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2. 小明和小丽玩掷骰子游戏，2 人各掷一枚质地均匀的骰子。
（1）当 2 枚骰子朝上一面的点数的积为奇数时，小明得 3 分，否则小丽得 1 分。这个游戏规则对双方公平吗？为什么？
（2）当 2 枚骰子朝上一面的点数的和大于 7 时，小明得 1 分，否则小丽得 1 分。这个游戏规则对双方公平吗？如果不公平，请提出一条对双方都公平的改进意见。
（1）当 2 枚骰子朝上一面的点数的积为奇数时，小明得 3 分，否则小丽得 1 分。这个游戏规则对双方公平吗？为什么？
（2）当 2 枚骰子朝上一面的点数的和大于 7 时，小明得 1 分，否则小丽得 1 分。这个游戏规则对双方公平吗？如果不公平，请提出一条对双方都公平的改进意见。
答案
解：(1)两个抛掷两枚骰子时，出现骰子朝上一面的点数均为等可能事件。
结果如下表所示。
以上共有36种等可能的结果。其中出现积为奇数的有9种结果。
则小明得分的情况为$3×\frac {9}{36}=\frac {3}{4}($分)，小丽得分的情况为$1×\frac {27}{36}=\frac {3}{4}($分)
∴这个游戏对双方公平
(2)两个抛掷两枚骰子时，出现骰子朝上一面的点数均为等可能事件。
结果如下表所示
以上共有36种等可能的结果，其中出现点数和大于7的有15种结果。
则小明得分为$1×\frac {15}{36}=\frac {5}{12}($分)，小丽得分为$1×\frac {21}{36}=\frac {7}{12}($分)
$\frac {7}{12}＞\frac {5}{12}$
这个游戏对双方不公平
建议：当2枚骰子朝上的一面点数的和大于7时，小明得1分，
点数和小于7时，小丽得1分，点数和刚好为7时，双方都得1分。
解析
【解析】
(1) 抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种等可能的结果。当两枚骰子点数的积为奇数时，需两枚骰子点数均为奇数（1、3、5），共有$3×3=9$种结果。
小明每次得分的期望为：$3×\frac{9}{36}=\frac{3}{4}$分，小丽每次得分的期望为：$1×\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$分，二者得分期望相等，故游戏对双方公平。
(2) 两枚骰子点数和大于7的结果有15种，小明得分期望为：$1×\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$分，小丽得分期望为：$1×\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$分，$\frac{5}{12}≠\frac{7}{12}$，故游戏不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数和大于7时小明得1分，点数和小于7时小丽得1分，点数和等于7时双方各得1分（合理即可）。
【答案】
(1) 这个游戏规则对双方公平，理由见解析；
(2) 这个游戏规则对双方不公平，改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数和大于7时小明得1分，点数和小于7时小丽得1分，点数和等于7时双方各得1分（合理即可）。
【知识点】
1. 游戏公平性判断
2. 概率的计算
3. 列表法求概率
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的应用，核心是通过列表法确定所有等可能结果，计算事件概率及得分期望来判断公平性，改进规则需保证双方得分期望相等，培养了分析与解决实际问题的能力。
(1) 抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种等可能的结果。当两枚骰子点数的积为奇数时，需两枚骰子点数均为奇数（1、3、5），共有$3×3=9$种结果。
小明每次得分的期望为：$3×\frac{9}{36}=\frac{3}{4}$分，小丽每次得分的期望为：$1×\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$分，二者得分期望相等，故游戏对双方公平。
(2) 两枚骰子点数和大于7的结果有15种，小明得分期望为：$1×\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$分，小丽得分期望为：$1×\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$分，$\frac{5}{12}≠\frac{7}{12}$，故游戏不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数和大于7时小明得1分，点数和小于7时小丽得1分，点数和等于7时双方各得1分（合理即可）。
【答案】
(1) 这个游戏规则对双方公平，理由见解析；
(2) 这个游戏规则对双方不公平，改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数和大于7时小明得1分，点数和小于7时小丽得1分，点数和等于7时双方各得1分（合理即可）。
【知识点】
1. 游戏公平性判断
2. 概率的计算
3. 列表法求概率
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的应用，核心是通过列表法确定所有等可能结果，计算事件概率及得分期望来判断公平性，改进规则需保证双方得分期望相等，培养了分析与解决实际问题的能力。
3. 有 4 支形状、大小、质地都相同的签，其中有 2 支签代表奖品，4 个人按一定顺序依次从中任意抽取 1 支签（抽出的签不放回），先抽的人得到奖品的可能性一定大吗？为什么？
答案
解： 4个人抽取4支签一共有24种等可能结果，第一个人得到奖品的
有12种，第二个人得到奖品的有12种，第三个人得到奖品的有12
种，第四个人得到奖品的有12种
∴每个人得到奖品的可能性都是相同的，概率都为$P=\frac {12}{24}=\frac 12$
有12种，第二个人得到奖品的有12种，第三个人得到奖品的有12
种，第四个人得到奖品的有12种
∴每个人得到奖品的可能性都是相同的，概率都为$P=\frac {12}{24}=\frac 12$
解析
【解析】
4个人抽取4支签，所有等可能的结果总数为$4!=24$种。
第一个人得到奖品的结果数：从2支奖品签中选1支，剩余3支签全排列，共$2×3!=12$种；
第二个人得到奖品的结果数：先确定第二个人的奖品签（2种选择），剩余3个位置由剩下3支签全排列，共$2×3!=12$种；
同理，第三个人、第四个人得到奖品的结果数也均为12种。
因此每个人得到奖品的概率为$P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$，即每个人得到奖品的可能性相同。
【答案】
先抽的人得到奖品的可能性不一定大。因为每个人得到奖品的概率都是$\frac{1}{2}$，可能性相同。
【知识点】
古典概型、等可能事件概率计算
【点评】
在不放回的抽签场景中，抽签顺序不影响中奖概率，每个人获得奖品的概率均等，体现了概率的公平性。
4个人抽取4支签，所有等可能的结果总数为$4!=24$种。
第一个人得到奖品的结果数：从2支奖品签中选1支，剩余3支签全排列，共$2×3!=12$种；
第二个人得到奖品的结果数：先确定第二个人的奖品签（2种选择），剩余3个位置由剩下3支签全排列，共$2×3!=12$种；
同理，第三个人、第四个人得到奖品的结果数也均为12种。
因此每个人得到奖品的概率为$P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$，即每个人得到奖品的可能性相同。
【答案】
先抽的人得到奖品的可能性不一定大。因为每个人得到奖品的概率都是$\frac{1}{2}$，可能性相同。
【知识点】
古典概型、等可能事件概率计算
【点评】
在不放回的抽签场景中，抽签顺序不影响中奖概率，每个人获得奖品的概率均等，体现了概率的公平性。
1. 一只不透明的袋子中装有 10 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同。在不允许将球倒出来的情况下，为估计袋中白球的个数，小明每次从中任意摸出 1 个球，记下颜色后将球放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率为 0.4。根据上述数据，估计袋中有白球个。
答案
15
解析
【解析】
设袋中有白球$ x $个。
当试验次数足够多时，摸到红球的频率可近似等于摸到红球的概率，根据题意得摸到红球的概率为0.4。
由概率公式可得：$\frac{10}{10+x}=0.4$
解方程：
$10 = 0.4(10+x)$
$10 = 4 + 0.4x$
$0.4x = 6$
$x = 15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
15
【知识点】
用频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题考查用频率估计概率的思想，利用概率公式建立方程求解是解题关键，注意试验次数较多时，频率可近似替代概率。
设袋中有白球$ x $个。
当试验次数足够多时，摸到红球的频率可近似等于摸到红球的概率，根据题意得摸到红球的概率为0.4。
由概率公式可得：$\frac{10}{10+x}=0.4$
解方程：
$10 = 0.4(10+x)$
$10 = 4 + 0.4x$
$0.4x = 6$
$x = 15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
15
【知识点】
用频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题考查用频率估计概率的思想，利用概率公式建立方程求解是解题关键，注意试验次数较多时，频率可近似替代概率。
2. 市电视台为调查某场比赛直播在该市的收视率，从全市所有家庭中随机抽查了 200 个家庭，发现其中 10 个家庭观看了该场直播。
（1）在抽查的 200 个家庭中，观看了该场直播的家庭的频率是多少？
（2）如果在该市随机调查 1 个家庭，估计该家庭观看了该场直播的概率。
（3）若该市约有 $1.3×10^{6}$ 个家庭，请估计该市有多少个家庭观看了该场直播。
（1）在抽查的 200 个家庭中，观看了该场直播的家庭的频率是多少？
（2）如果在该市随机调查 1 个家庭，估计该家庭观看了该场直播的概率。
（3）若该市约有 $1.3×10^{6}$ 个家庭，请估计该市有多少个家庭观看了该场直播。
答案
解：$(1)\frac {10}{200}=0.05$
∴有子女参加中考的家庭的频率是0.05
(2)估计该家庭有子女参加中考的概率是0.05
$(3)1.3×10^6×0.05=65000($名)
∴估计今年该市有65000名学生参加中考
∴有子女参加中考的家庭的频率是0.05
(2)估计该家庭有子女参加中考的概率是0.05
$(3)1.3×10^6×0.05=65000($名)
∴估计今年该市有65000名学生参加中考
解析
【解析】
（1）根据频率的计算公式，频率=观看直播的家庭数÷抽查的家庭总数，代入数据可得$\frac{10}{200}=0.05$；
（2）当抽查的样本数量较大时，频率可近似作为概率的估计值，因此估计该家庭观看直播的概率为0.05；
（3）用该市家庭总数乘以估计的观看概率，即可估算出观看直播的家庭数量，计算得$1.3×10^{6}×0.05=65000$（个）。
【答案】
（1）0.05；
（2）0.05；
（3）65000个
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，通过样本频率计算、频率估计概率，再到用样本估计总体的数量，清晰体现了统计思想的实际运用，帮助理解频率与概率的关系及统计估算方法。
（1）根据频率的计算公式，频率=观看直播的家庭数÷抽查的家庭总数，代入数据可得$\frac{10}{200}=0.05$；
（2）当抽查的样本数量较大时，频率可近似作为概率的估计值，因此估计该家庭观看直播的概率为0.05；
（3）用该市家庭总数乘以估计的观看概率，即可估算出观看直播的家庭数量，计算得$1.3×10^{6}×0.05=65000$（个）。
【答案】
（1）0.05；
（2）0.05；
（3）65000个
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，通过样本频率计算、频率估计概率，再到用样本估计总体的数量，清晰体现了统计思想的实际运用，帮助理解频率与概率的关系及统计估算方法。
