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1. 选择
(1) 下列各图中不能折成长方体的是()。
A.
B.
C.
(2) 右边哪个正方体纸盒是由左边的纸板折成的？在相应的括号里画√。
() () ()
(1) 下列各图中不能折成长方体的是()。
A.
B.
C.
(2) 右边哪个正方体纸盒是由左边的纸板折成的？在相应的括号里画√。
() () ()
答案
(1) B
(2) （ ）（√）（ ）
(2) （ ）（√）（ ）
解析
(1) 长方体展开图需满足对应面位置合理、无重叠。A、C属于“一四一”型标准展开图，可折成长方体；B的面布局错误，折叠时会出现面重叠，无法折成长方体。
(2) 先确定正方体展开图的相对面：F与A相对，D与C相对，E与B相对。
第一个正方体：F与A是相对面，不能相邻，不符合；
第二个正方体：E、C、A均为相邻面，符合折叠后的正方体特征；
第三个正方体：D与B为不相邻的面，无法同时出现在相邻位置，不符合。
(2) 先确定正方体展开图的相对面：F与A相对，D与C相对，E与B相对。
第一个正方体：F与A是相对面，不能相邻，不符合；
第二个正方体：E、C、A均为相邻面，符合折叠后的正方体特征；
第三个正方体：D与B为不相邻的面，无法同时出现在相邻位置，不符合。
2. 解决问题
(1) 一张长 30 厘米、宽 20 厘米的长方形硬纸板，从四个角上分别剪去一个边长为 5 厘米的正方形，然后将它折叠成一个无盖纸盒。该纸盒的外表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
(2) 右图是一个长方体展开图中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开图。依照此图，你能折叠出一个长方体吗？试一试。
(1) 一张长 30 厘米、宽 20 厘米的长方形硬纸板，从四个角上分别剪去一个边长为 5 厘米的正方形，然后将它折叠成一个无盖纸盒。该纸盒的外表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
(2) 右图是一个长方体展开图中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开图。依照此图，你能折叠出一个长方体吗？试一试。
答案
(1)
$30×20 - 5×5×4 = 500$（平方厘米）
$(30 - 5×2)×(20 - 5×2)×5 = 1000$（立方厘米）
答：该纸盒的外表面积是500平方厘米，体积是1000立方厘米。
(2)
（画图：在中间大长方形的正下方补一个与上方长方形完全相同的长方形，在右侧长方形的右侧补一个与中间大长方形完全相同的长方形，形成“一四一”型长方体展开图）
答：能折叠出一个长方体。
$30×20 - 5×5×4 = 500$（平方厘米）
$(30 - 5×2)×(20 - 5×2)×5 = 1000$（立方厘米）
答：该纸盒的外表面积是500平方厘米，体积是1000立方厘米。
(2)
（画图：在中间大长方形的正下方补一个与上方长方形完全相同的长方形，在右侧长方形的右侧补一个与中间大长方形完全相同的长方形，形成“一四一”型长方体展开图）
答：能折叠出一个长方体。
解析
【分析】
(1) 求无盖纸盒的外表面积时，可通过原长方形硬纸板的面积减去四个角剪去的正方形总面积来计算，因为剪去的部分不属于纸盒外表；计算体积时，折叠后纸盒的长为原长方形长减去2个正方形边长，宽为原长方形宽减去2个正方形边长，高就是正方形的边长，再利用长方体体积公式计算即可。
(2) 观察现有展开图，它属于长方体“一四一”型展开图的一部分，需补充两个面：一个是与上方小长方形相同的面补在中间大长方形正下方，另一个是与中间大长方形相同的面补在右侧长方形右侧，补充后可形成完整展开图，且能折叠成长方体。
【解析】
(1) ① 计算外表面积：
原长方形硬纸板面积：$30×20 = 600$（平方厘米）
四个剪去的正方形总面积：$5×5×4 = 100$（平方厘米）
纸盒外表面积：$600 - 100 = 500$（平方厘米）
② 计算体积：
纸盒的长：$30 - 5×2 = 20$（厘米）
纸盒的宽：$20 - 5×2 = 10$（厘米）
纸盒的高：5厘米
纸盒体积：$20×10×5 = 1000$（立方厘米）
答：该纸盒的外表面积是500平方厘米，体积是1000立方厘米。
(2) 画图：在中间大长方形的正下方补画一个与上方长方形完全相同的长方形，在右侧长方形的右侧补画一个与中间大长方形完全相同的长方形，形成“一四一”型长方体展开图。
尝试折叠后可知，该完整展开图能折叠出一个长方体。
答：能折叠出一个长方体。
【答案】
(1) 外表面积500平方厘米，体积1000立方厘米；
(2) 按上述方法画出其余两个面，能折叠出一个长方体。
【知识点】
1. 长方体表面积计算
2. 长方体体积计算
3. 长方体展开图
【点评】
本题第一问侧重无盖长方体表面积与体积的实际应用，需明确剪去正方形后纸盒各维度与原长方形的关联；第二问考查长方体展开图的特征，需熟悉常见展开图类型，锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求无盖纸盒的外表面积时，可通过原长方形硬纸板的面积减去四个角剪去的正方形总面积来计算，因为剪去的部分不属于纸盒外表；计算体积时，折叠后纸盒的长为原长方形长减去2个正方形边长，宽为原长方形宽减去2个正方形边长，高就是正方形的边长，再利用长方体体积公式计算即可。
(2) 观察现有展开图，它属于长方体“一四一”型展开图的一部分，需补充两个面：一个是与上方小长方形相同的面补在中间大长方形正下方，另一个是与中间大长方形相同的面补在右侧长方形右侧，补充后可形成完整展开图，且能折叠成长方体。
【解析】
(1) ① 计算外表面积：
原长方形硬纸板面积：$30×20 = 600$（平方厘米）
四个剪去的正方形总面积：$5×5×4 = 100$（平方厘米）
纸盒外表面积：$600 - 100 = 500$（平方厘米）
② 计算体积：
纸盒的长：$30 - 5×2 = 20$（厘米）
纸盒的宽：$20 - 5×2 = 10$（厘米）
纸盒的高：5厘米
纸盒体积：$20×10×5 = 1000$（立方厘米）
答：该纸盒的外表面积是500平方厘米，体积是1000立方厘米。
(2) 画图：在中间大长方形的正下方补画一个与上方长方形完全相同的长方形，在右侧长方形的右侧补画一个与中间大长方形完全相同的长方形，形成“一四一”型长方体展开图。
尝试折叠后可知，该完整展开图能折叠出一个长方体。
答：能折叠出一个长方体。
【答案】
(1) 外表面积500平方厘米，体积1000立方厘米；
(2) 按上述方法画出其余两个面，能折叠出一个长方体。
【知识点】
1. 长方体表面积计算
2. 长方体体积计算
3. 长方体展开图
【点评】
本题第一问侧重无盖长方体表面积与体积的实际应用，需明确剪去正方形后纸盒各维度与原长方形的关联；第二问考查长方体展开图的特征，需熟悉常见展开图类型，锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.6
3.
一根长方体木料，长 10cm，宽 4cm，高 7cm，要把它切割成两个同样的长方体，有几种切割的方法？请画一画，并计算每种切割方法的表面积比原来各增加了多少平方厘米。
一根长方体木料，长 10cm，宽 4cm，高 7cm，要把它切割成两个同样的长方体，有几种切割的方法？请画一画，并计算每种切割方法的表面积比原来各增加了多少平方厘米。
答案
有3种切割方法。
1. 平行于长×宽的面切割：
$10×4×2=80$（平方厘米）
2. 平行于长×高的面切割：
$10×7×2=140$（平方厘米）
3. 平行于宽×高的面切割：
$4×7×2=56$（平方厘米）
答：有3种切割方法，每种切割方法的表面积比原来分别增加80平方厘米、140平方厘米、56平方厘米。
1. 平行于长×宽的面切割：
$10×4×2=80$（平方厘米）
2. 平行于长×高的面切割：
$10×7×2=140$（平方厘米）
3. 平行于宽×高的面切割：
$4×7×2=56$（平方厘米）
答：有3种切割方法，每种切割方法的表面积比原来分别增加80平方厘米、140平方厘米、56平方厘米。
解析
【分析】
首先，长方体有三组完全相同的相对面，要将其切割成两个同样的长方体，只需平行于其中一组相对的面进行切割，因此共有3种切割方法。其次，切割后表面积的增加量等于两个切面的面积之和，因为切割一次会新露出两个与切面完全相同的面，所以我们只需分别计算每组面的面积再乘2，就能得到对应切割方法增加的表面积。
【解析】
长方体有三组不同的面，对应三种切割方法：
1. 平行于长×宽的面切割：
先计算单个切面的面积：$10×4=40$（平方厘米）
切割后增加2个该切面的面积，所以增加的表面积为：$40×2=80$（平方厘米）
2. 平行于长×高的面切割：
先计算单个切面的面积：$10×7=70$（平方厘米）
切割后增加2个该切面的面积，所以增加的表面积为：$70×2=140$（平方厘米）
3. 平行于宽×高的面切割：
先计算单个切面的面积：$4×7=28$（平方厘米）
切割后增加2个该切面的面积，所以增加的表面积为：$28×2=56$（平方厘米）
【答案】
有3种切割方法，每种切割方法的表面积比原来分别增加80平方厘米、140平方厘米、56平方厘米。
【知识点】
长方体切割、表面积变化、长方形面积计算
【点评】
本题核心考查长方体切割后表面积的变化规律，关键在于理解切割一次会新增两个与切面一致的面，解题时需准确对应不同切割方向的切面，避免出现漏算切割面数量的错误。
【难度系数】
0.7
首先，长方体有三组完全相同的相对面，要将其切割成两个同样的长方体，只需平行于其中一组相对的面进行切割，因此共有3种切割方法。其次，切割后表面积的增加量等于两个切面的面积之和，因为切割一次会新露出两个与切面完全相同的面，所以我们只需分别计算每组面的面积再乘2，就能得到对应切割方法增加的表面积。
【解析】
长方体有三组不同的面，对应三种切割方法：
1. 平行于长×宽的面切割：
先计算单个切面的面积：$10×4=40$（平方厘米）
切割后增加2个该切面的面积，所以增加的表面积为：$40×2=80$（平方厘米）
2. 平行于长×高的面切割：
先计算单个切面的面积：$10×7=70$（平方厘米）
切割后增加2个该切面的面积，所以增加的表面积为：$70×2=140$（平方厘米）
3. 平行于宽×高的面切割：
先计算单个切面的面积：$4×7=28$（平方厘米）
切割后增加2个该切面的面积，所以增加的表面积为：$28×2=56$（平方厘米）
【答案】
有3种切割方法，每种切割方法的表面积比原来分别增加80平方厘米、140平方厘米、56平方厘米。
【知识点】
长方体切割、表面积变化、长方形面积计算
【点评】
本题核心考查长方体切割后表面积的变化规律，关键在于理解切割一次会新增两个与切面一致的面，解题时需准确对应不同切割方向的切面，避免出现漏算切割面数量的错误。
【难度系数】
0.7
