°)/2=67.5°。
∵∠ACB=45°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°。
5. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.
答案
8√5
解析
连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO=OC=BO=OD=4。∵AE=CF=2，∴EO=AO-AE=4-2=2，OF=OC-CF=4-2=2，即EO=OF=2。在Rt△BOE中，BE=√(BO²+EO²)=√(4²+2²)=2√5，同理DE=BF=DF=2√5。∴四边形BEDF的周长=4×2√5=8√5。
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2，0)，点E在边CD上. 将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处. 若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为.
答案
(3,10)
解析
设正方形边长为$a$，则$A(-2,0)$，$B(-2+a,0)$，$C(-2+a,a)$。由折叠性质知$BF=BC=a$，$F(0,6)$，则$BF^2=(a-2)^2+6^2=a^2$，解得$a=10$，故$B(8,0)$，$C(8,10)$。设$E(m,10)$，由$EF=EC$得$m^2+(10-6)^2=(8-m)^2$，解得$m=3$，所以$E(3,10)$。
7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE折叠得到△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长是.
答案
4/3
解析
∵正方形ABCD边长为4，E为AD中点，∴AE=ED=2，AB=BC=CD=4，∠A=∠C=∠D=90°．
将△ABE沿BE折叠得△FBE，∴△ABE≌△FBE，∴BF=AB=4，EF=AE=2，∠BFE=∠A=90°，∴∠BFG=90°．
设CG=x，则DG=4-x．
在Rt△BFG和Rt△BCG中，BF=BC=4，BG=BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG=CG=x．
∴EG=EF+FG=2+x．
在Rt△EDG中，EG²=ED²+DG²，即(2+x)²=2²+(4-x)²，解得x=4/3．
8. 如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，O是对角线BD上一动点(点O与端点B，D不重合)，OM⊥AD，垂足为M，ON⊥AB，垂足为N，连接MN，则MN长的最小值为.
答案
1
解析
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。正方形边长为√2，故A(0,0)，B(√2,0)，D(0,√2)，BD方程为x+y=√2。设O(t,√2-t)(0＜t＜√2)，则OM⊥AD得M(0,√2-t)，ON⊥AB得N(t,0)。MN=√[(t-0)²+(0-(√2-t))²]=√(2t²-2√2t+2)。二次函数2t²-2√2t+2对称轴t=√2/2，代入得最小值1，故MN最小值为1。
