5. 如图，已知线段 AB 和 CD 的公共部分 $BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$，线段 AB，CD 的中点 E，F 之间的距离是 10 cm，求 AB，CD 的长。

5. 设$BD=x$ cm，
则$AB=3x$ cm,$CD=4x$ cm,$AC=6x$ cm.
因为E,F分别为AB,CD的中点，
所以$AE=\frac{1}{2}AB=1.5x$ cm，
$CF=\frac{1}{2}CD=2x$ cm，
所以$EF=AC-AE-CF=2.5x$ cm.
因为$EF=10$ cm，
所以$2.5x=10$,解得$x=4$，
所以$AB=12$ cm,$CD=16$ cm.

6. 课间休息时小明拿两根木棒玩，小明说：“较短木棒AB长40 cm，较长木棒CD长60 cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩.”请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少.

6. ①如图①,当AB在CD的左侧且点B和点C重合时，
因为E是AB的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$(cm).
因为F是CD的中点，
所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×60=30$(cm).
所以$EF=BE+CF=20+30=50$(cm).
②如图②,当AB在CD上且点B和点C重合时，
因为E是AB的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$(cm).
因为F是CD的中点，
所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×60=30$(cm)，
所以$EF=CF-BE=30-20=10$(cm).
综上所述,两根木棒的中点E和F间的距离是50 cm或10 cm.

7. (2025常德模拟)定义:若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点.

(1)如图①,M是线段AB的三等分点,满足$BM=2AM$,若$AB=9$ cm,则$AM=$ cm.
(2)如图②,已知$AB=9$ cm,点C从点A出发,点D从点B出发,两点同时出发,都以$\frac{2}{3}$ cm/s的速度沿射线AB方向运动$t$ s.
①当$t$为何值时,C是线段AD的三等分点?
②在点C,D开始出发的同时,点E也从点B出发,以某一速度沿射线BA方向运动,在运动过程中,当C是线段AE的三等分点时,E也是线段AD的三等分点,请直接写出此时线段EB的长度.

7. (1) 3
(2) ①由题意,得$AD=(9+\frac{2}{3}t)$ cm,$AC=\frac{2}{3}t$ cm.
当$CD=2AC$时,$3AC=AD$，
所以$3×\frac{2}{3}t=9+\frac{2}{3}t$,解得$t=\frac{27}{4}$；
当$AC=2DC$时,$3AC=2AD$，
所以$3×\frac{2}{3}t=2(9+\frac{2}{3}t)$，
解得$t=27$.
综上所述,$t$的值为$\frac{27}{4}$或27.
② $BE$的长度为$\frac{9}{7}$ cm或$\frac{36}{7}$ cm或$\frac{45}{8}$ cm.