1. 填空。
(1) 把 5 米长的绳子平均分成 3 段，每段是全长的()，每段长()米。
(2) 一条铁丝长 3 m，如果用去 $\frac{2}{5}$，那么还剩 $\frac{(\ )}{(\ )}$，如果用去 $\frac{2}{5}$ m，那么还剩()m。
(3) 12 个 $\frac{1}{15}$ 是()；$ 2\frac{3}{4} $ 里面有()个 $\frac{1}{4}$，去掉()个 $\frac{1}{4}$ 就是最小的质数。
(4) $\frac{5}{8} = \frac{(\ )}{24} = (\ ) ÷ 40 = \frac{40}{(\ )} = (\ )$（填小数）
(5) 要使 $\frac{a + 5}{18}$ 是一个最简真分数，那么 $ a $ 可取的自然数有()个。

(1)$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$；(2)$\frac{3}{5}$，$\frac{13}{5}$；(3)$\frac{4}{5}$，11，3；(4)15，25，64，0.625；(5)5。

(1)把5米长的绳子看作单位“1”，平均分成3段，每段是全长的$1÷3 = \frac{1}{3}$；每段长$5÷3=\frac{5}{3}$米。
(2)把铁丝长度看作单位“1”，用去$\frac{2}{5}$，则还剩$1 - \frac{2}{5}=\frac{3}{5}$；用去$\frac{2}{5}$米，则还剩$3-\frac{2}{5}=3 - 0.4 = 2.6=\frac{13}{5}$米。
(3)12个$\frac{1}{15}$是$12×\frac{1}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$；$2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$，$\frac{11}{4}$里面有11个$\frac{1}{4}$，最小的质数是2，$2=\frac{8}{4}$，$11 - 8 = 3$，即去掉3个$\frac{1}{4}$就是最小的质数。
(4)根据分数的基本性质，$\frac{5}{8}=\frac{5×3}{8×3}=\frac{15}{24}$，$\frac{5}{8}=\frac{5×5}{8×5}=\frac{25}{40}=25÷40$，$\frac{5}{8}=\frac{5×8}{8×8}=\frac{40}{64}$，$\frac{5}{8}=5÷8 = 0.625$。
(5)最简真分数是分子小于分母且分子和分母互质的分数，当$\frac{a + 5}{18}$是最简真分数时，$a + 5＜18$且$a + 5$与18互质，$a+5＜18$则$a＜13$，$a + 5$与18互质时，$a+5$可以为1，5，7，11，13，17，对应的$a$为$- 4$（舍去），0，2，6，8，12，共5个自然数。

2. 选择。
(1) 下面说法正确的是()。
A. $\frac{5}{8}$ m 既表示 1 m 的 $\frac{5}{8}$，又表示 5 m 的 $\frac{1}{8}$
B. $\frac{a}{b}$ 比 $\frac{a}{2b}$($ a $，$ b $ 都是非零自然数)小
C. 大于 $\frac{1}{5}$ 且小于 $\frac{1}{4}$ 的分数是没有的
D. $\frac{x - 1}{x}$($ x $ 为大于 1 的自然数)不一定是最简分数
(2) $ △ + \frac{1}{4} = ☆ + \frac{1}{5} $，比较 $ △ $ 和 $ ☆ $ 的大小，下面正确的是()。
A. $ △ ＞ ☆ $
B. $ △ ＜ ☆ $
C. $ △ = ☆ $
D. 无法判断

(1)A；(2)B

(1)
选项A：$1m×\frac{5}{8}=\frac{5}{8}m$，$5m×\frac{1}{8}=\frac{5}{8}m$，所以$\frac{5}{8}m$既表示$1m$的$\frac{5}{8}$，又表示$5m$的$\frac{1}{8}$，该选项正确。
选项B：$\frac{a}{b}-\frac{a}{2b}=\frac{2a}{2b}-\frac{a}{2b}=\frac{a}{2b}＞0$（$a,b$是非零自然数），所以$\frac{a}{b}＞\frac{a}{2b}$，该选项错误。
选项C：把$\frac{1}{5}=\frac{9}{45}$，$\frac{1}{4}=\frac{10}{40}=\frac{11.25}{45}$（写法仅用于说明），中间有$\frac{9.1}{45}$等（通分后可找到），如$\frac{9 + 1}{45+ 1}=\frac{2}{9}$，说明大于$\frac{1}{5}$且小于$\frac{1}{4}$的分数有，该选项错误。
选项D：$\frac{x - 1}{x}$，$x$与$x - 1$是相邻自然数，相邻自然数互质，所以$\frac{x - 1}{x}$一定是最简分数，该选项错误。
(2)由$△+\frac{1}{4}=☆+\frac{1}{5}$，可得$△ - ☆=\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{4}{20}-\frac{5}{20}=-\frac{1}{20}＜0$，所以$△＜☆$。

3. 用递等式计算。
$\frac{3}{8} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$ $\frac{31}{18} - (\frac{25}{18} + \frac{1}{9})$ $8 - 10 ÷ 7 - \frac{4}{7}$ $\frac{9}{7} + (\frac{17}{12} - \frac{5}{7}) - \frac{5}{12}$

第一题：$\frac{3}{8} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
解：
$\frac{3}{8} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$
$= \frac{9}{24} + \frac{16}{24} - \frac{6}{24}$
$= \frac{25}{24} - \frac{6}{24}$
$= \frac{19}{24}$
第二题：$\frac{31}{18} - (\frac{25}{18} + \frac{1}{9})$
解：
$\frac{31}{18} - (\frac{25}{18} + \frac{1}{9})$
$= \frac{31}{18} - (\frac{25}{18} + \frac{2}{18})$
$= \frac{31}{18} - \frac{27}{18}$
$= \frac{4}{18}$
$= \frac{2}{9}$
第三题：$8 - 10 ÷ 7 - \frac{4}{7}$
解：
$8 - 10 ÷ 7 - \frac{4}{7}$
$= 8 - \frac{10}{7} - \frac{4}{7}$
$= 8 - (\frac{10}{7} + \frac{4}{7})$
$= 8 - 2$
$= 6$
第四题：$\frac{9}{7} + (\frac{17}{12} - \frac{5}{7}) - \frac{5}{12}$
解：
$\frac{9}{7} + (\frac{17}{12} - \frac{5}{7}) - \frac{5}{12}$
$= \frac{9}{7} - \frac{5}{7} + \frac{17}{12} - \frac{5}{12}$
$= (\frac{9}{7} - \frac{5}{7}) + (\frac{17}{12} - \frac{5}{12})$
$= \frac{4}{7} + 1$
$= 1\frac{4}{7}$

4. 一堆沙子重 5 吨，先运走了 $\frac{1}{4}$ 吨，后运走了 $\frac{2}{5}$ 吨，剩下的沙子有几吨？

5 - $\frac{1}{4}$ - $\frac{2}{5}$
= $\frac{100}{20}$ - $\frac{5}{20}$ - $\frac{8}{20}$
= $\frac{87}{20}$（吨）
答：剩下的沙子有$\frac{87}{20}$吨。

5. 一堆沙子重 5 吨，先运走了总量的 $\frac{1}{4}$，后运走总量的 $\frac{2}{5}$，剩下的沙子是这堆沙子总量的几分之几？

把这堆沙子的总量看成单位“1”。
先运走了总量的$\frac{1}{4}$，后运走了总量的$\frac{2}{5}$。
那么剩下的沙子占比为：
$1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{5}$
$= \frac{20}{20} - \frac{5}{20} - \frac{8}{20}$
$= \frac{7}{20}$
答：剩下的沙子是这堆沙子总量的$\frac{7}{20}$。