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2. 如图，在矩形ABCD中，$AB = 5$，$CB = 12$，连接AC，$∠ BAC$的平分线交BC于点E，则线段BE的长为(
A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{11}{3}$
C.3
D.4
A
)A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{11}{3}$
C.3
D.4
答案
2.A
解析
【解析】
过点$E$作$EF⊥ AC$于点$F$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB = 5$，$CB = 12$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，$∠ B = 90°$，$EF⊥ AC$，所以$BE = EF$。
设$BE = x$，则$EF = x$，$EC = 12 - x$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ AEC}$，即$\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}AB× BE+\frac{1}{2}AC× EF$。
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×5× x+\frac{1}{2}×13× x$
$30=\frac{5x + 13x}{2}$
$30=\frac{18x}{2}$
$18x = 60$
$x=\frac{10}{3}$，所以$BE=\frac{10}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式
【点评】
本题通过作辅助线，利用角平分线的性质和三角形面积公式求解线段长度，综合性较强。
【难度系数】
0.4
过点$E$作$EF⊥ AC$于点$F$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB = 5$，$CB = 12$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，$∠ B = 90°$，$EF⊥ AC$，所以$BE = EF$。
设$BE = x$，则$EF = x$，$EC = 12 - x$。
$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ AEC}$，即$\frac{1}{2}AB× BC=\frac{1}{2}AB× BE+\frac{1}{2}AC× EF$。
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×5× x+\frac{1}{2}×13× x$
$30=\frac{5x + 13x}{2}$
$30=\frac{18x}{2}$
$18x = 60$
$x=\frac{10}{3}$，所以$BE=\frac{10}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式
【点评】
本题通过作辅助线，利用角平分线的性质和三角形面积公式求解线段长度，综合性较强。
【难度系数】
0.4
3. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，将$△ ABC$沿CB方向向右平移至$△ EGF$处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若$CD = 1$，则$GE =$(
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$
答案
3.B
解析
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$是$AB$中点，根据直角三角形斜边中线定理，$AB = 2CD$。
已知$CD = 1$，所以$AB = 2$。
因为$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处，所以$GE = AB$，则$GE = 2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、平移的性质
【点评】
本题考查直角三角形斜边中线定理和平移的性质，关键是利用直角三角形斜边中线定理求出$AB$的长度，再根据平移性质得到$GE$与$AB$的关系。
【难度系数】
0.4
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$是$AB$中点，根据直角三角形斜边中线定理，$AB = 2CD$。
已知$CD = 1$，所以$AB = 2$。
因为$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处，所以$GE = AB$，则$GE = 2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、平移的性质
【点评】
本题考查直角三角形斜边中线定理和平移的性质，关键是利用直角三角形斜边中线定理求出$AB$的长度，再根据平移性质得到$GE$与$AB$的关系。
【难度系数】
0.4
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 20°$，CD为AB边上的中线，$DE ⊥ AC$，则图中与$∠ A$互余的角共有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
4.C
解析
【解析】
- 因为$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 20°$，根据直角三角形两锐角互余，所以$∠ B = 90°-∠ A = 70°$，$∠ A$与$∠ B$互余。
- 因为$CD$为$AB$边上的中线，在$Rt△ ABC$中，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以$AD = CD$，则$∠ A=∠ ACD = 20°$。
- 因为$DE⊥ AC$，所以$∠ AED = 90°$，在$Rt△ ADE$中，$∠ ADE = 90°-∠ A=70°$，$∠ A$与$∠ ADE$互余。
- 因为$∠ ACB = 90°$，$CD$为中线，所以$BD = CD$，则$∠ B=∠ BCD = 70°$，又因为$∠ ACB = 90°$，所以$∠ DCE=90°-∠ ACD = 70°$，$∠ A$与$∠ DCE$互余。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ ADE$、$∠ DCE$、$∠ BCD$，共$4$个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质、余角概念、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质及余角概念，需准确分析图形中角的关系。
【难度系数】
0.4
- 因为$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 20°$，根据直角三角形两锐角互余，所以$∠ B = 90°-∠ A = 70°$，$∠ A$与$∠ B$互余。
- 因为$CD$为$AB$边上的中线，在$Rt△ ABC$中，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以$AD = CD$，则$∠ A=∠ ACD = 20°$。
- 因为$DE⊥ AC$，所以$∠ AED = 90°$，在$Rt△ ADE$中，$∠ ADE = 90°-∠ A=70°$，$∠ A$与$∠ ADE$互余。
- 因为$∠ ACB = 90°$，$CD$为中线，所以$BD = CD$，则$∠ B=∠ BCD = 70°$，又因为$∠ ACB = 90°$，所以$∠ DCE=90°-∠ ACD = 70°$，$∠ A$与$∠ DCE$互余。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ ADE$、$∠ DCE$、$∠ BCD$，共$4$个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质、余角概念、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质及余角概念，需准确分析图形中角的关系。
【难度系数】
0.4
5. 如图，矩形ABCD中，$AB = 6$，$BC = 8$，AE平分$∠ BAD$交BC于点E，点F，G分别为AD，AE的中点，则$FG=$
$\sqrt{10}$
。答案
5. $\sqrt{10}$
解析
【解析】
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ BAD = 90°$。
- 又因为$AE$平分$∠ BAD$，所以$∠ BAE=∠ DAE = 45°$。
- 由于$∠ B = 90°$，$∠ BAE = 45°$，所以$△ ABE$是等腰直角三角形，则$AB = BE = 6$。
- 根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}} = 6\sqrt{2}$。
- 因为点$F$，$G$分别为$AD$，$AE$的中点，所以$FG$是$△ ADE$的中位线。
- 所以$FG=\frac{1}{2}DE$。
- 因为$AD = BC = 8$，$BE = 6$，所以$DE=\sqrt{AB^{2}+(AD - BE)^{2}}=\sqrt{6^{2}+(8 - 6)^{2}}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
- 则$FG=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形、等腰直角三角形的相关知识以及勾股定理的应用，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.4
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ BAD = 90°$。
- 又因为$AE$平分$∠ BAD$，所以$∠ BAE=∠ DAE = 45°$。
- 由于$∠ B = 90°$，$∠ BAE = 45°$，所以$△ ABE$是等腰直角三角形，则$AB = BE = 6$。
- 根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}} = 6\sqrt{2}$。
- 因为点$F$，$G$分别为$AD$，$AE$的中点，所以$FG$是$△ ADE$的中位线。
- 所以$FG=\frac{1}{2}DE$。
- 因为$AD = BC = 8$，$BE = 6$，所以$DE=\sqrt{AB^{2}+(AD - BE)^{2}}=\sqrt{6^{2}+(8 - 6)^{2}}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
- 则$FG=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形、等腰直角三角形的相关知识以及勾股定理的应用，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.4
6. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分$∠ BED$，若$BC = 2$，$∠ CBE = 45°$，则$AB=$
$\sqrt{2}$
。答案
6. $\sqrt{2}$
解析
【解析】
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$∠ DEC=∠ BCE$。
又因为$EC$平分$∠ BED$，所以$∠ BEC=∠ DEC$，那么$∠ BEC=∠ BCE$，所以$BE = BC = 2$。
因为$∠ CBE = 45°$，$∠ A = 90°$，所以$△ ABE$是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，$AB = AE$，且$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$，即$2AB^{2}=2^{2}$，$AB^{2}=2$，解得$AB=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、角平分线以及等腰直角三角形的相关知识，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.3
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$∠ DEC=∠ BCE$。
又因为$EC$平分$∠ BED$，所以$∠ BEC=∠ DEC$，那么$∠ BEC=∠ BCE$，所以$BE = BC = 2$。
因为$∠ CBE = 45°$，$∠ A = 90°$，所以$△ ABE$是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，$AB = AE$，且$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$，即$2AB^{2}=2^{2}$，$AB^{2}=2$，解得$AB=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、角平分线以及等腰直角三角形的相关知识，需要学生对这些知识点有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.3
7. 某房梁如图所示，立柱$AD ⊥ BC$，E，F分别是斜梁AB，AC的中点。若$AB = AC = 8m$，则DE的长为
4
m。答案
7.4
解析
【解析】
因为$AB = AC$，$AD⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$D$是$BC$中点。
又因为$E$是$AB$中点，所以$DE$是$△ ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
已知$AB = AC = 8m$，所以$BC$的长度不影响$DE$的计算，$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4m$。
【答案】
$4$
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形中位线定理
【点评】
本题考查等腰三角形和三角形中位线的相关知识，先利用等腰三角形性质确定中点，再运用中位线定理求解，思路清晰。
【难度系数】
$0.6$
因为$AB = AC$，$AD⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$D$是$BC$中点。
又因为$E$是$AB$中点，所以$DE$是$△ ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
已知$AB = AC = 8m$，所以$BC$的长度不影响$DE$的计算，$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4m$。
【答案】
$4$
【知识点】
等腰三角形三线合一、三角形中位线定理
【点评】
本题考查等腰三角形和三角形中位线的相关知识，先利用等腰三角形性质确定中点，再运用中位线定理求解，思路清晰。
【难度系数】
$0.6$
8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作$AE ⊥ BD$于点E，$CF ⊥ BD$于点F，连接AF，CE。
(1) 求证：四边形AECF是平行四边形。
(2) 若$AB = 1$，$BE = EO$，求BC的长。
(1) 求证：四边形AECF是平行四边形。
(2) 若$AB = 1$，$BE = EO$，求BC的长。
答案
8. (1)证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∠AEF = ∠CFE = ∠AEB = ∠DFC = 90°，
∴AE//CF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠FDC. 在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}∠ABE = ∠FDC, \\∠AEB = ∠DFC, \\AB = CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE = CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = 2AO.
∵AE⊥BO，BE = EO，
∴AO = AB = 1，
∴AC = 2，
∴BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∠AEF = ∠CFE = ∠AEB = ∠DFC = 90°，
∴AE//CF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠FDC. 在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}∠ABE = ∠FDC, \\∠AEB = ∠DFC, \\AB = CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE = CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = 2AO.
∵AE⊥BO，BE = EO，
∴AO = AB = 1，
∴AC = 2，
∴BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
解析
【解析】
(1)证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∠AEF = ∠CFE = ∠AEB = ∠DFC = 90°，
∴AE//CF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠FDC. 在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}∠ABE = ∠FDC, \\∠AEB = ∠DFC, \\AB = CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE = CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = 2AO.
∵AE⊥BO，BE = EO，
∴AO = AB = 1，
∴AC = 2，
∴BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形；(2) BC的长为$\sqrt{3}$。
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查矩形性质、平行四边形判定及勾股定理的应用，第一问通过证明三角形全等得到边相等，再结合平行关系证明平行四边形；第二问利用矩形性质和垂直平分线性质求出相关线段长度，进而用勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
(1)证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∠AEF = ∠CFE = ∠AEB = ∠DFC = 90°，
∴AE//CF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，
∴∠ABE = ∠FDC. 在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases}∠ABE = ∠FDC, \\∠AEB = ∠DFC, \\AB = CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE = CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = 2AO.
∵AE⊥BO，BE = EO，
∴AO = AB = 1，
∴AC = 2，
∴BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 四边形AECF是平行四边形；(2) BC的长为$\sqrt{3}$。
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查矩形性质、平行四边形判定及勾股定理的应用，第一问通过证明三角形全等得到边相等，再结合平行关系证明平行四边形；第二问利用矩形性质和垂直平分线性质求出相关线段长度，进而用勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
