4. 某工厂现有原材料$300t$,平均每天用去$x t$,这批原材料能用$y$天,则$y与x$之间的关系式是( )

A.$y = 300x$
B.$xy = 300$
C.$y = 300 - \frac{300}{x}$
D.$y = 300 - x$

B

【分析】
解题时首先明确题目中的不变量和两个变量：不变量是原材料总重量300t，变量是每天使用量x和使用天数y。回忆基础数量关系：总重量=每天使用量×使用天数，将对应量代入该等量关系，即可推导出x和y的关系式，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
根据题意可得基础等量关系：原材料总重量 = 平均每天用去的重量 × 可使用的天数。
将已知的总重量300t、每天用量x t、使用天数y代入等量关系，可得：
$300 = x × y$
整理后为$xy=300$，与选项B表述一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 实际问题列等量关系 2. 反比例关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握“总量=单量×数量”这一基础数量关系，结合题意代入对应量即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.9

5. 某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售,设汽车的行驶时间为$t h$,平均速度为$v km/h$(汽车行驶速度不超过$110km/h$)。根据经验,$v$,$t$的部分对应值如下表：
| $v/(km/h)$ | $75$ | $80$ | $90$ |
| $t/h$ | $4.80$ | $4.50$ | $4.00$ |

(1)从公司到邻市市场的路程是多少？
(2)行驶的时间随着平均速度的变化怎样变化？
(3)根据表中的数据,用式子表示出平均速度$v(km/h)与行驶时间t(h)$成什么比例关系。

解:
(1)根据表格中数据可知,v=90时,t=4,
所以从公司到邻市市场的距离是90×4=360(km).
(2)由表格可知,行驶时间随着平均速度的增加而减小.
(3)vt=360,平均速度v(km/h)与行驶时间t(h)成反比例关系.

【分析】
解题思路如下：(1)求路程可利用行程问题基本公式“路程=速度×时间”，表格中任意一组v和t的对应值相乘都可得到总路程，因为总路程是固定值，可多选几组计算验证结果一致。(2)观察表格中平均速度v的变化趋势，对应看行驶时间t的变化，即可总结二者的变化规律。(3)如果两个相关联的量的乘积为定值，那么这两个量成反比例关系，结合第一问算出的固定路程，即可得到v和t的关系式，判断比例关系。
【解析】
(1) 根据行程问题公式$\mathrm{路}\mathrm{程}=\mathrm{速}\mathrm{度}× \mathrm{时}\mathrm{间}$，选取表格中$v=90\mathrm{km/h}$，对应$t=4\mathrm{h}$计算：
$s=vt=90×4=360(\mathrm{km})$
验证其余组数据：$75×4.8=360\mathrm{km}$，$80×4.5=360\mathrm{km}$，结果一致。
(2) 观察表格数据：平均速度从75km/h逐渐增大到90km/h时，对应的行驶时间从4.8h逐渐减小到4h，因此行驶时间随着平均速度的增加而减小。
(3) 由(1)可知v和t的乘积始终为固定的路程360，因此可得关系式$vt=360$（$v≤110$）。两个相关联的量乘积为定值，因此平均速度v和行驶时间t成反比例关系。
【答案】
(1) 从公司到邻市市场的路程是360km；
(2) 行驶时间随着平均速度的增加而减小；
(3) 二者满足关系式$vt=360$，成反比例关系。
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 反比例关系判定
【点评】
本题结合实际行程场景，考查基础行程公式的运用和反比例关系的判断，解题的关键是明确总路程为定值，再根据比例关系的定义判断即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.85

1. 有下列关系式：①$xy = \frac{1}{2}$；②$y = 3x$；③$y = \frac{2}{-5x}$；④$y = \frac{2k}{x}$($k$为常数,$k\neq0$)；⑤$1:3 = xy$；⑥$1.2x = 8y$；⑦$5x = \frac{1}{4}y$；⑧$\frac{x}{y} = 0.7$,其中$y与x$成反比例关系的有( )

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

D

【分析】
要判断y与x是否成反比例关系，首先明确反比例关系的判定核心：若两个相关联的变量x、y的乘积是一个不为0的常数（即满足$xy=k$，$k$为常数且$k≠0$，或变形为$y=\frac{k}{x},k≠0$的形式），则y与x成反比例关系。解题时我们只需把每个关系式变形，看是否符合上述特征，逐一排查即可。
【解析】
首先明确反比例关系的判定标准：两个变量x、y满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）时，y与x成反比例关系。
对每个关系式逐一分析：
①$xy=\frac{1}{2}$，x与y的乘积为固定非零常数$\frac{1}{2}$，符合反比例关系要求；
②$y=3x$，变形得$\frac{y}{x}=3$，是比值为固定常数，属于正比例关系，不符合；
③$y=\frac{2}{-5x}$，交叉相乘变形得$xy=-\frac{2}{5}$，乘积为固定非零常数，符合反比例关系要求；
④$y=\frac{2k}{x}$（k为常数，$k≠0$），变形得$xy=2k$，因$k≠0$，故$2k$是固定非零常数，符合反比例关系要求；
⑤$1:3=xy$，即$xy=\frac{1}{3}$，乘积为固定非零常数，符合反比例关系要求；
⑥$1.2x=8y$，变形得$\frac{y}{x}=\frac{1.2}{8}=0.15$，比值为固定常数，属于正比例关系，不符合；
⑦$5x=\frac{1}{4}y$，变形得$\frac{y}{x}=20$，比值为固定常数，属于正比例关系，不符合；
⑧$\frac{x}{y}=0.7$，变形得$\frac{y}{x}=\frac{10}{7}$，比值为固定常数，属于正比例关系，不符合。
综上，成反比例关系的是①③④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的判定；正比例关系的判定；等式的变形
【点评】
本题重点考查正反比例关系的区分，解题的关键是抓住两种关系的核心特征：反比例关系看变量的乘积是否为非零常数，正比例关系看变量的比值是否为非零常数，判断前先将原式变形为标准形式能有效降低出错率。
【难度系数】
0.7

2. 下面每个选项中的两种量成反比例关系的是( )

A.路程一定,速度和时间
B.圆柱的高一定,体积和底面积
C.被减数一定,减数和差
D.圆的半径和它的面积

A

【分析】
要判断两种量是否成反比例关系，首先明确反比例的判定标准：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，且两种量对应数值的乘积为定值，就成反比例关系。解题时先逐个分析每个选项中两个量的数量关系，判断其乘积是否为定值即可得出答案。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系。逐一分析选项：
选项A：根据公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，路程一定时，速度和时间的乘积是固定值，因此速度和时间成反比例关系。
选项B：根据圆柱体积公式$\mathrm{体积}=\mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，高一定时，$\mathrm{体积}÷\mathrm{底面积}=\mathrm{高}$（定值），即比值一定，因此体积和底面积成正比例关系，不符合要求。
选项C：根据减法关系$\mathrm{被减数}=\mathrm{减数}+\mathrm{差}$，被减数一定时，是减数与差的和为定值，不是乘积为定值，因此二者不成反比例关系。
选项D：根据圆的面积公式$S=π r^2$，$\mathrm{面积}÷\mathrm{半径}=π r$，$r$是变化的量，因此比值不是定值，乘积也没有固定值，二者不成反比例关系。
综上，只有A选项的两种量成反比例关系。
【答案】
A
【知识点】
反比例的意义；正比例的意义；常见数量关系
【点评】
本题重点考查正反比例关系的辨识，解题核心是先确认两个量是否相关联，再判断二者是乘积一定还是比值一定，要注意区分“和一定”“乘积一定”“比值一定”的不同情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

3. 已知变量$y与变量x$之间的部分对应值如下表：
| $x$ | …$$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $6$ | $3$ | $2$ | $1.5$ | $1.2$ | $1$ | …$$ |

用式子表示变量$y与x$之间的关系式：______。

xy=6

【分析】
要确定y与x的关系式，首先观察给出的x和y的对应数值，我们可以先尝试计算每组x和y的乘积，看是否存在规律：如果乘积固定不变，就说明两个变量的乘积为定值，即可直接写出对应的关系式。
【解析】
分别计算表格中每组x与y的乘积：
当x=1、y=6时，$1×6=6$；
当x=2、y=3时，$2×3=6$；
当x=3、y=2时，$3×2=6$；
当x=4、y=1.5时，$4×1.5=6$；
当x=5、y=1.2时，$5×1.2=6$；
当x=6、y=1时，$6×1=6$；
可发现所有对应x和y的乘积都是固定值6，因此变量y与x的关系式为$xy=6$。
【答案】
$xy=6$
【知识点】
反比例关系、列变量关系式
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题的关键是通过计算每组变量的乘积发现乘积为定值的规律，进而得到两个变量的关系，掌握反比例关系的特征是解题的基础。
【难度系数】
0.8

4. 运一批货物,每天运货的质量和运货的天数如下表：
| 每天运货的质量$/t$ | $300$ | $150$ | $100$ | $75$ | $60$ | $50$ |
| 运货的天数 | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |

(1)上表中有哪两个量？它们是不是相关联的量？
(2)写出几组这两个量中相对应的两个数的积,并比较积的大小。说一说这个积表示什么；
(3)运货的天数与每天运的吨数成什么关系？为什么？

解:
(1)表中有每天运货的质量和运货的天数两个量,它们是相关联的量.
(2)300×1=300,150×2=300,100×3=300,75×4=300,60×5=300,50×6=300,
它们的积一样大,都是300,这个积表示这批货的总吨数.
(3)成反比例关系.理由如下:
因为每天运货的质量×运货的天数=货物的总数300 t,
所以运货的天数与每天运货的质量成反比例关系.

【分析】
首先解决第(1)问：先观察表格的两行表头，可直接找到两个量分别是每天运货的质量和运货的天数；再根据相关联的量的定义（一个量变化，另一个量也随之变化），观察数据可知每天运货质量变化时，运货天数也随之改变，即可判断二者是相关联的量。
接着解决第(2)问：将表格中上下对应的两个数分别相乘计算乘积，对比所有乘积的大小；结合实际场景的数量关系，每天运货的质量乘运货的天数，得到的就是这批货物的总质量，也就是该乘积的实际含义。
最后解决第(3)问：回忆反比例关系的判定规则：两个相关联的量，若乘积为固定值，则二者成反比例关系。结合前面计算得到乘积固定为300t（总货物质量不变），即可判断二者的关系。
【解析】
(1) 观察表格的两个行标题，可得表中的两个量为每天运货的质量和运货的天数。观察数据变化规律：每天运货的质量减少时，运货的天数随之增加，二者变化相互关联，因此是相关联的量。
(2) 选取每组对应数据计算乘积：
$300×1=300$，$150×2=300$，$100×3=300$，$75×4=300$，$60×5=300$，$50×6=300$
对比计算结果可知，所有乘积的大小相等，均为300；结合运货场景的数量关系，该乘积表示这批货物的总吨数。
(3) 运货的天数与每天运的吨数成反比例关系。
理由：由上述计算可得：$\mathrm{每天运货的质量}×\mathrm{运货的天数}=\mathrm{货物总质量（300t，固定不变）}$，符合反比例关系的判定条件，因此二者成反比例关系。
【答案】
(1) 表中有每天运货的质量和运货的天数两个量，它们是相关联的量。
(2) $300×1=300$，$150×2=300$，$100×3=300$，$75×4=300$，$60×5=300$，$50×6=300$，它们的积一样大，都是300，这个积表示这批货的总吨数。
(3) 成反比例关系。理由：因为每天运货的质量×运货的天数=货物的总数300 t（一定），所以运货的天数与每天运货的质量成反比例关系。
【知识点】
相关联的量；反比例关系；反比例判定
【点评】
本题结合生活实际场景，考查反比例相关基础概念的理解与应用，重点考察相关联的量的判断方法以及反比例关系的判定逻辑，是巩固反比例基础认知的典型习题。
【难度系数】
0.8