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成反比例的量和反比例关系
(1)两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积______,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作______；
(2)如果用字母$x和y$表示两个相关联的量,用$k$表示它们的积($k$是一个确定的值,且$k$______0),这个反比例关系可以用______来表示。
(1)两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积______,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作______；
(2)如果用字母$x和y$表示两个相关联的量,用$k$表示它们的积($k$是一个确定的值,且$k$______0),这个反比例关系可以用______来表示。
答案
(1)一定 反比例关系
(2)≠ xy=k
解析
【分析】
本题考查反比例相关的基础概念，解题时先回忆反比例的核心特征与表达式要求：1. 区分正比例和反比例的判定依据：正比例是两个量的比值（商）一定，反比例是两个量的乘积一定，据此可填第一问的两个空；2. 思考反比例中定值k的取值要求：如果k为0，那么x或y必然有一个恒为0，不符合“两个量都随对方变化”的要求，因此k不能等于0，再根据乘积为定值的规律写出反比例的字母表达式即可。
【解析】
(1) 根据成反比例的量的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，若这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。因此前两个空依次填“一定”、“反比例关系”。
(2) 若k=0，则x和y中至少有一个值恒为0，不满足“两个量均随对方变化”的要求，因此k≠0；两个相关联的量乘积为定值k，因此反比例关系的字母表达式为xy=k。因此后两个空依次填“≠”、“xy=k”。
【答案】
(1)一定；反比例关系
(2)≠；xy=k
【知识点】
反比例的意义；反比例关系表达式
【点评】
本题是对反比例基础概念的直接考查，解题的关键是准确记忆反比例的核心判定特征（乘积一定），同时注意区分正比例和反比例的不同判定依据，牢记反比例表达式中k不能为0的要求，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例相关的基础概念，解题时先回忆反比例的核心特征与表达式要求：1. 区分正比例和反比例的判定依据：正比例是两个量的比值（商）一定，反比例是两个量的乘积一定，据此可填第一问的两个空；2. 思考反比例中定值k的取值要求：如果k为0，那么x或y必然有一个恒为0，不符合“两个量都随对方变化”的要求，因此k不能等于0，再根据乘积为定值的规律写出反比例的字母表达式即可。
【解析】
(1) 根据成反比例的量的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，若这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。因此前两个空依次填“一定”、“反比例关系”。
(2) 若k=0，则x和y中至少有一个值恒为0，不满足“两个量均随对方变化”的要求，因此k≠0；两个相关联的量乘积为定值k，因此反比例关系的字母表达式为xy=k。因此后两个空依次填“≠”、“xy=k”。
【答案】
(1)一定；反比例关系
(2)≠；xy=k
【知识点】
反比例的意义；反比例关系表达式
【点评】
本题是对反比例基础概念的直接考查，解题的关键是准确记忆反比例的核心判定特征（乘积一定），同时注意区分正比例和反比例的不同判定依据，牢记反比例表达式中k不能为0的要求，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
【例1】下列相关联的量中,成反比例关系的是( )
A.面积一定的平行四边形的底和高
B.圆的周长与面积
C.正方形的周长与边长
D.体积一定的圆柱的底面半径与高
A.面积一定的平行四边形的底和高
B.圆的周长与面积
C.正方形的周长与边长
D.体积一定的圆柱的底面半径与高
答案
A
解析
【分析】
要判断两个相关联的量是否成反比例关系，首先要明确反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。解题时我们只需逐个分析每个选项中两个量的乘积是否为定值，即可得出正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的判定标准：两种相关联的量，若对应数值的乘积为定值，则二者成反比例关系。我们逐个分析选项：
A选项：平行四边形的面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知面积固定，因此底和高的乘积为定值，二者成反比例关系，符合要求。
B选项：圆的周长$C=2π r$，面积$S=π r^2$，周长和面积的乘积、比值都不是固定值，因此二者不成比例关系。
C选项：正方形的周长公式为$\mathrm{周长}=4×\mathrm{边长}$，可得$\mathrm{周长}÷\mathrm{边长}=4$，二者比值为定值，成正比例关系，不是反比例。
D选项：圆柱的体积公式为$\mathrm{体积}=π×\mathrm{底面半径}^2×\mathrm{高}$，体积固定时，是底面半径的平方和高的乘积为定值，不是底面半径和高的乘积为定值，因此二者不成反比例关系。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例的意义；正比例的意义；常见几何量计算公式
【点评】
本题重点考查正反比例关系的判断，解题核心是区分两个相关联的量是乘积一定（反比例）还是比值一定（正比例），同时要注意分析公式中涉及的变量具体是哪一个，避免因看错变量误选错误选项。
【难度系数】
0.7
要判断两个相关联的量是否成反比例关系，首先要明确反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。解题时我们只需逐个分析每个选项中两个量的乘积是否为定值，即可得出正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的判定标准：两种相关联的量，若对应数值的乘积为定值，则二者成反比例关系。我们逐个分析选项：
A选项：平行四边形的面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知面积固定，因此底和高的乘积为定值，二者成反比例关系，符合要求。
B选项：圆的周长$C=2π r$，面积$S=π r^2$，周长和面积的乘积、比值都不是固定值，因此二者不成比例关系。
C选项：正方形的周长公式为$\mathrm{周长}=4×\mathrm{边长}$，可得$\mathrm{周长}÷\mathrm{边长}=4$，二者比值为定值，成正比例关系，不是反比例。
D选项：圆柱的体积公式为$\mathrm{体积}=π×\mathrm{底面半径}^2×\mathrm{高}$，体积固定时，是底面半径的平方和高的乘积为定值，不是底面半径和高的乘积为定值，因此二者不成反比例关系。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例的意义；正比例的意义；常见几何量计算公式
【点评】
本题重点考查正反比例关系的判断，解题核心是区分两个相关联的量是乘积一定（反比例）还是比值一定（正比例），同时要注意分析公式中涉及的变量具体是哪一个，避免因看错变量误选错误选项。
【难度系数】
0.7
判断两个相关联的量之间成什么比例,就看这两个量是对应的比值一定,还是对应的乘积一定；如果是比值一定,就成正比例；如果是乘积一定,就成反比例。
答案
题目为概念陈述，无需选择答案。若为判断题则答案为正确。
解析
【分析】
本题考查正反比例关系的判定概念，解题思路为先回忆教材中正反比例的判定规则，再将题干表述和教材规则做对比：判断两个相关联的量成正/反比例的核心依据就是看两个量是比值固定还是乘积固定，比值固定成正比例，乘积固定成反比例，和题干表述完全一致。
【解析】
两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化：
①若两个量对应的比值（商）一定，则两个量成正比例关系；
②若两个量对应的乘积一定，则两个量成反比例关系。
题干表述与正反比例的判定规则完全吻合，因此该概念陈述正确。本题为概念陈述类内容，无对应选项类答案，若作为判断题考察，答案为正确。
【答案】
题目为概念陈述，无需选择答案。若为判断题则答案为正确。
【知识点】
1. 正比例关系判定
2. 反比例关系判定
【点评】
本题考察正反比例判断的核心基础规则，是后续解决正反比例应用类题目的前提，需要熟练掌握该判定方法。
【难度系数】
0.9
本题考查正反比例关系的判定概念，解题思路为先回忆教材中正反比例的判定规则，再将题干表述和教材规则做对比：判断两个相关联的量成正/反比例的核心依据就是看两个量是比值固定还是乘积固定，比值固定成正比例，乘积固定成反比例，和题干表述完全一致。
【解析】
两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化：
①若两个量对应的比值（商）一定，则两个量成正比例关系；
②若两个量对应的乘积一定，则两个量成反比例关系。
题干表述与正反比例的判定规则完全吻合，因此该概念陈述正确。本题为概念陈述类内容，无对应选项类答案，若作为判断题考察，答案为正确。
【答案】
题目为概念陈述，无需选择答案。若为判断题则答案为正确。
【知识点】
1. 正比例关系判定
2. 反比例关系判定
【点评】
本题考察正反比例判断的核心基础规则，是后续解决正反比例应用类题目的前提，需要熟练掌握该判定方法。
【难度系数】
0.9
1. $y与x的反比例关系可用xy = -3$表示,则$k$是( )
A.$-3$
B.$3$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$-3$
B.$3$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆反比例关系的标准表达形式：如果两个量x和y成反比例关系，那么它们的乘积等于一个固定不变的常数k，即$xy=k$（k为常数，$k≠0$）。解题时只需将题目给出的式子和这个标准形式做对比，就能直接找到对应的k值。
【解析】
根据反比例关系的定义，成反比例关系的两个量的乘积为固定常数，一般记作$xy=k$（k为常数，$k≠0$）。已知题目中y与x的反比例关系表示为$xy=-3$，将其和标准形式$xy=k$对比，可直接得出常数$k=-3$，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例关系的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例关系基本表达形式的掌握，只要牢记反比例关系中两个变量的乘积为定值的特点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆反比例关系的标准表达形式：如果两个量x和y成反比例关系，那么它们的乘积等于一个固定不变的常数k，即$xy=k$（k为常数，$k≠0$）。解题时只需将题目给出的式子和这个标准形式做对比，就能直接找到对应的k值。
【解析】
根据反比例关系的定义，成反比例关系的两个量的乘积为固定常数，一般记作$xy=k$（k为常数，$k≠0$）。已知题目中y与x的反比例关系表示为$xy=-3$，将其和标准形式$xy=k$对比，可直接得出常数$k=-3$，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例关系的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例关系基本表达形式的掌握，只要牢记反比例关系中两个变量的乘积为定值的特点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列式子中表示$y与x$成反比例关系的是( )
A.$y = 2x$
B.$xy = 1$
C.$y = 2x - 1$
D.$y = \frac{5}{x^{2}}$
A.$y = 2x$
B.$xy = 1$
C.$y = 2x - 1$
D.$y = \frac{5}{x^{2}}$
答案
B
解析
【分析】
要判断y与x是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的核心判定标准：两个相关联的量x、y，若它们的乘积是固定不为0的常数，则y与x成反比例关系，也可以转化为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的形式判断。解题时先牢记判定标准，再逐一分析每个选项的式子特征，和标准比对后排除不符合的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：如果两个相关联的量x和y满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），那么y与x成反比例关系，我们逐项分析：
A选项：$y=2x$可变形为$\frac{y}{x}=2$，是x和y的比值为定值，属于正比例关系，不符合要求；
B选项：$xy=1$，x和y的乘积为定值1（不为0），完全符合反比例关系的定义，符合要求；
C选项：$y=2x-1$是一次函数形式，x和y的乘积、比值都不是定值，不属于反比例关系，不符合要求；
D选项：$y=\frac{5}{x^2}$可变形为$x^2y=5$，是x的平方与y的乘积为定值，即y与$x^2$成反比例关系，不是y与x成反比例关系，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系判定；正比例关系识别；一次函数概念
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例关系定义的理解，解题的关键是抓住“y与x的乘积为定值”这一核心特征，注意不要和正比例、一次函数的形式混淆，同时要避免误将y与x的幂次成反比例当成y与x成反比例。
【难度系数】
0.8
要判断y与x是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的核心判定标准：两个相关联的量x、y，若它们的乘积是固定不为0的常数，则y与x成反比例关系，也可以转化为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的形式判断。解题时先牢记判定标准，再逐一分析每个选项的式子特征，和标准比对后排除不符合的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：如果两个相关联的量x和y满足$xy=k$（k为常数，且$k≠0$），那么y与x成反比例关系，我们逐项分析：
A选项：$y=2x$可变形为$\frac{y}{x}=2$，是x和y的比值为定值，属于正比例关系，不符合要求；
B选项：$xy=1$，x和y的乘积为定值1（不为0），完全符合反比例关系的定义，符合要求；
C选项：$y=2x-1$是一次函数形式，x和y的乘积、比值都不是定值，不属于反比例关系，不符合要求；
D选项：$y=\frac{5}{x^2}$可变形为$x^2y=5$，是x的平方与y的乘积为定值，即y与$x^2$成反比例关系，不是y与x成反比例关系，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系判定；正比例关系识别；一次函数概念
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例关系定义的理解，解题的关键是抓住“y与x的乘积为定值”这一核心特征，注意不要和正比例、一次函数的形式混淆，同时要避免误将y与x的幂次成反比例当成y与x成反比例。
【难度系数】
0.8
3. 一个游泳池的容积为$2000m^{3}$,游泳池注满水所用时间$t与注水速度v$______(选填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”)。
答案
成反比例
解析
【分析】
判断两个相关联的量成什么比例，核心看两个量的对应关系：如果两个量的比值（商）一定，就成正比例；如果两个量的乘积一定，就成反比例。首先可知注水速度v变化时，注满水的时间t也会随之变化，二者是相关联的量。再结合题意找两者的数量关系：游泳池容积=注水速度×注满水的时间，即$v× t=2000\mathrm{m}^3$，是固定不变的定值，符合反比例的判定条件。
【解析】
根据题意可得数量关系：$ v × t = 2000\mathrm{m}^3 $，t和v是相关联的两个量，且它们的乘积为固定值，因此注满水所用时间t与注水速度v成反比例。
【答案】
成反比例
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 正反比例的辨识
【点评】
本题是比例判定的基础题型，解题的关键是先确定两个量是否相关联，再判断二者是乘积一定还是比值一定，结合数量关系推导即可。
【难度系数】
0.9
判断两个相关联的量成什么比例，核心看两个量的对应关系：如果两个量的比值（商）一定，就成正比例；如果两个量的乘积一定，就成反比例。首先可知注水速度v变化时，注满水的时间t也会随之变化，二者是相关联的量。再结合题意找两者的数量关系：游泳池容积=注水速度×注满水的时间，即$v× t=2000\mathrm{m}^3$，是固定不变的定值，符合反比例的判定条件。
【解析】
根据题意可得数量关系：$ v × t = 2000\mathrm{m}^3 $，t和v是相关联的两个量，且它们的乘积为固定值，因此注满水所用时间t与注水速度v成反比例。
【答案】
成反比例
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 正反比例的辨识
【点评】
本题是比例判定的基础题型，解题的关键是先确定两个量是否相关联，再判断二者是乘积一定还是比值一定，结合数量关系推导即可。
【难度系数】
0.9
【例2】有一个容积一定的空水池,现往水池中注水,注满水池需要的时间$y(min)与注水速度x(L/min)$之间成什么比例关系？已知当注水速度为$30L/min$时,注满水池需要的时间为$20min$。
(1)用式子表示$y与x$之间的关系；
(2)若注满水池需要的时间为$60min$,则注水的速度应为多少？
(1)用式子表示$y与x$之间的关系；
(2)若注满水池需要的时间为$60min$,则注水的速度应为多少？
答案
解:y与x之间成反比例关系.
(1)因为20×30=600,所以xy=600.
(2)当y=60时,x=600/60=10.
所以注水的速度应为10 L/min.
(1)因为20×30=600,所以xy=600.
(2)当y=60时,x=600/60=10.
所以注水的速度应为10 L/min.
解析
【分析】
首先判断比例关系：水池的容积是固定不变的，而容积等于注水速度乘以注满水池的时间，也就是x和y的乘积为定值，符合反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例），所以y和x成反比例。解第一问时，先根据已知的速度和时间算出总容积，就能得到x和y的关系式；解第二问时，把给出的时间代入关系式，就能求出对应的注水速度。
【解析】
因为水池容积固定，容积=注水速度×注满时间，即$xy$为定值，所以$y$与$x$之间成反比例关系。
(1) 已知当注水速度$x=30\mathrm{L/min}$时，注满时间$y=20\mathrm{min}$，则水池的总容积为$30×20=600(\mathrm{L})$，因此$y$与$x$的关系为：$xy=600$。
(2) 当注满时间$y=60\mathrm{min}$时，将其代入$xy=600$，可得$x=\frac{600}{y}=\frac{600}{60}=10(\mathrm{L/min})$。
【答案】
$y$与$x$成反比例关系；(1)$xy=600$；(2)$10\mathrm{L/min}$
【知识点】
反比例关系判定；列反比例关系式；反比例实际应用
【点评】
本题是反比例关系在注水问题中的实际应用，解题的核心是抓住“水池容积不变”这个不变量，明确注水速度和注满时间的乘积为定值，再代入已知条件计算即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
首先判断比例关系：水池的容积是固定不变的，而容积等于注水速度乘以注满水池的时间，也就是x和y的乘积为定值，符合反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例），所以y和x成反比例。解第一问时，先根据已知的速度和时间算出总容积，就能得到x和y的关系式；解第二问时，把给出的时间代入关系式，就能求出对应的注水速度。
【解析】
因为水池容积固定，容积=注水速度×注满时间，即$xy$为定值，所以$y$与$x$之间成反比例关系。
(1) 已知当注水速度$x=30\mathrm{L/min}$时，注满时间$y=20\mathrm{min}$，则水池的总容积为$30×20=600(\mathrm{L})$，因此$y$与$x$的关系为：$xy=600$。
(2) 当注满时间$y=60\mathrm{min}$时，将其代入$xy=600$，可得$x=\frac{600}{y}=\frac{600}{60}=10(\mathrm{L/min})$。
【答案】
$y$与$x$成反比例关系；(1)$xy=600$；(2)$10\mathrm{L/min}$
【知识点】
反比例关系判定；列反比例关系式；反比例实际应用
【点评】
本题是反比例关系在注水问题中的实际应用，解题的核心是抓住“水池容积不变”这个不变量，明确注水速度和注满时间的乘积为定值，再代入已知条件计算即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
根据实际问题中两个变量之间的关系列出式子,再根据“乘积为定值的两个相关联的量成反比例关系”进行判断。
答案
答案略
解析
【分析】
解题时可按三步展开思考：第一步，先从实际问题中找出两个相关联的变量，确认一个量发生变化时，另一个量也会随之变化；第二步，结合实际问题的基本数量关系，列出两个变量的对应关系式，并将其变形为两个变量相乘的形式；第三步，观察两个变量的乘积是否为固定不变的定值，若乘积是定值，则两个量成反比例关系，若不是则不成反比例。
【解析】
我们以常见实际问题为例演示完整解题步骤：
例：某社区要组织120名居民集体出游，判断租用的每辆车可乘坐人数a和需要租用的车辆数b是否成反比例。
步骤1：确定关联变量：每辆车可乘坐人数a和需要的车辆数b是相关联的量，a发生变化时b也会随之变化。
步骤2：列数量关系式：总人数=每辆车乘坐人数×车辆数，即$a × b = 120$。
步骤3：判断乘积是否为定值：这里总人数120是固定不变的定值，即a和b的乘积为定值，因此a和b成反比例关系。
若两个变量的乘积不是定值则不成反比例，比如购买单价为2元的签字笔，总花费y和购买数量x的关系为$y=2x$，变形可得$y÷ x=2$（比值为定值），乘积$xy$不是定值，因此y和x不成反比例，属于正比例关系。
【答案】
略
【知识点】
反比例关系判定、数量关系梳理、定值判断
【点评】
本题是反比例关系判定的基础题型，解题核心是牢牢抓住“两个关联量的乘积为定值”这一判定依据，注意区分反比例和正比例的判定特征，避免混淆两类比例关系的判断标准。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步展开思考：第一步，先从实际问题中找出两个相关联的变量，确认一个量发生变化时，另一个量也会随之变化；第二步，结合实际问题的基本数量关系，列出两个变量的对应关系式，并将其变形为两个变量相乘的形式；第三步，观察两个变量的乘积是否为固定不变的定值，若乘积是定值，则两个量成反比例关系，若不是则不成反比例。
【解析】
我们以常见实际问题为例演示完整解题步骤：
例：某社区要组织120名居民集体出游，判断租用的每辆车可乘坐人数a和需要租用的车辆数b是否成反比例。
步骤1：确定关联变量：每辆车可乘坐人数a和需要的车辆数b是相关联的量，a发生变化时b也会随之变化。
步骤2：列数量关系式：总人数=每辆车乘坐人数×车辆数，即$a × b = 120$。
步骤3：判断乘积是否为定值：这里总人数120是固定不变的定值，即a和b的乘积为定值，因此a和b成反比例关系。
若两个变量的乘积不是定值则不成反比例，比如购买单价为2元的签字笔，总花费y和购买数量x的关系为$y=2x$，变形可得$y÷ x=2$（比值为定值），乘积$xy$不是定值，因此y和x不成反比例，属于正比例关系。
【答案】
略
【知识点】
反比例关系判定、数量关系梳理、定值判断
【点评】
本题是反比例关系判定的基础题型，解题核心是牢牢抓住“两个关联量的乘积为定值”这一判定依据，注意区分反比例和正比例的判定特征，避免混淆两类比例关系的判断标准。
【难度系数】
0.8
