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(1) 笑笑在桌子上摆围棋子，她先将 9 颗白棋子摆成一排，再在每相邻两颗白棋子之间放两颗黑棋子，一共可以放(
16
)颗黑棋子。答案
1. (1)16
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是先确定9颗白棋子摆成一排后形成的间隔数。在直线上排列物体时，相邻物体的间隔数比物体数量少1，因此9颗白棋子的间隔数为9-1=8个。每个间隔需要放2颗黑棋子，那么黑棋子的总数就是间隔数乘以每个间隔放置的黑棋子数量，据此可计算出结果。
【解析】
步骤1：计算9颗白棋子之间的间隔数
$9 - 1 = 8$（个）
步骤2：计算黑棋子的总数
$8 × 2 = 16$（颗）
【答案】
16
【知识点】
间隔问题
【点评】
本题考查间隔问题的实际应用，核心是掌握“直线排列中，间隔数=物体数量-1”的关系，通过先求间隔数，再结合每个间隔的黑棋子数量计算总数，考验学生的逻辑推理和简单运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，关键是先确定9颗白棋子摆成一排后形成的间隔数。在直线上排列物体时，相邻物体的间隔数比物体数量少1，因此9颗白棋子的间隔数为9-1=8个。每个间隔需要放2颗黑棋子，那么黑棋子的总数就是间隔数乘以每个间隔放置的黑棋子数量，据此可计算出结果。
【解析】
步骤1：计算9颗白棋子之间的间隔数
$9 - 1 = 8$（个）
步骤2：计算黑棋子的总数
$8 × 2 = 16$（颗）
【答案】
16
【知识点】
间隔问题
【点评】
本题考查间隔问题的实际应用，核心是掌握“直线排列中，间隔数=物体数量-1”的关系，通过先求间隔数，再结合每个间隔的黑棋子数量计算总数，考验学生的逻辑推理和简单运算能力。
【难度系数】
0.7
(2) 在一张纸上画 20 个点，最多能连(
190
)条线段。答案
1. (2)190
解析
【分析】
要解决“20个点最多能连多少条线段”的问题，可从简单情况入手推导规律：
1. 2个点时，最多连1条线段；
2. 3个点时，第1个点可与另外2个点连线，第2个点可与剩下1个点连线（已和第1个点连过），总共1+2=3条；
3. 4个点时，总共1+2+3=6条；
以此类推，n个点最多连线段的数量是从1加到(n-1)的和（避免重复计算），也可通过组合数公式（从n个点中选2个点的组合数）计算。对于20个点，用等差数列求和公式能快速得到结果。
【解析】
n个点最多连线段的数量公式为：
$ \mathrm{线段总数} = 1+2+3+\dots+(n-1) $
当n=20时，这是首项为1、末项为19、项数为19的等差数列，利用等差数列求和公式：
$ \mathrm{和} = \frac{(\mathrm{首项}+\mathrm{末项}) × \mathrm{项数}}{2} $
代入数值计算：
$ \mathrm{线段总数} = \frac{(1+19) × 19}{2} = \frac{20 × 19}{2} = 190 $
【答案】
190
【知识点】
组合数计算、等差数列求和
【点评】
本题考查规律探究与数列求和的应用，解题核心是理解“每两个点连一条线段且不重复”的本质，通过简单案例归纳通用规律，再借助公式快速计算，能培养归纳推理和数学建模能力。
【难度系数】
0.4
要解决“20个点最多能连多少条线段”的问题，可从简单情况入手推导规律：
1. 2个点时，最多连1条线段；
2. 3个点时，第1个点可与另外2个点连线，第2个点可与剩下1个点连线（已和第1个点连过），总共1+2=3条；
3. 4个点时，总共1+2+3=6条；
以此类推，n个点最多连线段的数量是从1加到(n-1)的和（避免重复计算），也可通过组合数公式（从n个点中选2个点的组合数）计算。对于20个点，用等差数列求和公式能快速得到结果。
【解析】
n个点最多连线段的数量公式为：
$ \mathrm{线段总数} = 1+2+3+\dots+(n-1) $
当n=20时，这是首项为1、末项为19、项数为19的等差数列，利用等差数列求和公式：
$ \mathrm{和} = \frac{(\mathrm{首项}+\mathrm{末项}) × \mathrm{项数}}{2} $
代入数值计算：
$ \mathrm{线段总数} = \frac{(1+19) × 19}{2} = \frac{20 × 19}{2} = 190 $
【答案】
190
【知识点】
组合数计算、等差数列求和
【点评】
本题考查规律探究与数列求和的应用，解题核心是理解“每两个点连一条线段且不重复”的本质，通过简单案例归纳通用规律，再借助公式快速计算，能培养归纳推理和数学建模能力。
【难度系数】
0.4
(3) 把一根木头锯 4 段需要 12 分钟，照这样，如果要锯成 8 段需要(
28
)分钟。答案
1. (3)28
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确锯木头的核心逻辑：锯成的段数比锯的次数多1，即锯的次数=段数-1。先根据“锯4段需要12分钟”求出锯一次所需的时间，再计算锯成8段需要的次数，最后用单次时间乘次数得到总时间。具体思考步骤：①计算锯4段的锯木次数；②求出锯一次的时间；③计算锯8段的锯木次数；④算出总时间。
【解析】
1. 计算锯成4段时的锯木次数：
锯成4段，需要锯的次数为 $4 - 1 = 3$（次）
2. 计算锯一次所需的时间：
已知锯3次需要12分钟，每次用时 $12 ÷ 3 = 4$（分钟）
3. 计算锯成8段时的锯木次数：
锯成8段，需要锯的次数为 $8 - 1 = 7$（次）
4. 计算锯成8段的总时间：
总时间为 $4 × 7 = 28$（分钟）
【答案】
28
【知识点】
1. 锯木问题（段次关系）
2. 归一问题
【点评】
本题是锯木模型结合归一问题的典型题目，易错点是易将段数直接等同于锯的次数，忽略“次数=段数-1”的核心关系。解题时需先明确段数与次数的对应关系，再通过归一法求出单次时间，最后计算总时间，能锻炼学生的逻辑分析与实际问题建模能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确锯木头的核心逻辑：锯成的段数比锯的次数多1，即锯的次数=段数-1。先根据“锯4段需要12分钟”求出锯一次所需的时间，再计算锯成8段需要的次数，最后用单次时间乘次数得到总时间。具体思考步骤：①计算锯4段的锯木次数；②求出锯一次的时间；③计算锯8段的锯木次数；④算出总时间。
【解析】
1. 计算锯成4段时的锯木次数：
锯成4段，需要锯的次数为 $4 - 1 = 3$（次）
2. 计算锯一次所需的时间：
已知锯3次需要12分钟，每次用时 $12 ÷ 3 = 4$（分钟）
3. 计算锯成8段时的锯木次数：
锯成8段，需要锯的次数为 $8 - 1 = 7$（次）
4. 计算锯成8段的总时间：
总时间为 $4 × 7 = 28$（分钟）
【答案】
28
【知识点】
1. 锯木问题（段次关系）
2. 归一问题
【点评】
本题是锯木模型结合归一问题的典型题目，易错点是易将段数直接等同于锯的次数，忽略“次数=段数-1”的核心关系。解题时需先明确段数与次数的对应关系，再通过归一法求出单次时间，最后计算总时间，能锻炼学生的逻辑分析与实际问题建模能力。
【难度系数】
0.6
(4) 用小棒摆三角形，摆需要 3 根小棒，摆需要 5 根小棒，摆需要 7 根小棒……像这样摆 m 个三角形需要(
2m+1
)根小棒；当 m = 30 时，需要(61
)根小棒。答案
1. (4)2m+1 61
解析
【分析】
首先观察摆不同数量三角形所需小棒的数量：摆1个三角形用3根，可写成2×1+1；摆2个用5根，可写成2×2+1；摆3个用7根，可写成2×3+1。由此可以发现规律：每增加1个三角形，小棒数量增加2根，因此摆m个三角形时，小棒数量的通用表达式为2m+1。之后将m=30代入表达式，即可计算出对应的小棒数量。
【解析】
1. 推导摆m个三角形的小棒数量：
摆1个三角形：$3 = 2×1 + 1$；
摆2个三角形：$5 = 2×2 + 1$；
摆3个三角形：$7 = 2×3 + 1$；
通过归纳可得，摆m个三角形需要的小棒数量为$2m + 1$根。
2. 当$m = 30$时，代入表达式计算：
$2×30 + 1 = 60 + 1 = 61$（根）
【答案】
$2m+1$；61
【知识点】
用字母表示数、代数式求值、图形规律探究
【点评】
本题通过摆三角形的实际情境，考查图形规律的探究与代数式的应用，需要学生从具体实例中归纳出通用规律，再进行数值代入计算，锻炼观察归纳能力与基本运算能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
首先观察摆不同数量三角形所需小棒的数量：摆1个三角形用3根，可写成2×1+1；摆2个用5根，可写成2×2+1；摆3个用7根，可写成2×3+1。由此可以发现规律：每增加1个三角形，小棒数量增加2根，因此摆m个三角形时，小棒数量的通用表达式为2m+1。之后将m=30代入表达式，即可计算出对应的小棒数量。
【解析】
1. 推导摆m个三角形的小棒数量：
摆1个三角形：$3 = 2×1 + 1$；
摆2个三角形：$5 = 2×2 + 1$；
摆3个三角形：$7 = 2×3 + 1$；
通过归纳可得，摆m个三角形需要的小棒数量为$2m + 1$根。
2. 当$m = 30$时，代入表达式计算：
$2×30 + 1 = 60 + 1 = 61$（根）
【答案】
$2m+1$；61
【知识点】
用字母表示数、代数式求值、图形规律探究
【点评】
本题通过摆三角形的实际情境，考查图形规律的探究与代数式的应用，需要学生从具体实例中归纳出通用规律，再进行数值代入计算，锻炼观察归纳能力与基本运算能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 节日的公园挂起一盏盏彩灯，彩灯按照黄、红、绿、黄、红、绿……的次序有规律地排列在一起，那么第 2009 盏彩灯的颜色是(
A.红色
B.黄色
C.绿色
A
)。A.红色
B.黄色
C.绿色
答案
2. (1)A
解析
【分析】
首先观察彩灯的排列规律，发现彩灯按照黄、红、绿的顺序重复出现，由此确定排列周期为3。接下来要判断第2009盏彩灯的颜色，只需用2009除以周期数3，根据余数来对应周期内的颜色：余数为1对应黄色，余数为2对应红色，整除（余数为0）对应绿色。
【解析】
1. 确定周期：彩灯排列周期为3，顺序是黄、红、绿。
2. 计算余数：$2009÷3 = 669······2$，其中商为669，余数为2。
3. 对应颜色：余数为2，对应周期里的第二个颜色，即红色。
【答案】
A
【知识点】
周期问题
【点评】
本题考查周期规律的实际应用，核心是先找出重复的周期，再通过除法运算得到余数，进而确定目标位置对应的元素，侧重对规律观察和简单计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察彩灯的排列规律，发现彩灯按照黄、红、绿的顺序重复出现，由此确定排列周期为3。接下来要判断第2009盏彩灯的颜色，只需用2009除以周期数3，根据余数来对应周期内的颜色：余数为1对应黄色，余数为2对应红色，整除（余数为0）对应绿色。
【解析】
1. 确定周期：彩灯排列周期为3，顺序是黄、红、绿。
2. 计算余数：$2009÷3 = 669······2$，其中商为669，余数为2。
3. 对应颜色：余数为2，对应周期里的第二个颜色，即红色。
【答案】
A
【知识点】
周期问题
【点评】
本题考查周期规律的实际应用，核心是先找出重复的周期，再通过除法运算得到余数，进而确定目标位置对应的元素，侧重对规律观察和简单计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
(2) 已知三位数的各位数字之积等于 10，则这样的三位数共有(
A.3
B.4
C.6
C
)个。A.3
B.4
C.6
答案
2. (2)C
解析
【分析】
要解决这个问题，可分两步思考：
1. 确定组成三位数的数字：因为三位数各位数字之积为10，先将10分解为三个一位数的乘积。10的正一位数因数为1、2、5，且1×2×5=10，不存在其他符合条件的三个一位数组合（含0则积为0，不符合；含非一位数如10则不满足三位数各位数字要求），因此组成三位数的数字只能是1、2、5。
2. 计算符合条件的三位数个数：这三个数字为不同的一位数，通过全排列计算可组成的三位数总数即可。
【解析】
步骤1：确定组成三位数的数字
将10分解为三个一位数的乘积：$10 = 1×2×5$，结合三位数各位数字为一位数的要求，确定组成该三位数的数字为1、2、5。
步骤2：计算排列数
三个不同数字全排列，百位有3种选择，十位在剩余2个数字中选有2种选择，个位只剩1个数字有1种选择，总个数为：$3×2×1 = 6$（个），分别是125、152、215、251、512、521。
【答案】
C
【知识点】
因数分解，数字排列，三位数的组成
【点评】
本题考查因数分解与排列组合的基础应用，关键是先准确锁定组成三位数的数字，再通过排列计算个数，需注意排除不符合一位数要求的组合，避免漏数或错数。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，可分两步思考：
1. 确定组成三位数的数字：因为三位数各位数字之积为10，先将10分解为三个一位数的乘积。10的正一位数因数为1、2、5，且1×2×5=10，不存在其他符合条件的三个一位数组合（含0则积为0，不符合；含非一位数如10则不满足三位数各位数字要求），因此组成三位数的数字只能是1、2、5。
2. 计算符合条件的三位数个数：这三个数字为不同的一位数，通过全排列计算可组成的三位数总数即可。
【解析】
步骤1：确定组成三位数的数字
将10分解为三个一位数的乘积：$10 = 1×2×5$，结合三位数各位数字为一位数的要求，确定组成该三位数的数字为1、2、5。
步骤2：计算排列数
三个不同数字全排列，百位有3种选择，十位在剩余2个数字中选有2种选择，个位只剩1个数字有1种选择，总个数为：$3×2×1 = 6$（个），分别是125、152、215、251、512、521。
【答案】
C
【知识点】
因数分解，数字排列，三位数的组成
【点评】
本题考查因数分解与排列组合的基础应用，关键是先准确锁定组成三位数的数字，再通过排列计算个数，需注意排除不符合一位数要求的组合，避免漏数或错数。
【难度系数】
0.6
3. 根据下面的图形和字母的关系，将 ab 的图形补上。
答案
3.
解析
【分析】
首先我们需要通过已知的图形与字母组合，拆解出每个字母对应的图形元素：
1. 观察ad（两个同心圆）和cd（大三角形内有小圆），两个组合都包含字母d，且都有圆形，可推出d代表小圆；进而得出a代表大圆。
2. 观察bc（两个嵌套三角形）和cd（大三角形内有小圆），两个组合都包含字母c，且都有三角形，可推出c代表大三角形；进而得出b代表小三角形。
3. 最后组合a（大圆）和b（小三角形），即可得到ab对应的图形：大圆内部嵌套一个小三角形。
【解析】
步骤1：推导字母对应的图形
由ad（同心圆）和cd（大三角内含小圆），二者共同元素是圆形和字母d，确定d=小圆，则a=大圆；
由bc（嵌套三角形）和cd（大三角内含小圆），二者共同元素是三角形和字母c，确定c=大三角形，则b=小三角形；
步骤2：组合ab对应的图形
a是大圆，b是小三角形，因此ab的图形为：
【答案】
大圆内部嵌套一个小三角形（对应图形为上述解析中的图片）
【知识点】
图形逻辑推理、元素对应
【点评】
本题通过观察图形与字母组合的共性，推导单个字母对应的图形元素，考查学生的观察力和逻辑推理能力，需要学生从已知组合中提取共同特征，逐步拆解出对应关系，再进行组合得到结果。
【难度系数】
0.6
首先我们需要通过已知的图形与字母组合，拆解出每个字母对应的图形元素：
1. 观察ad（两个同心圆）和cd（大三角形内有小圆），两个组合都包含字母d，且都有圆形，可推出d代表小圆；进而得出a代表大圆。
2. 观察bc（两个嵌套三角形）和cd（大三角形内有小圆），两个组合都包含字母c，且都有三角形，可推出c代表大三角形；进而得出b代表小三角形。
3. 最后组合a（大圆）和b（小三角形），即可得到ab对应的图形：大圆内部嵌套一个小三角形。
【解析】
步骤1：推导字母对应的图形
由ad（同心圆）和cd（大三角内含小圆），二者共同元素是圆形和字母d，确定d=小圆，则a=大圆；
由bc（嵌套三角形）和cd（大三角内含小圆），二者共同元素是三角形和字母c，确定c=大三角形，则b=小三角形；
步骤2：组合ab对应的图形
a是大圆，b是小三角形，因此ab的图形为：
【答案】
大圆内部嵌套一个小三角形（对应图形为上述解析中的图片）
【知识点】
图形逻辑推理、元素对应
【点评】
本题通过观察图形与字母组合的共性，推导单个字母对应的图形元素，考查学生的观察力和逻辑推理能力，需要学生从已知组合中提取共同特征，逐步拆解出对应关系，再进行组合得到结果。
【难度系数】
0.6
4. 有红、黄、黑三种颜色的帽子。聪聪、明明、乐乐各戴了其中一顶帽子。聪聪说：“我戴的不是红色的。”明明说：“我戴的也不是红色的。”乐乐说：“聪聪戴的不是黑色的。”你知道他们各戴的是什么颜色的帽子吗？
答案
4. 聪聪戴黄帽子，明明戴黑帽子，乐乐戴红帽子。
解析
【分析】
这是一道逻辑推理题，解题核心是运用排除法逐步确定帽子颜色的归属。首先观察三人的表述，聪聪和明明都明确表示自己不戴红色帽子，由于三种颜色每人各戴一顶，所以红色帽子只能属于乐乐；接着根据乐乐所说的“聪聪戴的不是黑色的”，结合聪聪不戴红色的前提，可推出聪聪戴黄色帽子；最后剩下的黑色帽子自然就是明明的。
【解析】
1. 确定红色帽子的佩戴者：
已知聪聪和明明都不戴红色帽子，且三人分别戴红、黄、黑三种颜色的帽子（每人一顶），因此红色帽子只能由乐乐佩戴。
2. 确定聪聪的帽子颜色：
乐乐指出“聪聪戴的不是黑色的”，同时聪聪不戴红色帽子，那么聪聪只能佩戴黄色帽子。
3. 确定明明的帽子颜色：
三种颜色中，红色属于乐乐，黄色属于聪聪，剩余的黑色帽子就由明明佩戴。
【答案】
聪聪戴黄帽子，明明戴黑帽子，乐乐戴红帽子。
【知识点】
逻辑推理（排除法）
【点评】
本题重点考查运用排除法进行逻辑推理的能力，需要学生从已知条件中提取关键信息，逐步排除不可能的情况，进而推导得出正确结论，能有效锻炼学生的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
这是一道逻辑推理题，解题核心是运用排除法逐步确定帽子颜色的归属。首先观察三人的表述，聪聪和明明都明确表示自己不戴红色帽子，由于三种颜色每人各戴一顶，所以红色帽子只能属于乐乐；接着根据乐乐所说的“聪聪戴的不是黑色的”，结合聪聪不戴红色的前提，可推出聪聪戴黄色帽子；最后剩下的黑色帽子自然就是明明的。
【解析】
1. 确定红色帽子的佩戴者：
已知聪聪和明明都不戴红色帽子，且三人分别戴红、黄、黑三种颜色的帽子（每人一顶），因此红色帽子只能由乐乐佩戴。
2. 确定聪聪的帽子颜色：
乐乐指出“聪聪戴的不是黑色的”，同时聪聪不戴红色帽子，那么聪聪只能佩戴黄色帽子。
3. 确定明明的帽子颜色：
三种颜色中，红色属于乐乐，黄色属于聪聪，剩余的黑色帽子就由明明佩戴。
【答案】
聪聪戴黄帽子，明明戴黑帽子，乐乐戴红帽子。
【知识点】
逻辑推理（排除法）
【点评】
本题重点考查运用排除法进行逻辑推理的能力，需要学生从已知条件中提取关键信息，逐步排除不可能的情况，进而推导得出正确结论，能有效锻炼学生的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
5. 用小棒按照下面的方式摆图形。
(1) 第 n 个八边形需要(
(2) 有 141 根小棒，可以摆(
(1) 第 n 个八边形需要(
7n+1
)根小棒。(2) 有 141 根小棒，可以摆(
20
)个这样的八边形。答案
5. (1)7n+1 (2)20
解析
【分析】
1. 第(1)问：先观察摆图规律，摆1个八边形需要8根小棒；摆2个八边形时，因与第一个共用1条边，仅需额外增加7根，共15根；摆3个八边形时，再额外增加7根，共22根。可见每多摆1个八边形，小棒数增加7根。将前几个的小棒数变形：第1个为$7×1+1$，第2个为$7×2+1$，第3个为$7×3+1$，由此可归纳出第$n$个八边形的小棒数规律。
2. 第(2)问：已知小棒总数，代入第(1)问得出的关系式，通过解一元一次方程即可求出能摆的八边形个数。
【解析】
(1) 推导第$n$个八边形的小棒数：
摆1个八边形：小棒数$=8=7×1+1$；
摆2个八边形：小棒数$=8+7=15=7×2+1$；
摆3个八边形：小棒数$=15+7=22=7×3+1$；
……
归纳可得，第$n$个八边形需要小棒：$\boldsymbol{7n+1}$根。
(2) 计算141根小棒可摆的八边形个数：
设能摆$n$个八边形，根据关系式列方程：
$7n+1=141$
移项得：$7n=141-1$
计算得：$7n=140$
两边同时除以7：$n=20$
【答案】
(1) $\boldsymbol{7n+1}$；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查图形规律归纳与一元一次方程的实际应用，核心是通过观察相邻图形的小棒数量变化，提炼出通用表达式，再利用表达式解决数量计算问题，需要学生具备观察归纳能力和基础的方程求解能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先观察摆图规律，摆1个八边形需要8根小棒；摆2个八边形时，因与第一个共用1条边，仅需额外增加7根，共15根；摆3个八边形时，再额外增加7根，共22根。可见每多摆1个八边形，小棒数增加7根。将前几个的小棒数变形：第1个为$7×1+1$，第2个为$7×2+1$，第3个为$7×3+1$，由此可归纳出第$n$个八边形的小棒数规律。
2. 第(2)问：已知小棒总数，代入第(1)问得出的关系式，通过解一元一次方程即可求出能摆的八边形个数。
【解析】
(1) 推导第$n$个八边形的小棒数：
摆1个八边形：小棒数$=8=7×1+1$；
摆2个八边形：小棒数$=8+7=15=7×2+1$；
摆3个八边形：小棒数$=15+7=22=7×3+1$；
……
归纳可得，第$n$个八边形需要小棒：$\boldsymbol{7n+1}$根。
(2) 计算141根小棒可摆的八边形个数：
设能摆$n$个八边形，根据关系式列方程：
$7n+1=141$
移项得：$7n=141-1$
计算得：$7n=140$
两边同时除以7：$n=20$
【答案】
(1) $\boldsymbol{7n+1}$；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查图形规律归纳与一元一次方程的实际应用，核心是通过观察相邻图形的小棒数量变化，提炼出通用表达式，再利用表达式解决数量计算问题，需要学生具备观察归纳能力和基础的方程求解能力。
【难度系数】
0.6
