4. 如图，E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，CE = CA，F为AE的中点. 求证：BF⊥FD.

4. 证明:连接 CF.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ABE=∠ABC=∠BAD=90°,BC=AD.
∵在 Rt△AEB 中,F 为 AE 的中点,
∴BF=AF,
∴∠FAB=∠FBA,
∴∠FAD=∠FBC,
∴△AFD≌△BFC(SAS),
∴∠CFB=∠AFD.
∵CA=CE,
∴∠CFA=90°,
∴∠DFB=90°,
∴BF⊥FD.

5. 如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点D作DF⊥BE，交BE的延长线于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AE = AB；
（2）求证：AF⊥CF；
（3）若AB = 6，BC = 8，求CF的长.

5. (1) 证明:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ABC=90°.
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°,
∴∠AEB=45°,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE. (2) 证明:如图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 OF.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴OB=OD=OA=OD.
∵∠BFD=90°,
∴OF=$\frac{1}{2}$BD,
∴OF=OB,
∴OF=OA=OC,
∴∠OFA=∠OAF,∠OFC=∠OCF,
∴∠OFA+∠OFC=∠OAF+∠OCF.
∵∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF=180°,
∴∠AFC=90°,
∴AF⊥CF.

(3) 解:
∵∠DEF=∠AEB=45°,∠EFD=90°,
∴∠EDF=∠DEF=45°,
∴FE=FD.
∵∠AEF=180°-∠DEF=135°,∠CDF=∠ADC+∠EDF=135°,
∴∠AEF=∠CDF.
∵CD=AB,
∴CD=AE,
∴△CDF≌△AEF(SAS),
∴FA=FC.
∵AF⊥CF,
∴△ACF 是等腰直角三角形,
∴FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC.
∵AB=6,BC=8,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=10,
∴CF=5$\sqrt{2}$.

6. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE = CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1 = ∠2.
（1）若CF = 2，AE = 3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG = $\frac{1}{2}$∠AGE.

6. (1)解:
∵F 为 CE 的中点,
∴CE=CD=2CF=4. 又
∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AB=CD=4. 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 BE=$\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$=$\sqrt{7}$. (2) 证明:如图,延长 AG,与 BC 的延长线交于点 H.
∵CE=CD,∠1=∠2,∠ECG=∠DCF,
∴△CEG≌△CDF(AAS),
∴CG=CF.
∵CD=CE=2CF,
∴CG=GD.
∵AD//BC,
∴∠DAG=∠CHG,∠ADG=∠HCG,
∴△ADG≌△HCG(AAS),
∴AG=HG.
∵∠AEH=90°,
∴EG=AG=HG,
∴∠CEG=∠H.
∵∠AGE=∠CEG+∠H,
∴∠AGE=2∠CEG,即∠CEG=$\frac{1}{2}$∠AGE.

7. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，E为AB的中点，连接DE.
（1）求证：DE//CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.

7. (1)证明:如图,连接 CE.
∵E 为 Rt△ACB 的斜边 AB 的中点,
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∵△ACD 是等边三角形,
∴AD=CD. 在△ADE 与△CDE 中,$\{\begin{array}{l} AE=CE,\\ DE=DE,\\ AD=CD,\end{array} $
∴△ADE≌△CDE(SSS).
∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°,
∴∠EDC+∠DCB=180°.
∴DE//CB. (2) 解:
∵∠DCB=150°,若四边形 DCBE 是平行四边形,则 DC//BE,∠DCB+∠B=180°.
∴∠B=30°. 在 Rt△ACB 中,AC=$\frac{1}{2}$AB.
∴当 AC=$\frac{1}{2}$AB 时,四边形 DCBE 是平行四边形.