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例 1 计算：
(1) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}$；
(2) $2\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}$.
(1) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}$；
(2) $2\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}$.
答案
解：
(1) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
(2) $2\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}$
$=2\sqrt{\frac{9}{2}}÷\sqrt{\frac{9}{4}}$
$=2×\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{9}{4}}$
$=2×\sqrt{\frac{9}{2}×\frac{4}{9}}$
$=2×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}$
(1) $\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
(2) $2\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}$
$=2\sqrt{\frac{9}{2}}÷\sqrt{\frac{9}{4}}$
$=2×\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{9}{4}}$
$=2×\sqrt{\frac{9}{2}×\frac{4}{9}}$
$=2×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}$
例 2 化简：
(1) $\sqrt{\frac{7}{100}}$；
(2) $\sqrt{1\frac{32}{49}}$；
(3) $\sqrt{\frac{16x^{4}}{9y^{2}}}(x≥ 0,y＞0)$；
(4) $\sqrt{\frac{9× 25}{64}}$；
(5) $\frac{\sqrt{m^{2}-2mn + n^{2}}}{m - n}(m ＜ n)$.
(1) $\sqrt{\frac{7}{100}}$；
(2) $\sqrt{1\frac{32}{49}}$；
(3) $\sqrt{\frac{16x^{4}}{9y^{2}}}(x≥ 0,y＞0)$；
(4) $\sqrt{\frac{9× 25}{64}}$；
(5) $\frac{\sqrt{m^{2}-2mn + n^{2}}}{m - n}(m ＜ n)$.
答案
解：
(1) $\sqrt{\frac{7}{100}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{7}}{10}$
(2) $\sqrt{1\frac{32}{49}}=\sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}=\frac{9}{7}$
(3) $\sqrt{\frac{16x^{4}}{9y^{2}}}=\frac{\sqrt{16x^{4}}}{\sqrt{9y^{2}}}=\frac{4x^{2}}{3y}$
(4) $\sqrt{\frac{9× 25}{64}}=\frac{\sqrt{9×25}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{9}×\sqrt{25}}{8}=\frac{3×5}{8}=\frac{15}{8}$
(5) $\frac{\sqrt{m^{2}-2mn + n^{2}}}{m - n}=\frac{\sqrt{(m-n)^2}}{m-n}$
$\because m ＜ n$，$\therefore m-n ＜ 0$
$\therefore \sqrt{(m-n)^2}=|m-n|=n-m$
$\therefore$ 原式$=\frac{n-m}{m-n}=\frac{-(m-n)}{m-n}=-1$
(1) $\sqrt{\frac{7}{100}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{7}}{10}$
(2) $\sqrt{1\frac{32}{49}}=\sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}=\frac{9}{7}$
(3) $\sqrt{\frac{16x^{4}}{9y^{2}}}=\frac{\sqrt{16x^{4}}}{\sqrt{9y^{2}}}=\frac{4x^{2}}{3y}$
(4) $\sqrt{\frac{9× 25}{64}}=\frac{\sqrt{9×25}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{9}×\sqrt{25}}{8}=\frac{3×5}{8}=\frac{15}{8}$
(5) $\frac{\sqrt{m^{2}-2mn + n^{2}}}{m - n}=\frac{\sqrt{(m-n)^2}}{m-n}$
$\because m ＜ n$，$\therefore m-n ＜ 0$
$\therefore \sqrt{(m-n)^2}=|m-n|=n-m$
$\therefore$ 原式$=\frac{n-m}{m-n}=\frac{-(m-n)}{m-n}=-1$
1. 下列计算中，错误的是()
A.$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
B.$4\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$
D.$-\sqrt{7\frac{1}{5}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}$
A.$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
B.$4\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$
D.$-\sqrt{7\frac{1}{5}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}$
答案
B
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）逐一计算：
选项A：$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$，计算正确；
选项B：$4\sqrt{\frac{2}{9}}=4×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=4×\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}≠\frac{2\sqrt{2}}{3}$，计算错误；
选项C：$\sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{64}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$，计算正确；
选项D：$-\sqrt{7\frac{1}{5}}=-\sqrt{\frac{36}{5}}=-\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{5}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}$，计算正确（虽未分母有理化，但等式成立）。
综上，错误的是选项B。
选项A：$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$，计算正确；
选项B：$4\sqrt{\frac{2}{9}}=4×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=4×\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}≠\frac{2\sqrt{2}}{3}$，计算错误；
选项C：$\sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{64}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$，计算正确；
选项D：$-\sqrt{7\frac{1}{5}}=-\sqrt{\frac{36}{5}}=-\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{5}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}$，计算正确（虽未分母有理化，但等式成立）。
综上，错误的是选项B。
2. $5\sqrt{\frac{1}{3}}÷\frac{\sqrt{3}}{5}$的计算结果为()
A.1
B.25
C.$\frac{25}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
A.1
B.25
C.$\frac{25}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
C
解析
1. 根据除法运算法则，将原式转化为乘法：$5\sqrt{\frac{1}{3}}÷\frac{\sqrt{3}}{5}=5\sqrt{\frac{1}{3}}×\frac{5}{\sqrt{3}}$
2. 计算系数的乘积：$5×5=25$
3. 利用二次根式除法法则计算根式部分：$\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{1}{3}÷3}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$
4. 合并系数与根式的计算结果：$25×\frac{1}{3}=\frac{25}{3}$
2. 计算系数的乘积：$5×5=25$
3. 利用二次根式除法法则计算根式部分：$\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{1}{3}÷3}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$
4. 合并系数与根式的计算结果：$25×\frac{1}{3}=\frac{25}{3}$
