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7. 某铁路线上,在A地到B地之间有一段很长的冻土地段。列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100km/h和120km/h。从A地到B地,列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5h,如果通过冻土地段需要$m$h,那么非冻土地段的长度是多少千米(用含$m$的代数式表示)？
答案
解:$120(m-0.5)\ km$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件和所求量的关联：首先已知冻土地段行驶时间为$m$ h，且冻土地段行驶时间比非冻土地段多0.5 h，因此可先求出非冻土地段的行驶时间；再结合“路程=速度×时间”的基本公式，用非冻土地段的行驶速度乘对应行驶时间，即可得到非冻土地段的长度，最终整理为含$m$的代数式即可。
【解析】
1. 求非冻土地段的行驶时间：
已知列车通过冻土地段需要$m$ h，且通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，因此非冻土地段的行驶时间为$(m - 0.5)$ h。
2. 计算非冻土地段的长度：
已知非冻土地段的行驶速度为120 km/h，根据路程=速度×时间，可得非冻土地段长度为$120× (m - 0.5)=120(m - 0.5)$ km。
【答案】
$120(m-0.5)\ \mathrm{km}$
【知识点】
列代数式；行程问题数量关系；用字母表示数
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是准确厘清两个路段行驶时间的大小关系，再结合行程基本公式列式即可，主要考查学生从实际问题中提取数量关系的能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件和所求量的关联：首先已知冻土地段行驶时间为$m$ h，且冻土地段行驶时间比非冻土地段多0.5 h，因此可先求出非冻土地段的行驶时间；再结合“路程=速度×时间”的基本公式，用非冻土地段的行驶速度乘对应行驶时间，即可得到非冻土地段的长度，最终整理为含$m$的代数式即可。
【解析】
1. 求非冻土地段的行驶时间：
已知列车通过冻土地段需要$m$ h，且通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，因此非冻土地段的行驶时间为$(m - 0.5)$ h。
2. 计算非冻土地段的长度：
已知非冻土地段的行驶速度为120 km/h，根据路程=速度×时间，可得非冻土地段长度为$120× (m - 0.5)=120(m - 0.5)$ km。
【答案】
$120(m-0.5)\ \mathrm{km}$
【知识点】
列代数式；行程问题数量关系；用字母表示数
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题核心是准确厘清两个路段行驶时间的大小关系，再结合行程基本公式列式即可，主要考查学生从实际问题中提取数量关系的能力。
【难度系数】
0.8
8. 一筐梨连筐共重$a$kg,倒出一半后,连筐共重21.5kg,筐里原来有多少千克梨？下面列式正确的是( )
A.$(a - 21.5) × 2$
B.$a ÷ 2 - 21.5$
C.$21.5 × 2 - a$
D.$a - 21.5$
A.$(a - 21.5) × 2$
B.$a ÷ 2 - 21.5$
C.$21.5 × 2 - a$
D.$a - 21.5$
答案
A
解析
【分析】
解题时先明确题中的不变量是筐的重量，变化的只有梨的重量。原来连筐总重$a\ \mathrm{kg}$，倒出一半梨后连筐重21.5kg，两次称重的差值就是倒出的一半梨的重量，算出一半梨的重量后乘2，就能得到原来梨的总重量，再对应选项选出正确列式即可。
【解析】
1. 计算一半梨的重量：
由于筐的重量不变，因此一半梨的重量 = 原来连筐总重量 - 倒出一半梨后连筐的重量，即$(a - 21.5)\ \mathrm{kg}$。
2. 计算原来梨的总重量：
原来的梨总重量是一半梨重量的2倍，因此原来梨重为$(a - 21.5) × 2\ \mathrm{kg}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；用字母表示数；实际问题的数量关系
【点评】
本题考察代数式在实际问题中的应用，解题核心是抓住“倒出前后的重量差就是一半梨的重量”这一关键等量关系，理清各个量的逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题中的不变量是筐的重量，变化的只有梨的重量。原来连筐总重$a\ \mathrm{kg}$，倒出一半梨后连筐重21.5kg，两次称重的差值就是倒出的一半梨的重量，算出一半梨的重量后乘2，就能得到原来梨的总重量，再对应选项选出正确列式即可。
【解析】
1. 计算一半梨的重量：
由于筐的重量不变，因此一半梨的重量 = 原来连筐总重量 - 倒出一半梨后连筐的重量，即$(a - 21.5)\ \mathrm{kg}$。
2. 计算原来梨的总重量：
原来的梨总重量是一半梨重量的2倍，因此原来梨重为$(a - 21.5) × 2\ \mathrm{kg}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；用字母表示数；实际问题的数量关系
【点评】
本题考察代数式在实际问题中的应用，解题核心是抓住“倒出前后的重量差就是一半梨的重量”这一关键等量关系，理清各个量的逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 已知$a$是一个两位数,$b$是一个一位数,把$a写在b$的后面,就成为一个三位数。用代数式表示这个三位数为______。
答案
$100b+a$
解析
【分析】
解题时首先要明确多位数的构成规律：多位数中每个数位上的数字需要乘对应数位的计数单位，再相加得到整体数值。本题中b原本是计数单位为1的一位数，把两位数a写在b的后面后，b的数位从个位变成了三位数的百位，计数单位变为100，因此b的数值要扩大为原来的100倍，a作为三位数的后两位，数值保持不变，最后把两部分相加即可得到这个三位数。
【解析】
因为b是一位数，将其放在三位数的百位上时，代表的数值为$100× b=100b$；
a是两位数，放在b的后面作为三位数的十位和个位，数值仍为a；
因此这个三位数为百位对应的数值加上a，即$100b+a$。
可举例验证：若b=2，a=15，组成的三位数是215，代入代数式得$100×2+15=215$，符合实际情况。
【答案】
$100b+a$
【知识点】
1. 数位的意义 2. 列代数式
【点评】
本题是列代数式的典型基础题，解题关键是明确数字所处数位变化时，对应的计数单位也会发生变化，要避免误将b的数位判断为十位，错写成$10b+a$。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确多位数的构成规律：多位数中每个数位上的数字需要乘对应数位的计数单位，再相加得到整体数值。本题中b原本是计数单位为1的一位数，把两位数a写在b的后面后，b的数位从个位变成了三位数的百位，计数单位变为100，因此b的数值要扩大为原来的100倍，a作为三位数的后两位，数值保持不变，最后把两部分相加即可得到这个三位数。
【解析】
因为b是一位数，将其放在三位数的百位上时，代表的数值为$100× b=100b$；
a是两位数，放在b的后面作为三位数的十位和个位，数值仍为a；
因此这个三位数为百位对应的数值加上a，即$100b+a$。
可举例验证：若b=2，a=15，组成的三位数是215，代入代数式得$100×2+15=215$，符合实际情况。
【答案】
$100b+a$
【知识点】
1. 数位的意义 2. 列代数式
【点评】
本题是列代数式的典型基础题，解题关键是明确数字所处数位变化时，对应的计数单位也会发生变化，要避免误将b的数位判断为十位，错写成$10b+a$。
【难度系数】
0.8
10. 我国是一个水资源短缺的国家,每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯。为提高水资源的利用率,某住宅小区安装了循环用水装置。经测算,原来$a天需用水b$t,现在这些水可多用4天,那么现在每天比原来少用水______t。
答案
$(\frac{b}{a}-\frac{b}{a+4})$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先分别求出原来和现在的日均用水量，再用原来的日均用水量减去现在的日均用水量，就能得到现在每天比原来少用的水量。首先回忆日均用水量的计算公式：日均用水量=总用水量÷用水天数；先根据已知条件算出原来的日均用水量，再算出现在的总用水天数，进而求出现在的日均用水量；最后将两个日均用水量作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算原来的日均用水量：
已知原来$a$天用水$b\ \mathrm{t}$，根据“日均用水量=总用水量÷用水天数”，可得原来每天用水量为$\frac{b}{a}\ \mathrm{t}$。
2. 计算现在的用水天数：
现在这些水可比原来多用4天，因此现在的用水天数为$(a+4)$天。
3. 计算现在的日均用水量：
总用水量仍为$b\ \mathrm{t}$，因此现在每天用水量为$\frac{b}{a+4}\ \mathrm{t}$。
4. 计算每天少用的水量：
用原来的日均用水量减去现在的日均用水量，可得现在每天比原来少用水$(\frac{b}{a}-\frac{b}{a+4})\ \mathrm{t}$。
【答案】
$(\frac{b}{a}-\frac{b}{a+4})$
【知识点】
列代数式；用字母表示数量关系
【点评】
本题结合节约用水的实际背景考查代数式的列写，解题核心是明确日均用水量的计算逻辑，理清总水量、用水天数、日均用水量三者的数量关系，列代数式时注意运算顺序的正确性，必要时添加括号保证运算优先级。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先分别求出原来和现在的日均用水量，再用原来的日均用水量减去现在的日均用水量，就能得到现在每天比原来少用的水量。首先回忆日均用水量的计算公式：日均用水量=总用水量÷用水天数；先根据已知条件算出原来的日均用水量，再算出现在的总用水天数，进而求出现在的日均用水量；最后将两个日均用水量作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算原来的日均用水量：
已知原来$a$天用水$b\ \mathrm{t}$，根据“日均用水量=总用水量÷用水天数”，可得原来每天用水量为$\frac{b}{a}\ \mathrm{t}$。
2. 计算现在的用水天数：
现在这些水可比原来多用4天，因此现在的用水天数为$(a+4)$天。
3. 计算现在的日均用水量：
总用水量仍为$b\ \mathrm{t}$，因此现在每天用水量为$\frac{b}{a+4}\ \mathrm{t}$。
4. 计算每天少用的水量：
用原来的日均用水量减去现在的日均用水量，可得现在每天比原来少用水$(\frac{b}{a}-\frac{b}{a+4})\ \mathrm{t}$。
【答案】
$(\frac{b}{a}-\frac{b}{a+4})$
【知识点】
列代数式；用字母表示数量关系
【点评】
本题结合节约用水的实际背景考查代数式的列写，解题核心是明确日均用水量的计算逻辑，理清总水量、用水天数、日均用水量三者的数量关系，列代数式时注意运算顺序的正确性，必要时添加括号保证运算优先级。
【难度系数】
0.7
11. 为鼓励人们节约用水,某地实行阶梯式计量水价(如表所示)。
|级别|月用水量|水价|
|第1级|20t以下(含20t)|2.6元/t|
|第2级|20t～30t(含30t)|超过20t部分,3.4元/t|
|第3级|30t以上|超过30t部分,6.8元/t|
(1) 某用户某月的用水量为15t,则该月需交水费______元；
(2) 某用户某月的用水量为25t,则该月需交水费______元；
(3) 如果某用户某月用水量为$a$t($20 ＜ a \leq 30$),则该月需交水费______元(用含$a$的代数式表示)；
(4) 如果某用户某月用水量为$a$t($a ＞ 30$),则该月需交水费______元(用含$a$的代数式表示)。
|级别|月用水量|水价|
|第1级|20t以下(含20t)|2.6元/t|
|第2级|20t～30t(含30t)|超过20t部分,3.4元/t|
|第3级|30t以上|超过30t部分,6.8元/t|
(1) 某用户某月的用水量为15t,则该月需交水费______元；
(2) 某用户某月的用水量为25t,则该月需交水费______元；
(3) 如果某用户某月用水量为$a$t($20 ＜ a \leq 30$),则该月需交水费______元(用含$a$的代数式表示)；
(4) 如果某用户某月用水量为$a$t($a ＞ 30$),则该月需交水费______元(用含$a$的代数式表示)。
答案
(1)39
(2)69
(3)$(3.4a-16)$
(4)$(6.8a-118)$
解析
【分析】
这是阶梯分段计费问题，解题核心是先判断用水量对应的收费级别，再按对应级别的计价规则分段计算费用，最后求和即可：
1. 若用水量≤20t，直接按2.6元/t计算总费用；
2. 若20t＜用水量≤30t，先算20t的基础费用，再算超出20t部分的费用，两部分相加得总费用；
3. 若用水量＞30t，先算前20t费用、再算20t~30t区间的费用，最后算超出30t部分的费用，三部分相加后化简为最简代数式即可。
【解析】
(1) 用水量15t＜20t，属于第1级收费，水费为：
$15×2.6=39$（元）
(2) 用水量25t满足$20＜25≤30$，属于第2级收费：
前20t费用：$20×2.6=52$（元）
超出20t的部分：$25-20=5$（t），费用为$5×3.4=17$（元）
总水费：$52+17=69$（元）
(3) 用水量为$a$t且$20＜ a ≤ 30$，属于第2级收费：
总水费=20t的费用+超出20t部分的费用，即：
$20×2.6 + 3.4(a-20)=52+3.4a-68=3.4a-16$（元）
(4) 用水量为$a$t且$a＞ 30$，属于第3级收费：
总水费=前20t费用+20t~30t的费用+超出30t部分的费用，其中20t~30t共10t，即：
$20×2.6 + 10×3.4 + 6.8(a-30)=52+34+6.8a-204=6.8a-118$（元）
【答案】
(1)39；(2)69；(3)$(3.4a-16)$；(4)$(6.8a-118)$
【知识点】
分段计费；列代数式；整式化简
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题关键是理清不同区间的计费规则，按照“分段计算再求和”的思路求解，注意代数式最终要化简为最简形式，是代数式实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是阶梯分段计费问题，解题核心是先判断用水量对应的收费级别，再按对应级别的计价规则分段计算费用，最后求和即可：
1. 若用水量≤20t，直接按2.6元/t计算总费用；
2. 若20t＜用水量≤30t，先算20t的基础费用，再算超出20t部分的费用，两部分相加得总费用；
3. 若用水量＞30t，先算前20t费用、再算20t~30t区间的费用，最后算超出30t部分的费用，三部分相加后化简为最简代数式即可。
【解析】
(1) 用水量15t＜20t，属于第1级收费，水费为：
$15×2.6=39$（元）
(2) 用水量25t满足$20＜25≤30$，属于第2级收费：
前20t费用：$20×2.6=52$（元）
超出20t的部分：$25-20=5$（t），费用为$5×3.4=17$（元）
总水费：$52+17=69$（元）
(3) 用水量为$a$t且$20＜ a ≤ 30$，属于第2级收费：
总水费=20t的费用+超出20t部分的费用，即：
$20×2.6 + 3.4(a-20)=52+3.4a-68=3.4a-16$（元）
(4) 用水量为$a$t且$a＞ 30$，属于第3级收费：
总水费=前20t费用+20t~30t的费用+超出30t部分的费用，其中20t~30t共10t，即：
$20×2.6 + 10×3.4 + 6.8(a-30)=52+34+6.8a-204=6.8a-118$（元）
【答案】
(1)39；(2)69；(3)$(3.4a-16)$；(4)$(6.8a-118)$
【知识点】
分段计费；列代数式；整式化简
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类应用题，解题关键是理清不同区间的计费规则，按照“分段计算再求和”的思路求解，注意代数式最终要化简为最简形式，是代数式实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
