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1. 填空。
(1) 把下面的数填在合适的括号里。
14 25 129 60 97 43 1 57 59 110 48 37 29 2 150
奇数：()；3的倍数：()；
质数：()；既是合数，又是偶数：()。
(2) 如果 $ m ÷ n = 6 $($ m $，$ n $ 都是非零自然数)，$ m $ 和 $ n $ 的最大公因数是()，最小公倍数是()，$ m $ 和 6 的最大公因数是()，最小公倍数是()。
(3) 如果 $ a $ 是奇数，那 $ a + 2 $ 是()数，$ 2a - 1 $ 是()数，$ 2a + 2 $ 是()数。
(4) $□□3$ 是个三位数，这个数至少加上()就是偶数，至少减去()就是 5 的倍数。
(5) 三个质数的和是 18，积是 110，这三个质数分别是()、()、()。
(1) 把下面的数填在合适的括号里。
14 25 129 60 97 43 1 57 59 110 48 37 29 2 150
奇数：()；3的倍数：()；
质数：()；既是合数，又是偶数：()。
(2) 如果 $ m ÷ n = 6 $($ m $，$ n $ 都是非零自然数)，$ m $ 和 $ n $ 的最大公因数是()，最小公倍数是()，$ m $ 和 6 的最大公因数是()，最小公倍数是()。
(3) 如果 $ a $ 是奇数，那 $ a + 2 $ 是()数，$ 2a - 1 $ 是()数，$ 2a + 2 $ 是()数。
(4) $□□3$ 是个三位数，这个数至少加上()就是偶数，至少减去()就是 5 的倍数。
(5) 三个质数的和是 18，积是 110，这三个质数分别是()、()、()。
答案
(1) 25,129,97,43,1,57,59,37,29；129,60,57,48,150；97,43,59,37,29,2；14,60,110,48,150
(2) n；m；6；m
(3) 奇；奇；偶
(4) 1；3
(5) 2；5；11
(2) n；m；6；m
(3) 奇；奇；偶
(4) 1；3
(5) 2；5；11
解析
(1) 奇数：不能被2整除的数，有25、129、97、43、1、57、59、37、29；3的倍数：各数位和是3的倍数，有129、60、57、48、150；质数：只有1和本身两个因数（＞1），有97、43、59、37、29、2；既是合数又是偶数：能被2整除且除1和本身外有其他因数，有14、60、110、48、150。
(2) m=6n，m和n是倍数关系，最大公因数n，最小公倍数m；m=6n，m和6的最大公因数6，最小公倍数m。
(3) 奇数+2=奇数；2a是偶数，偶数-1=奇数；2(a+1)是偶数。
(4) 个位3（奇数），加1得偶数；个位3，减3得0（5的倍数）。
(5) 质数和18（偶数），必有2，另两数和16、积55，为5和11。
(2) m=6n，m和n是倍数关系，最大公因数n，最小公倍数m；m=6n，m和6的最大公因数6，最小公倍数m。
(3) 奇数+2=奇数；2a是偶数，偶数-1=奇数；2(a+1)是偶数。
(4) 个位3（奇数），加1得偶数；个位3，减3得0（5的倍数）。
(5) 质数和18（偶数），必有2，另两数和16、积55，为5和11。
2. 判断。
(1) 自然数不是质数就是合数。()
(2) $ a $ 是质数，它的因数也都是质数。()
(3) 两个连续自然数的和一定是奇数，积一定是合数。()
(4) 一个自然数越大，它的因数个数就越多。()
(5) 如果 $ a $ 是 37 的因数，那么 $ a $ 只能是 1。()
(1) 自然数不是质数就是合数。()
(2) $ a $ 是质数，它的因数也都是质数。()
(3) 两个连续自然数的和一定是奇数，积一定是合数。()
(4) 一个自然数越大，它的因数个数就越多。()
(5) 如果 $ a $ 是 37 的因数，那么 $ a $ 只能是 1。()
答案
(1) ×
(2) ×
(3) ×
(4) ×
(5) ×
解析
(1) 自然数包括1，而1既不是质数也不是合数，故错误。
(2) $a$是质数，但它的因数包括1和它本身，1不是质数，故错误。
(3) 两个连续自然数必为一奇一偶，和为奇数；但积不一定是合数，如1和2的积为2，是质数，题目（这里两个连续自然数如果包含1则反例存在，但通常自然数从1开始时，如1和2的积为2是质数，若自然数从0开始则0×1=0不是合数，但题意应指正整数，按常规判断为错误更合理），根据常规理解判断为错误。
(4) 因数个数与自然数大小无关，如8的因数有1,2,4,8共4个，而11的因数只有1,11共2个，故错误。
(5) 37是质数，它的因数只有1和37本身，故$a$可以是1或37，故错误。
(2) $a$是质数，但它的因数包括1和它本身，1不是质数，故错误。
(3) 两个连续自然数必为一奇一偶，和为奇数；但积不一定是合数，如1和2的积为2，是质数，题目（这里两个连续自然数如果包含1则反例存在，但通常自然数从1开始时，如1和2的积为2是质数，若自然数从0开始则0×1=0不是合数，但题意应指正整数，按常规判断为错误更合理），根据常规理解判断为错误。
(4) 因数个数与自然数大小无关，如8的因数有1,2,4,8共4个，而11的因数只有1,11共2个，故错误。
(5) 37是质数，它的因数只有1和37本身，故$a$可以是1或37，故错误。
3. 找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
24 和 16 18 和 27 17 和 51 11，4 和 6
24 和 16 18 和 27 17 和 51 11，4 和 6
答案
1.
24和16：
$24=2×2×2×3$；
$16 = 2×2×2×2$。
最大公因数：$2×2×2 = 8$；
最小公倍数：$2×2×2×2×3=48$。
2.
18和27：
$18 = 2×3×3$；
$27=3×3×3$。
最大公因数：$3×3 = 9$；
最小公倍数：$2×3×3×3 = 54$。
3.
17和51：
因为$51÷17 = 3$，即$51$是$17$的倍数。
最大公因数：$17$；
最小公倍数：$51$。
4.
11，4和6：
先对$4$和$6$分解质因数，$4 = 2×2$，$6=2×3$。
$11$与$4$互质，$11$与$6$也互质，$4$和$6$最大公因数是$2$。
所以$11$，$4$，$6$的最大公因数：$1$。
最小公倍数：$2×2×3×11 = 132$。
综上：24和16最大公因数8，最小公倍数48；18和27最大公因数9，最小公倍数54；17和51最大公因数17，最小公倍数51；11，4和6最大公因数1，最小公倍数132。
24和16：
$24=2×2×2×3$；
$16 = 2×2×2×2$。
最大公因数：$2×2×2 = 8$；
最小公倍数：$2×2×2×2×3=48$。
2.
18和27：
$18 = 2×3×3$；
$27=3×3×3$。
最大公因数：$3×3 = 9$；
最小公倍数：$2×3×3×3 = 54$。
3.
17和51：
因为$51÷17 = 3$，即$51$是$17$的倍数。
最大公因数：$17$；
最小公倍数：$51$。
4.
11，4和6：
先对$4$和$6$分解质因数，$4 = 2×2$，$6=2×3$。
$11$与$4$互质，$11$与$6$也互质，$4$和$6$最大公因数是$2$。
所以$11$，$4$，$6$的最大公因数：$1$。
最小公倍数：$2×2×3×11 = 132$。
综上：24和16最大公因数8，最小公倍数48；18和27最大公因数9，最小公倍数54；17和51最大公因数17，最小公倍数51；11，4和6最大公因数1，最小公倍数132。
4. 一张长方形卡片，长 60 cm，宽 36 cm。若把这张卡片剪成同样大小的小正方形卡片，且没有剩余，小正方形卡片的边长最大是多少？用这些小正方形卡片拼一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米？
答案
12厘米；36厘米。
解析
1. 求60和36的最大公因数：
60=2×2×3×5，36=2×2×3×3，最大公因数=2×2×3=12，故小正方形边长最大是12cm。
2. 小正方形数量：(60÷12)×(36÷12)=5×3=15个。
拼最大正方形，边长为小正方形边长的整数倍，设为12k cm，k²≤15，k最大取3，故大正方形边长=12×3=36cm。
60=2×2×3×5，36=2×2×3×3，最大公因数=2×2×3=12，故小正方形边长最大是12cm。
2. 小正方形数量：(60÷12)×(36÷12)=5×3=15个。
拼最大正方形，边长为小正方形边长的整数倍，设为12k cm，k²≤15，k最大取3，故大正方形边长=12×3=36cm。
5. 一箱粽子无论是平均分给 8 个人还是分给 6 个人，最后都剩下 3 个粽子。这箱粽子至少有几个？
答案
首先求8和6的最小公倍数：
$8=2×2×2$，
$6=2×3$，
所以8和6的最小公倍数为$2×2×2×3=24$。
因为分给8个人或6个人都剩3个，
所以粽子数至少为：
$24+3=27（个）$。
综上，这箱粽子至少有27个。
$8=2×2×2$，
$6=2×3$，
所以8和6的最小公倍数为$2×2×2×3=24$。
因为分给8个人或6个人都剩3个，
所以粽子数至少为：
$24+3=27（个）$。
综上，这箱粽子至少有27个。
