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【例1】 如图21.3-4，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，连接AE，若，则(
【点拨】 由可以想出连接AC，使AC，BD相交于点O，根据矩形的性质得出，，，则，通过证明，得出，即可解答。
A.$45°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$
D
)【点拨】 由可以想出连接AC，使AC，BD相交于点O，根据矩形的性质得出，，，则，通过证明，得出，即可解答。
A.$45°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$
答案
[例1]D
解析
【解析】
连接$AC$，交$BD$于点$O$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC = BD$，$OB = OC$，$∠ ABC = 90°$。
又因为$∠ ABD = 60°$，所以$∠ OBC = 90°-60°=30°$。
因为$OB = OC$，所以$∠ OCB=∠ OBC = 30°$。
因为$CE = BD$，$AC = BD$，所以$CE = AC$。
所以$∠ E=∠ CAE$。
因为$∠ OCB=∠ E+∠ CAE$，所以$∠ E=\frac{1}{2}∠ OCB = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题通过连接矩形对角线，利用矩形性质得到相关线段和角度关系，再结合等腰三角形性质和三角形外角性质求解，考查了对多个知识点的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$
连接$AC$，交$BD$于点$O$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AC = BD$，$OB = OC$，$∠ ABC = 90°$。
又因为$∠ ABD = 60°$，所以$∠ OBC = 90°-60°=30°$。
因为$OB = OC$，所以$∠ OCB=∠ OBC = 30°$。
因为$CE = BD$，$AC = BD$，所以$CE = AC$。
所以$∠ E=∠ CAE$。
因为$∠ OCB=∠ E+∠ CAE$，所以$∠ E=\frac{1}{2}∠ OCB = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题通过连接矩形对角线，利用矩形性质得到相关线段和角度关系，再结合等腰三角形性质和三角形外角性质求解，考查了对多个知识点的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$
【例2】 如图21.3-5，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且$AE = AD$，过点D作$DF ⊥ AE$于点F。
(1) 求证：$AF = BE$。
(2) 已知$BC = 5$，$CD = 3$，求EF的长。
【点拨】 （1）根据矩形的性质和垂直的定义可以得到$∠ DAF = ∠ AEB$，$∠ AFD = ∠ EBA$，再根据$AD = AE$，利用AAS可以判断$△ ADF$和$△ EBA$全等，从而可以得到结论成立。（2）根据矩形的性质和勾股定理，可以得到BE的长，再根据（1）$AF = BE$，即可得到AF的长，然后根据$AE = 5$，即可计算出EF的长。
(1) 求证：$AF = BE$。
(2) 已知$BC = 5$，$CD = 3$，求EF的长。
【点拨】 （1）根据矩形的性质和垂直的定义可以得到$∠ DAF = ∠ AEB$，$∠ AFD = ∠ EBA$，再根据$AD = AE$，利用AAS可以判断$△ ADF$和$△ EBA$全等，从而可以得到结论成立。（2）根据矩形的性质和勾股定理，可以得到BE的长，再根据（1）$AF = BE$，即可得到AF的长，然后根据$AE = 5$，即可计算出EF的长。
答案
[例2] (1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABE = 90°，
∴∠DAF = ∠AEB.
∵DF⊥AE，
∴∠DFA = 90°，
∴∠ABE = ∠DFA. 在△ADF和△EAB中，
$\begin{cases}∠AFD = ∠EBA, \\∠DAF = ∠AEB, \\AD = EA,\end{cases}$
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴AF = EB.
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，BC = 5，CD = 3，
∴AD = BC = 5，AB = CD = 3，∠B = 90°.
∵AD = AE，
∴AE = 5，
∴BE = $\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4. 由(1)知，AF = BE，
∴AF = 4，
∴EF = AE - AF = 5 - 4 = 1，即EF的长是1.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABE = 90°，
∴∠DAF = ∠AEB.
∵DF⊥AE，
∴∠DFA = 90°，
∴∠ABE = ∠DFA. 在△ADF和△EAB中，
$\begin{cases}∠AFD = ∠EBA, \\∠DAF = ∠AEB, \\AD = EA,\end{cases}$
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴AF = EB.
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，BC = 5，CD = 3，
∴AD = BC = 5，AB = CD = 3，∠B = 90°.
∵AD = AE，
∴AE = 5，
∴BE = $\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4. 由(1)知，AF = BE，
∴AF = 4，
∴EF = AE - AF = 5 - 4 = 1，即EF的长是1.
【例3】 如图21.3-6，在中，D是BC上的一点，，E，F分别是AC，BD的中点，，则AC的长是(
【点拨】 连接AF，由，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出。再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得，即。
A.3
B.4
C.5
D.6
D
)【点拨】 连接AF，由，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出。再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得，即。
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
[例3]D 解析:如图，连接AF.
∵AB = AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD.
在Rt△ACF中，
∵∠AFC = 90°，E是AC的中点，EF = 3，
∴AC = 2EF = 6. 故选D
解析
【解析】
连接AF。
因为AB = AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以AF⊥BD。
在Rt△ACF中，因为∠AFC = 90°，E是AC的中点，EF = 3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以AC = 2EF = 6。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题通过连接辅助线AF，利用等腰三角形和直角三角形的相关性质求解，思路清晰。
【难度系数】
0.3
连接AF。
因为AB = AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以AF⊥BD。
在Rt△ACF中，因为∠AFC = 90°，E是AC的中点，EF = 3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以AC = 2EF = 6。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题通过连接辅助线AF，利用等腰三角形和直角三角形的相关性质求解，思路清晰。
【难度系数】
0.3
1. 两个矩形的位置如图所示，若$∠ 1 = α$，则$∠ 2 =$(
A.$α - 90°$
B.$180° - α$
C.$α - 45°$
D.$270° - α$
B
)A.$α - 90°$
B.$180° - α$
C.$α - 45°$
D.$270° - α$
答案
1.B
解析
【解析】
设$∠1$与$∠2$之间的角为$∠3$。
因为矩形的四个角都是直角，所以$∠1 + ∠3 = 180°$（平角定义），$∠2 + ∠3 = 180°$（平角定义）。
则$∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3$，所以$∠2 = ∠1 + ∠3 - ∠3 = ∠1$的补角，即$∠2 = 180° - ∠1$。
已知$∠1 = α$，所以$∠2 = 180° - α$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、平角定义、角的计算
【点评】
本题通过利用矩形的性质和平角定义，建立角之间的关系来求解$∠2$，考查了对基本几何概念的理解和运用。
【难度系数】
0.6
设$∠1$与$∠2$之间的角为$∠3$。
因为矩形的四个角都是直角，所以$∠1 + ∠3 = 180°$（平角定义），$∠2 + ∠3 = 180°$（平角定义）。
则$∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3$，所以$∠2 = ∠1 + ∠3 - ∠3 = ∠1$的补角，即$∠2 = 180° - ∠1$。
已知$∠1 = α$，所以$∠2 = 180° - α$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、平角定义、角的计算
【点评】
本题通过利用矩形的性质和平角定义，建立角之间的关系来求解$∠2$，考查了对基本几何概念的理解和运用。
【难度系数】
0.6
