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[教材习题]某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护. 某天早晨他们从 A 地出发,晚上最终到达 B 地. 约定向北为正方向,当天汽车的行驶记录(单位:km)如下:
+18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)B 地在 A 地的哪个方向? 它们相距多少千米?
(2)如果汽车行驶 1 km 平均耗油 a L,那么这天汽车共耗油多少升?
+18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)B 地在 A 地的哪个方向? 它们相距多少千米?
(2)如果汽车行驶 1 km 平均耗油 a L,那么这天汽车共耗油多少升?
答案
解:
(1)(+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(-6)+(+13)+(-6)+(-8)
=38+(-43)
=-5(km).
答:B地在A地正南方向,相距5 km.
(2)(18+9+7+14+6+13+6+8)×a=81a(L).
答:这天汽车共耗油81a L.
(1)(+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(-6)+(+13)+(-6)+(-8)
=38+(-43)
=-5(km).
答:B地在A地正南方向,相距5 km.
(2)(18+9+7+14+6+13+6+8)×a=81a(L).
答:这天汽车共耗油81a L.
解析
【分析】
(1) 要确定B地相对于A地的位置，需计算所有行驶记录的有理数和：约定向北为正方向，若结果为正，说明B在A地北侧；若结果为负，说明B在A地南侧，结果的绝对值就是两地的距离。
(2) 汽车耗油量仅和行驶总路程有关，和行驶方向无关，因此需要先计算所有行驶记录的绝对值之和，再乘每千米耗油量a，就能得到总耗油量。
【解析】
(1) 对所有行驶记录求和：
$\begin{aligned}&(+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(-6)+(+13)+(-6)+(-8)\\=&(18+7+13)+(-9-14-6-6-8)\\=&38+(-43)\\=&-5(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为负，说明B地在A地正南方向，绝对值为5，即两地相距5km。
(2) 计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|=18+9+7+14+6+13+6+8=81(\mathrm{km})$
总耗油量为总路程乘单位耗油量：$81× a=81a(\mathrm{L})$
【答案】
(1) B地在A地正南方向，相距5 km；
(2) 这天汽车共耗油81a L。
【知识点】
正负数的应用，有理数加法，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数相关知识的应用，解题核心是区分相对位置和总路程的计算逻辑：计算相对位置要保留符号运算，计算总路程要取各数的绝对值求和，避免二者混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定B地相对于A地的位置，需计算所有行驶记录的有理数和：约定向北为正方向，若结果为正，说明B在A地北侧；若结果为负，说明B在A地南侧，结果的绝对值就是两地的距离。
(2) 汽车耗油量仅和行驶总路程有关，和行驶方向无关，因此需要先计算所有行驶记录的绝对值之和，再乘每千米耗油量a，就能得到总耗油量。
【解析】
(1) 对所有行驶记录求和：
$\begin{aligned}&(+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(-6)+(+13)+(-6)+(-8)\\=&(18+7+13)+(-9-14-6-6-8)\\=&38+(-43)\\=&-5(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为负，说明B地在A地正南方向，绝对值为5，即两地相距5km。
(2) 计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|=18+9+7+14+6+13+6+8=81(\mathrm{km})$
总耗油量为总路程乘单位耗油量：$81× a=81a(\mathrm{L})$
【答案】
(1) B地在A地正南方向，相距5 km；
(2) 这天汽车共耗油81a L。
【知识点】
正负数的应用，有理数加法，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数相关知识的应用，解题核心是区分相对位置和总路程的计算逻辑：计算相对位置要保留符号运算，计算总路程要取各数的绝对值求和，避免二者混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
1. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护,某天早晨他们从 A 地出发,晚上最终到达 B 地. 约定向北为正方向,当天汽车的行驶记录(单位:km)如下:
+19,-9,+7,-15,-3,+11,-6,-8,+5,+17.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向? 距出发点有多远?
(2)养护过程中,最远处离出发点有多远?
(3)若汽车耗油为 0.4 L/km,则这次养护共耗油多少升?
+19,-9,+7,-15,-3,+11,-6,-8,+5,+17.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向? 距出发点有多远?
(2)养护过程中,最远处离出发点有多远?
(3)若汽车耗油为 0.4 L/km,则这次养护共耗油多少升?
答案
解:
(1)(+19)+(-9)+(+7)+(-15)+(-3)+(+11)+(-6)+(-8)+(+5)+(+17)=+18(km).
故养护小组最后到达的地方在出发点的北方,距出发点18 km.
(2)养护过程中,离出发点的距离为19 km,10 km,17 km,2 km,1 km,10 km,4 km,4 km,1 km,18 km.
故最远处离出发点19 km.
(3)这次养护共行驶了|+19|+|-9|+|+7|+|-15|+|-3|+|+11|+|-6|+|-8|+|+5|+|+17|=100(km),
则这次养护共耗油100×0.4=40(L).
(1)(+19)+(-9)+(+7)+(-15)+(-3)+(+11)+(-6)+(-8)+(+5)+(+17)=+18(km).
故养护小组最后到达的地方在出发点的北方,距出发点18 km.
(2)养护过程中,离出发点的距离为19 km,10 km,17 km,2 km,1 km,10 km,4 km,4 km,1 km,18 km.
故最远处离出发点19 km.
(3)这次养护共行驶了|+19|+|-9|+|+7|+|-15|+|-3|+|+11|+|-6|+|-8|+|+5|+|+17|=100(km),
则这次养护共耗油100×0.4=40(L).
解析
【分析】
(1)要确定最终位置相对于出发点的方向和距离，只需将所有行驶记录的数值相加，约定向北为正，若结果为正则在北方，为负则在南方，结果的绝对值就是距出发点的距离。
(2)要找最远处离出发点的距离，需要依次计算每次行驶后所在位置与出发点的距离（即每次累加后的数值的绝对值），再比较所有距离找出最大值即可。
(3)耗油量只和行驶的总路程有关，与行驶方向无关，因此先求出所有行驶记录的绝对值之和得到总路程，再乘以每千米的耗油量就能得到总耗油量。
【解析】
(1)将所有行驶记录相加：
$\begin{aligned}&(+19)+(-9)+(+7)+(-15)+(-3)+(+11)+(-6)+(-8)+(+5)+(+17)\\=&19-9+7-15-3+11-6-8+5+17\\=&+18(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为正，说明养护小组最后到达的地方在出发点的北方，距出发点18km。
(2)依次计算每次行驶后离出发点的距离：
第一次行驶后：$|+19|=19\ \mathrm{km}$
第二次行驶后：$|19-9|=10\ \mathrm{km}$
第三次行驶后：$|10+7|=17\ \mathrm{km}$
第四次行驶后：$|17-15|=2\ \mathrm{km}$
第五次行驶后：$|2-3|=1\ \mathrm{km}$
第六次行驶后：$|-1+11|=10\ \mathrm{km}$
第七次行驶后：$|10-6|=4\ \mathrm{km}$
第八次行驶后：$|4-8|=4\ \mathrm{km}$
第九次行驶后：$|-4+5|=1\ \mathrm{km}$
第十次行驶后：$|1+17|=18\ \mathrm{km}$
对比所有距离，最大值为19km，即最远处离出发点19km。
(3)先计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+19|+|-9|+|+7|+|-15|+|-3|+|+11|+|-6|+|-8|+|+5|+|+17|\\=&19+9+7+15+3+11+6+8+5+17\\=&100(\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量为：$100×0.4=40(\mathrm{L})$
【答案】
(1)在出发点的北方，距出发点18km；
(2)最远处离出发点19km；
(3)这次养护共耗油40L。
【知识点】
正负数的意义；有理数的加减运算；绝对值的应用
【点评】
本题结合实际场景考查有理数相关知识的应用，解题时需注意区分带方向的位置变化和无方向的总行驶距离的区别，计算过程中要仔细核对符号和运算结果，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
(1)要确定最终位置相对于出发点的方向和距离，只需将所有行驶记录的数值相加，约定向北为正，若结果为正则在北方，为负则在南方，结果的绝对值就是距出发点的距离。
(2)要找最远处离出发点的距离，需要依次计算每次行驶后所在位置与出发点的距离（即每次累加后的数值的绝对值），再比较所有距离找出最大值即可。
(3)耗油量只和行驶的总路程有关，与行驶方向无关，因此先求出所有行驶记录的绝对值之和得到总路程，再乘以每千米的耗油量就能得到总耗油量。
【解析】
(1)将所有行驶记录相加：
$\begin{aligned}&(+19)+(-9)+(+7)+(-15)+(-3)+(+11)+(-6)+(-8)+(+5)+(+17)\\=&19-9+7-15-3+11-6-8+5+17\\=&+18(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为正，说明养护小组最后到达的地方在出发点的北方，距出发点18km。
(2)依次计算每次行驶后离出发点的距离：
第一次行驶后：$|+19|=19\ \mathrm{km}$
第二次行驶后：$|19-9|=10\ \mathrm{km}$
第三次行驶后：$|10+7|=17\ \mathrm{km}$
第四次行驶后：$|17-15|=2\ \mathrm{km}$
第五次行驶后：$|2-3|=1\ \mathrm{km}$
第六次行驶后：$|-1+11|=10\ \mathrm{km}$
第七次行驶后：$|10-6|=4\ \mathrm{km}$
第八次行驶后：$|4-8|=4\ \mathrm{km}$
第九次行驶后：$|-4+5|=1\ \mathrm{km}$
第十次行驶后：$|1+17|=18\ \mathrm{km}$
对比所有距离，最大值为19km，即最远处离出发点19km。
(3)先计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+19|+|-9|+|+7|+|-15|+|-3|+|+11|+|-6|+|-8|+|+5|+|+17|\\=&19+9+7+15+3+11+6+8+5+17\\=&100(\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量为：$100×0.4=40(\mathrm{L})$
【答案】
(1)在出发点的北方，距出发点18km；
(2)最远处离出发点19km；
(3)这次养护共耗油40L。
【知识点】
正负数的意义；有理数的加减运算；绝对值的应用
【点评】
本题结合实际场景考查有理数相关知识的应用，解题时需注意区分带方向的位置变化和无方向的总行驶距离的区别，计算过程中要仔细核对符号和运算结果，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
2. 为响应国家创业号召,小张准备新开一家拉面馆,选址后对这一地区的人流量进行统计,以 100 人为标准,超过记为正,低于记为负,一周内同一时间的人流量如下表:
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 人数 | +30 | -10 | -5 | -12 | +3 | +10 | +19 |
(1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人?
(2)若这些人中有 60%的人来吃面,按照每人一碗,每碗面 14 元,则平均每天的销售额是多少?
(3)拉面条时,将一根很粗的面捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条,拉成了许多根细的面条. 拉面师傅一般拉 8 次可做一碗拉面,则拉面师傅拉完 8 次后有______根面.
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 人数 | +30 | -10 | -5 | -12 | +3 | +10 | +19 |
(1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人?
(2)若这些人中有 60%的人来吃面,按照每人一碗,每碗面 14 元,则平均每天的销售额是多少?
(3)拉面条时,将一根很粗的面捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条,拉成了许多根细的面条. 拉面师傅一般拉 8 次可做一碗拉面,则拉面师傅拉完 8 次后有______根面.
答案
解:
(1)由条件可知,这一周人数最多的一天是星期一,人数为100+(+30)=130(人),
这一周人数最少的一天是星期四,人数为100+(-12)=88(人),
所以130-88=42(人).
所以这一周人数最多的一天比人数最少的一天多42人.
(2)这一周的人流量为100×7+30-10-5-12+3+10+19=735(人),
所以735×60%×14÷7=882(元).
所以平均每天的销售额为882元.
(3)256
(1)由条件可知,这一周人数最多的一天是星期一,人数为100+(+30)=130(人),
这一周人数最少的一天是星期四,人数为100+(-12)=88(人),
所以130-88=42(人).
所以这一周人数最多的一天比人数最少的一天多42人.
(2)这一周的人流量为100×7+30-10-5-12+3+10+19=735(人),
所以735×60%×14÷7=882(元).
所以平均每天的销售额为882元.
(3)256
解析
【分析】
(1) 首先明确表格中正负数的含义：以100人为标准，正数表示超过100人，负数表示低于100人。先找到人数最多和最少的一天对应的数值，分别计算两天的实际人数，再求差值即可。
(2) 先计算一周总人流量：用7天的基准人数（每天100人，共700人）加上所有正负数的偏差总和，得到一周总人流量。再按照“总人流量×吃面人数占比×每碗单价÷天数”的顺序计算，即可得到平均每天的销售额。
(3) 拉面每次捏合拉伸后面条数量都会变为之前的2倍，属于乘方的实际应用：拉1次是2¹=2根，拉2次是2²=4根，以此类推，拉n次就是2ⁿ根，代入n=8计算即可。
【解析】
(1) 计算每天的实际人数：
星期一：$100+(+30)=130$（人）
星期四：$100+(-12)=88$（人）
可知人数最多的是星期一130人，最少的是星期四88人，差值为：$130-88=42$（人）
(2) 计算一周总人流量：
$100×7+30-10-5-12+3+10+19=735$（人）
平均每天销售额为：$735×60\%×14÷7=882$（元）
(3) 拉n次后面条数量为$2^n$根，拉8次时：$2^8=256$（根）
【答案】
(1) 42人；(2) 882元；(3) 256
【知识点】
正负数的应用，有理数混合运算，乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，侧重考察基础知识的应用能力，梳理清楚数量关系、理解正负数的实际意义和乘方的变化规律，细心计算即可正确解题。
【难度系数】
0.75
(1) 首先明确表格中正负数的含义：以100人为标准，正数表示超过100人，负数表示低于100人。先找到人数最多和最少的一天对应的数值，分别计算两天的实际人数，再求差值即可。
(2) 先计算一周总人流量：用7天的基准人数（每天100人，共700人）加上所有正负数的偏差总和，得到一周总人流量。再按照“总人流量×吃面人数占比×每碗单价÷天数”的顺序计算，即可得到平均每天的销售额。
(3) 拉面每次捏合拉伸后面条数量都会变为之前的2倍，属于乘方的实际应用：拉1次是2¹=2根，拉2次是2²=4根，以此类推，拉n次就是2ⁿ根，代入n=8计算即可。
【解析】
(1) 计算每天的实际人数：
星期一：$100+(+30)=130$（人）
星期四：$100+(-12)=88$（人）
可知人数最多的是星期一130人，最少的是星期四88人，差值为：$130-88=42$（人）
(2) 计算一周总人流量：
$100×7+30-10-5-12+3+10+19=735$（人）
平均每天销售额为：$735×60\%×14÷7=882$（元）
(3) 拉n次后面条数量为$2^n$根，拉8次时：$2^8=256$（根）
【答案】
(1) 42人；(2) 882元；(3) 256
【知识点】
正负数的应用，有理数混合运算，乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，侧重考察基础知识的应用能力，梳理清楚数量关系、理解正负数的实际意义和乘方的变化规律，细心计算即可正确解题。
【难度系数】
0.75
