6. 在$△ ABC$中，$AE$平分$∠ BAC$，$BE ⊥ AE$，垂足为$E$，点$F$是$BC$的中点。
(1) 如图①，$BE$的延长线与$AC$边相交于点$D$，求证$EF = \dfrac{1}{2}(AC - AB)$。
(2) 如图②，写出线段$AB$，$AC$，$EF$的数量关系，并证明你的结论。

(1) 证明：
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
∵ BE⊥AE，
∴ ∠AEB = ∠AED = 90°。
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠DAE \\AE = AE \\∠AEB = ∠AED\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE（ASA）。
∴ AB = AD，BE = DE。
∵ 点F是BC的中点，
∴ EF是△BCD的中位线。
∴ EF = $\dfrac{1}{2}$CD。
∵ CD = AC - AD = AC - AB，
∴ EF = $\dfrac{1}{2}(AC - AB)$。
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(2) 结论：$\boldsymbol{EF = \dfrac{1}{2}(AB - AC)}$，证明如下：
延长AC交BE的延长线于点D。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
∵ BE⊥AE，
∴ ∠AEB = ∠AED = 90°。
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠DAE \\AE = AE \\∠AEB = ∠AED\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE（ASA）。
∴ AB = AD，BE = DE。
∵ 点F是BC的中点，
∴ EF是△BCD的中位线。
∴ EF = $\dfrac{1}{2}$CD。
∵ CD = AD - AC = AB - AC，
∴ EF = $\dfrac{1}{2}(AB - AC)$。

7. 如图①，$D$，$E$分别是$\mathrm{Rt} △ ABC$两直角边$AB$，$AC$上的一点，连接$BE$，点$F$，$G$，$H$分别是$DE$，$BE$，$BC$的中点。
(1) 求$∠ FGH$的度数。
(2) 如图②，连接$CD$，取$CD$的中点$M$，连接$GM$。若$BD = 8$，$CE = 6$，求$GM$的长。

解：(1)
∵F，G分别是DE，BE的中点，
∴FG是△BDE的中位线，
∴FG//BD，$FG=\frac{1}{2}BD$。
∵G，H分别是BE，BC的中点，
∴GH是△BCE的中位线，
∴GH//CE，$GH=\frac{1}{2}CE$。
∵△ABC是直角三角形，$∠A=90°$，
∴AB⊥AC，即BD⊥CE。
∵FG//BD，GH//CE，
∴FG⊥GH，
∴$∠FGH=90°$。
(2) 连接MH，
∵H是BC的中点，M是CD的中点，
∴MH是△BCD的中位线，
∴MH//BD，$MH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
由(1)知，$GH=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×6=3$，且GH//CE，BD⊥CE，
∴MH⊥GH，即$∠GHM=90°$。
在Rt△GHM中，
$GM=\sqrt{GH^2+MH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。