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8. 如图,在矩形$ABCD$中,$E$是$AB$上一点,$F$是$AD$上一点,$EF⊥ FC$,且$EF=FC$,$DF=4$ ,求$AE$的长.
答案
8.解:在矩形$ABCD$中,$∠ A=∠ D=90°$,
则$∠ DCF+∠ DFC=90°$.
$\because EF⊥ FC$,
$\therefore ∠ AFE+∠ DFC=180°-90°=90°$,
$\therefore ∠ AFE=∠ DCF$.
在$△ AEF$和$△ DFC$中,$\begin{cases} ∠ A=∠ D,\\ ∠ AFE=∠ DCF,\\ EF=FC,\\ \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ DFC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE=DF=4$.
则$∠ DCF+∠ DFC=90°$.
$\because EF⊥ FC$,
$\therefore ∠ AFE+∠ DFC=180°-90°=90°$,
$\therefore ∠ AFE=∠ DCF$.
在$△ AEF$和$△ DFC$中,$\begin{cases} ∠ A=∠ D,\\ ∠ AFE=∠ DCF,\\ EF=FC,\\ \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ DFC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE=DF=4$.
9. 如图,在矩形$ABCD$中,$E$是$BC$边上一点,$∠ AED=90°$,$∠ EAD=30°$,$F$是$AD$边的中点,$EF=4\ \mathrm{cm}$,则$BE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
9. $6$
10. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$在$BC$边上,点$F$是$AE$的中点,$AB=8$,$AD=DE=10$,则$BF$的长为
$2\sqrt{5}$
.答案
10. $2\sqrt{5}$
11. 如图,在$△ ABC$中,$D,E,F$分别为$BC,AC,AB$边的中点,$AH⊥ BC$于点$H$,$FD=5$,则$HE$等于
5
.答案
11. $5$
12. 如图,已知$AC⊥ BC$,$AD⊥ DB$,$E$为$AB$的中点.求证:$△ ECD$是等腰三角形.
答案
12.证明:$\because AC⊥ BC$,$AD⊥ DB$,
$\therefore △ ABC$和$△ ABD$是直角三角形.
$\because$点$E$是$AB$的中点,
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}AB$,$DE=\dfrac{1}{2}AB$,
$\therefore CE=DE$,
$\therefore △ ECD$是等腰三角形.
$\therefore △ ABC$和$△ ABD$是直角三角形.
$\because$点$E$是$AB$的中点,
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}AB$,$DE=\dfrac{1}{2}AB$,
$\therefore CE=DE$,
$\therefore △ ECD$是等腰三角形.
