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7. (分类讨论)如图所示,现有一个长方形,长和宽分别为3cm和2cm,绕它的一条边所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积为( )
A.$12\pi cm^{3}$
B.$27\pi cm^{3}$
C.$12\pi cm^{3}或18\pi cm^{3}$
D.$12\pi cm^{3}或27\pi cm^{3}$
A.$12\pi cm^{3}$
B.$27\pi cm^{3}$
C.$12\pi cm^{3}或18\pi cm^{3}$
D.$12\pi cm^{3}或27\pi cm^{3}$
答案
C 解析:以3 cm的边所在的直线为轴,旋转一周所得到的是底面半径为2 cm、高为3 cm的圆柱,因此体积为$\pi×2^{2}×3=12\pi(cm^3)$;以2 cm的边所在的直线为轴,旋转一周所得到的是底面半径为3 cm、高为2 cm的圆柱,因此体积为$\pi×3^{2}×2=18\pi(cm^3)$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确长方形绕一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆柱，由于旋转轴不确定，需分两种情况讨论：①以长度为3cm的边为轴旋转；②以长度为2cm的边为轴旋转。分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若以3cm的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为2cm，高为3cm，根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，可得体积为：$V_1=π×2^2×3=12π\ (\mathrm{cm}^3)$；
2. 若以2cm的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为3cm，高为2cm，同理可得体积为：$V_2=π×3^2×2=18π\ (\mathrm{cm}^3)$。
因此得到的几何体体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略旋转轴的不同情况导致漏解，解题时要先明确不同旋转方式下圆柱的底面半径和高的对应值，再代入公式计算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确长方形绕一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆柱，由于旋转轴不确定，需分两种情况讨论：①以长度为3cm的边为轴旋转；②以长度为2cm的边为轴旋转。分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若以3cm的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为2cm，高为3cm，根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，可得体积为：$V_1=π×2^2×3=12π\ (\mathrm{cm}^3)$；
2. 若以2cm的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱底面半径为3cm，高为2cm，同理可得体积为：$V_2=π×3^2×2=18π\ (\mathrm{cm}^3)$。
因此得到的几何体体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$或$18π\ \mathrm{cm}^3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略旋转轴的不同情况导致漏解，解题时要先明确不同旋转方式下圆柱的底面半径和高的对应值，再代入公式计算。
【难度系数】
0.7
8. 如图所示,封闭玻璃容器里装有液体(单位：cm),竖放时液体刚好成正方体的形状,横放时液体高______cm。
答案
6.4
解析
【分析】
解题核心是液体体积不随容器摆放方式改变而变化。第一步先计算竖放时液体的体积，此时液体是棱长为8cm的正方体，用正方体体积公式可求出体积；第二步计算容器横放时的底面积，横放后容器底面是长10cm、宽8cm的长方形，用长方形面积公式求出底面积；第三步根据体积不变，用液体体积除以横放后的底面积，就能得到横放时液体的高度。
【解析】
1. 计算竖放时液体的体积
竖放时液体为棱长8cm的正方体，根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长），可得：
$V_{\mathrm{液}}=8×8×8=512\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算横放时容器的底面积
横放后容器的底面长为10cm、宽为8cm，根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$S_{\mathrm{底}}=10×8=80\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算横放时液体的高度
液体体积不变，根据长方体体积公式$V=S× h$（$h$为高），变形得$h=V÷ S$，代入数值计算：
$h=512÷80=6.4\ \mathrm{cm}$
【答案】
6.4
【知识点】
正方体体积计算；长方体体积计算；等积变形
【点评】
本题是几何体体积相关的典型应用题，解题关键是抓住液体体积不变这一不变量，结合不同摆放状态下的底面积求解高度，解题时要注意排除容器摆放形式的干扰，准确提取对应计算所需的边长参数。
【难度系数】
0.7
解题核心是液体体积不随容器摆放方式改变而变化。第一步先计算竖放时液体的体积，此时液体是棱长为8cm的正方体，用正方体体积公式可求出体积；第二步计算容器横放时的底面积，横放后容器底面是长10cm、宽8cm的长方形，用长方形面积公式求出底面积；第三步根据体积不变，用液体体积除以横放后的底面积，就能得到横放时液体的高度。
【解析】
1. 计算竖放时液体的体积
竖放时液体为棱长8cm的正方体，根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长），可得：
$V_{\mathrm{液}}=8×8×8=512\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算横放时容器的底面积
横放后容器的底面长为10cm、宽为8cm，根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$S_{\mathrm{底}}=10×8=80\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算横放时液体的高度
液体体积不变，根据长方体体积公式$V=S× h$（$h$为高），变形得$h=V÷ S$，代入数值计算：
$h=512÷80=6.4\ \mathrm{cm}$
【答案】
6.4
【知识点】
正方体体积计算；长方体体积计算；等积变形
【点评】
本题是几何体体积相关的典型应用题，解题关键是抓住液体体积不变这一不变量，结合不同摆放状态下的底面积求解高度，解题时要注意排除容器摆放形式的干扰，准确提取对应计算所需的边长参数。
【难度系数】
0.7
9. 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴,将梯形旋转一周,得到两个立体图形。
你同意谁的说法？请说明理由。
你同意谁的说法？请说明理由。
答案
解:我同意小红的说法.理由如下: 甲的体积:$\pi×3^{2}×6-\frac{1}{3}\pi×3^{2}×(6-3)=54\pi-9\pi=45\pi(cm^3)$, 乙的体积:$\pi×3^{2}×3+\frac{1}{3}\pi×3^{2}×(6-3)=27\pi+9\pi=36\pi(cm^3)$, 因为$45\pi≠36\pi$, 所以甲、乙两个立体图形的体积不相等.
解析
【分析】
要判断两人说法是否正确，需先明确两个旋转后立体图形的构成，分别计算体积再比较大小。首先分析图形：甲是直角梯形以上底为轴旋转得到的，可看作底面半径3cm、高6cm的圆柱挖去1个底面半径3cm、高3cm的圆锥；乙是直角梯形以下底为轴旋转得到的，可看作底面半径3cm、高3cm的圆柱加上1个底面半径3cm、高3cm的圆锥。再分别代入圆柱、圆锥体积公式计算，对比体积大小即可得出结论。
【解析】
解：同意小红的说法，理由如下：
圆柱体积公式为$V_{圆柱}=π r^2 h$，圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，两个立体图形的底面半径均为$r=3\mathrm{cm}$。
1. 计算甲的体积：
$V_甲=π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)$
$=54π - 9π$
$=45π \, (\mathrm{cm}^3)$
2. 计算乙的体积：
$V_乙=π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)$
$=27π + 9π$
$=36π \, (\mathrm{cm}^3)$
因为$45π ≠ 36π$，所以甲、乙两个立体图形的体积不相等。
【答案】
同意小红的说法，甲、乙两个立体图形体积不相等，甲体积为$45π\mathrm{cm}^3$，乙体积为$36π\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题解题的核心是准确判断不同旋转轴下旋转得到的立体图形的组成，再结合体积公式计算比较，需要注意同一平面图形以不同边为轴旋转，得到的立体图形结构一般不同，体积也不一定相等。
【难度系数】
0.7
要判断两人说法是否正确，需先明确两个旋转后立体图形的构成，分别计算体积再比较大小。首先分析图形：甲是直角梯形以上底为轴旋转得到的，可看作底面半径3cm、高6cm的圆柱挖去1个底面半径3cm、高3cm的圆锥；乙是直角梯形以下底为轴旋转得到的，可看作底面半径3cm、高3cm的圆柱加上1个底面半径3cm、高3cm的圆锥。再分别代入圆柱、圆锥体积公式计算，对比体积大小即可得出结论。
【解析】
解：同意小红的说法，理由如下：
圆柱体积公式为$V_{圆柱}=π r^2 h$，圆锥体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，两个立体图形的底面半径均为$r=3\mathrm{cm}$。
1. 计算甲的体积：
$V_甲=π×3^2×6 - \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)$
$=54π - 9π$
$=45π \, (\mathrm{cm}^3)$
2. 计算乙的体积：
$V_乙=π×3^2×3 + \frac{1}{3}×π×3^2×(6-3)$
$=27π + 9π$
$=36π \, (\mathrm{cm}^3)$
因为$45π ≠ 36π$，所以甲、乙两个立体图形的体积不相等。
【答案】
同意小红的说法，甲、乙两个立体图形体积不相等，甲体积为$45π\mathrm{cm}^3$，乙体积为$36π\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题解题的核心是准确判断不同旋转轴下旋转得到的立体图形的组成，再结合体积公式计算比较，需要注意同一平面图形以不同边为轴旋转，得到的立体图形结构一般不同，体积也不一定相等。
【难度系数】
0.7
10. 观察下列立体图形,并把下表补充完整。
| | 三棱柱 | 四棱柱 | 五棱柱 | 六棱柱 |
| 图形 | | | | |
| 顶点数$a$ | 6 | | 10 | 12 |
| 棱数$b$ | 9 | 12 | | |
| 面数$c$ | 5 | | | 8 |
观察上表中的结果,你能发现$a$,$b$,$c$之间有什么关系吗？请写出关系式。
| | 三棱柱 | 四棱柱 | 五棱柱 | 六棱柱 |
| 图形 | | | | |
| 顶点数$a$ | 6 | | 10 | 12 |
| 棱数$b$ | 9 | 12 | | |
| 面数$c$ | 5 | | | 8 |
观察上表中的结果,你能发现$a$,$b$,$c$之间有什么关系吗？请写出关系式。
答案
解:表格中数据从上到下、从左到右依次为8,15,18,6,7. 关系式为$a+c-b=2$.
解析
【分析】
解题时首先明确n棱柱的结构特点：n棱柱有2个形状为n边形的底面，和n个长方形侧面。我们可以先推导n棱柱的顶点数、棱数、面数和n的关系：顶点数为上下底面顶点之和，共2n个；棱数包括上下底面各n条棱加n条侧棱，共3n条；面数包括2个底面加n个侧面，共n+2个。再根据该规律补充表格空缺内容，最后将每组a、b、c的数值代入计算，归纳得出三者的等量关系。
【解析】
第一步：补充表格空缺内容
①四棱柱对应n=4：顶点数a=2×4=8，面数c=4+2=6；
②五棱柱对应n=5：棱数b=3×5=15，面数c=5+2=7；
③六棱柱对应n=6：棱数b=3×6=18；
因此表格中数据从上到下、从左到右依次为8，15，18，6，7。
第二步：探究a、b、c的关系
将四组数据分别代入计算：
三棱柱：$a=6,b=9,c=5$，$6+5-9=2$；
四棱柱：$a=8,b=12,c=6$，$8+6-12=2$；
五棱柱：$a=10,b=15,c=7$，$10+7-15=2$；
六棱柱：$a=12,b=18,c=8$，$12+8-18=2$；
四组计算结果均为2，因此可得到三者关系式。
【答案】
表格数据从上到下、从左到右依次为8，15，18，6，7；关系式为$\boldsymbol{a+c-b=2}$
【知识点】
棱柱的结构特征，规律探究，点线面数量关系
【点评】
本题考查对棱柱基本结构的掌握，通过从特殊到一般的归纳方法推导几何体点、棱、面的数量关系，既需要熟悉棱柱的构成特点，也需要具备一定的归纳总结能力，是几何入门的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确n棱柱的结构特点：n棱柱有2个形状为n边形的底面，和n个长方形侧面。我们可以先推导n棱柱的顶点数、棱数、面数和n的关系：顶点数为上下底面顶点之和，共2n个；棱数包括上下底面各n条棱加n条侧棱，共3n条；面数包括2个底面加n个侧面，共n+2个。再根据该规律补充表格空缺内容，最后将每组a、b、c的数值代入计算，归纳得出三者的等量关系。
【解析】
第一步：补充表格空缺内容
①四棱柱对应n=4：顶点数a=2×4=8，面数c=4+2=6；
②五棱柱对应n=5：棱数b=3×5=15，面数c=5+2=7；
③六棱柱对应n=6：棱数b=3×6=18；
因此表格中数据从上到下、从左到右依次为8，15，18，6，7。
第二步：探究a、b、c的关系
将四组数据分别代入计算：
三棱柱：$a=6,b=9,c=5$，$6+5-9=2$；
四棱柱：$a=8,b=12,c=6$，$8+6-12=2$；
五棱柱：$a=10,b=15,c=7$，$10+7-15=2$；
六棱柱：$a=12,b=18,c=8$，$12+8-18=2$；
四组计算结果均为2，因此可得到三者关系式。
【答案】
表格数据从上到下、从左到右依次为8，15，18，6，7；关系式为$\boldsymbol{a+c-b=2}$
【知识点】
棱柱的结构特征，规律探究，点线面数量关系
【点评】
本题考查对棱柱基本结构的掌握，通过从特殊到一般的归纳方法推导几何体点、棱、面的数量关系，既需要熟悉棱柱的构成特点，也需要具备一定的归纳总结能力，是几何入门的基础题型。
【难度系数】
0.7
