1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线，$ ∠ A = 35° $，则 $ ∠ BCD $ 的度数为().

A.$ 35° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 55° $

D

在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ ACB=90°$，已知$∠ A=35°$，则$∠ B=90° - 35°=55°$；
因为$CD$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，可得$CD=BD$，所以$∠ BCD=∠ B=55°$。

2. 如图，在正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ CEFG $ 中，点 $ D $ 在 $ CG $ 上，$ BC = 2 $，$ CE = 6 $，$ H $ 是 $ AF $ 的中点，那么 $ CH $ 的长是().

A.$ 3 \sqrt{5} $
B.$ 2 \sqrt{5} $
C.$ 4 \sqrt{5} $
D.$ 4 $

B

连接AC、CF。
1. 由正方形性质得：$∠ ACB=∠ FCE=45°$，$AC=\sqrt{2}× BC=2\sqrt{2}$，$CF=\sqrt{2}× CE=6\sqrt{2}$；
2. 因B、C、E共线，故$∠ ACF=180°-45°-45°=90°$，即$△ ACF$为直角三角形；
3. 根据勾股定理，$AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$；
4. 因H是AF中点，由直角三角形斜边上的中线性质得$CH=\frac{1}{2}AF=2\sqrt{5}$。

3. 如图，四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ ∠ ACB = ∠ ADB = 90° $，$ M $ 为边 $ AB $ 的中点，连接 $ MC $，$ MD $.
(1) 求证 $ MC = MD $.
(2) 若 $ △ MCD $ 是等边三角形，直接写出 $ ∠ AOB $ 的度数为.

(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴ MC=$\frac{1}{2}$AB。
∵ ∠ADB=90°，M为AB的中点，
∴ MD=$\frac{1}{2}$AB。
∴ MC=MD。
(2) 解：
∵ △MCD是等边三角形，
∴ ∠CMD=60°。
∵ MD=MB，
∴ ∠MDB=∠MBD，
∴ ∠AMD=∠MDB+∠MBD=2∠ABD。
同理，MC=MA，∠MCA=∠MAC，
∴ ∠BMC=∠MCA+∠MAC=2∠BAC。
∵ ∠AMD+∠CMD+∠BMC=180°，
∴ 2∠ABD+60°+2∠BAC=180°，
即∠ABD+∠BAC=60°。
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠BAC+∠ABD)=180°-60°=120°。
故答案为：120°。

4. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AC ⊥ BC $，过点 $ D $ 作 $ DE // AC $ 交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $，点 $ M $ 为 $ AB $ 的中点，连接 $ CM $.
(1) 求证四边形 $ ADEC $ 是矩形.
(2) 若 $ CM = 6.5 $，且 $ AC = 12 $，求四边形 $ ADEB $ 的面积.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AD// CE$，
又∵ $DE// AC$，
∴ 四边形$ADEC$是平行四边形，
∵ $AC⊥ BC$，
∴ $∠ ACE=90°$，
∴ 平行四边形$ADEC$是矩形。
(2) 解：
∵ $AC⊥ BC$，
∴ $△ ACB$是直角三角形，
∵ 点$M$为$AB$的中点，$CM=6.5$，
∴ $AB=2CM=13$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=12$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC=5$，
∵ 四边形$ADEC$是矩形，
∴ $CE=AD=5$，$DE=AC=12$，$∠ E=90°$，
∴ $BE=BC+CE=5+5=10$，
∴ 四边形$ADEB$的面积$=\frac{1}{2}×(AD+BE)× DE=\frac{1}{2}×(5+10)×12=90$。
答：四边形$ADEB$的面积为$90$。