13. 如图,矩形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,过点$D$作$AC$的平行线交$BC$的延长线于点$E$.
(1)求证:$BD=DE$;

(2)连接$OE$,若$AB=2$,$BC=4$,求$OE$的长.

13.(1)证明:$\because$四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AC=BD$,$AD// BC$,
又$\because DE// AC$,
$\therefore$四边形$ADEC$是平行四边形,
$\therefore AC=DE$,
$\therefore BD=DE$.
(2)解:如图,过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$.
$\because$四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AC=BD$,点$O$是$AC$,$BD$的中点,$AD=BC=4$,
$\therefore OC=\dfrac{1}{2}AC$,$OB=\dfrac{1}{2}BD$,
$\therefore OC=OB$,
$\therefore CF=BF=\dfrac{1}{2}BC=2$
$\because OF⊥ BC$,
$\therefore OF$是$△ BCD$的中位线,
$\therefore F$点是$BC$的中点,
$\therefore OF=\dfrac{1}{2}CD=1$,
又$\because$四边形$ADEC$是平行四边形,
$\therefore CE=AD=4$,
$\therefore EF=CF+CE=2+4=6$.
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中,由勾股定理可得:$OE=\sqrt{OF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{1^{2}+6^{2}}=\sqrt{37}$.

14. 在矩形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$BE⊥ AC$,垂足为$E$,$BE=\sqrt{3}$,$CE=3OE$,则对角线$AC$的长为.

14. $4$或$\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$

15. 如图,将矩形纸片$ABCD$沿直线$BD$折叠,使点$C$落在$C'$处,$BC'$,$AD$相交于点$E$.
(1)试判断$△ BDE$的形状,并说明理由;
(2)若$AB=4$,$AD=8$,求$△ BDE$的面积.

15.(1)$△ BDE$是等腰三角形.理由如下:
由折叠可知,$∠ CBD=∠ EBD$,
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ CBD=∠ EDB$,
$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$,
$\therefore BE=DE$,
即$△ BDE$是等腰三角形.
(2)设$DE=x$,则$BE=x$,$AE=8-x$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理得:$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$即$4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$,
解得:$x=5$.
所以$S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}DE× AB=\dfrac{1}{2}×5×4=10$.