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计算：$(-\dfrac{1}{63})÷(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3}).$
解 原式的倒数$=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)=-7+18-42=-31.$
所以原式$=-\dfrac{1}{31}.$
解 原式的倒数$=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)=-7+18-42=-31.$
所以原式$=-\dfrac{1}{31}.$
答案
原式的倒数$=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)=-7+18-42=-31.$ 所以原式$=-\dfrac{1}{31}.$
解析
【分析】
观察算式可知，直接先计算括号内的分数加减需要通分，计算过程较繁琐。由于除数是单独的一个分数，我们可以先计算原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算，最后将计算出的倒数取倒数即可得到原式的结果。
【解析】
先求原式的倒数：
$(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)$
分别计算每一项的乘积：
$=-7 + 18 - 42$
计算加减结果：
$=-31$
因为原式的倒数是$-31$，所以原式$=-\dfrac{1}{31}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{31}$
【知识点】
有理数除法运算；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题采用倒数法简化有理数混合运算，避免了复杂的通分计算，解题时要注意在求出倒数结果后，必须还原为原式的值，同时运用乘法分配律时要注意各项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
观察算式可知，直接先计算括号内的分数加减需要通分，计算过程较繁琐。由于除数是单独的一个分数，我们可以先计算原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算，最后将计算出的倒数取倒数即可得到原式的结果。
【解析】
先求原式的倒数：
$(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得：
$=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)$
分别计算每一项的乘积：
$=-7 + 18 - 42$
计算加减结果：
$=-31$
因为原式的倒数是$-31$，所以原式$=-\dfrac{1}{31}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{31}$
【知识点】
有理数除法运算；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题采用倒数法简化有理数混合运算，避免了复杂的通分计算，解题时要注意在求出倒数结果后，必须还原为原式的值，同时运用乘法分配律时要注意各项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
3. 计算：$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)].$
答案
解 原式的倒数$=[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})=[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}×(-6)]×(-42)=\dfrac{1}{2}×(-42)-\dfrac{1}{3}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+\dfrac{4}{9}×(-6)×(-42)=-21+14-30+112=75$，所以原式$=\dfrac{1}{75}.$
解析
【分析】
本题是有理数的混合运算题，若直接先计算中括号内的结果，需要多次通分，计算量大且易出错。我们可以利用倒数的性质：若两个非零数相除的商为$a$，则它们的倒数相除的商为$\frac{1}{a}$，先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后，即可使用乘法分配律简化计算，最后再取倒数得到原式的结果。解题时先算中括号内的乘方，再算乘法，接着将除法转化为乘除数的倒数，用乘法分配律展开计算得到倒数的值，最后求倒数即可。
【解析】
先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}\mathrm{原式的倒数}&=[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})\\&=[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}×(-6)]×(-42)\\&=\dfrac{1}{2}×(-42)-\dfrac{1}{3}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+\dfrac{4}{9}×(-6)×(-42)\\&=-21 + 14 - 30 + 112\\&=75\end{aligned}$
因为原式的倒数为75，所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
本题采用倒数法求解，有效避免了复杂的通分计算，巧用乘法分配律简化了运算过程。解题时要注意乘方的运算规则，使用乘法分配律时要注意各项的符号，不要出现符号错误，最后不要忘记将倒数结果还原为原式的结果。
【难度系数】
0.6
本题是有理数的混合运算题，若直接先计算中括号内的结果，需要多次通分，计算量大且易出错。我们可以利用倒数的性质：若两个非零数相除的商为$a$，则它们的倒数相除的商为$\frac{1}{a}$，先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后，即可使用乘法分配律简化计算，最后再取倒数得到原式的结果。解题时先算中括号内的乘方，再算乘法，接着将除法转化为乘除数的倒数，用乘法分配律展开计算得到倒数的值，最后求倒数即可。
【解析】
先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}\mathrm{原式的倒数}&=[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})\\&=[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}×(-6)]×(-42)\\&=\dfrac{1}{2}×(-42)-\dfrac{1}{3}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+\dfrac{4}{9}×(-6)×(-42)\\&=-21 + 14 - 30 + 112\\&=75\end{aligned}$
因为原式的倒数为75，所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的应用
【点评】
本题采用倒数法求解，有效避免了复杂的通分计算，巧用乘法分配律简化了运算过程。解题时要注意乘方的运算规则，使用乘法分配律时要注意各项的符号，不要出现符号错误，最后不要忘记将倒数结果还原为原式的结果。
【难度系数】
0.6
将一张长方形的纸对折，如图，对折1次可得到1条折痕（图中虚线），连续对折3次（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），可以得到7条折痕；那么连续对折5次后，可以得到的折痕的条数是 （
A.31条
B.32条
C.33条
D.34条
解析 根据题意得第1次对折后得到的折痕的条数是$1=2-1$；第2次对折后得到的折痕的条数是$3=2^2 -1$；第3次对折后得到的折痕的条数是$7=2^3 -1$；……依此类推，第$n$次对折后，可以得到$(2^n -1)$条折痕，当$n=5$时，得到的折痕的条数是$2^5 -1=31$. 所以连续对折5次后，可以得到31条折痕.
答案 A
A
）A.31条
B.32条
C.33条
D.34条
解析 根据题意得第1次对折后得到的折痕的条数是$1=2-1$；第2次对折后得到的折痕的条数是$3=2^2 -1$；第3次对折后得到的折痕的条数是$7=2^3 -1$；……依此类推，第$n$次对折后，可以得到$(2^n -1)$条折痕，当$n=5$时，得到的折痕的条数是$2^5 -1=31$. 所以连续对折5次后，可以得到31条折痕.
答案 A
答案
A
解析
【分析】
解题时先从题目给出的前3次对折对应的折痕条数入手，寻找对折次数与折痕数的数量关系：先将每次对折的次数和对应折痕数对应罗列，对比发现每次折痕数都符合“2的对折次数次方减1”的规律，归纳得到第n次对折的折痕数通用公式后，将n=5代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据题意列出前3次对折的折痕条数：
第1次对折后，折痕条数为$1=2^1-1$；
第2次对折后，折痕条数为$3=2^2-1$；
第3次对折后，折痕条数为$7=2^3-1$；
依此类推，可归纳得到规律：第$n$次对折后，得到的折痕条数为$2^n -1$。
当$n=5$时，折痕条数为$2^5 -1=32-1=31$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，有理数乘方运算，归纳推理
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过观察已知的有限次操作的结果，归纳总结出通用的数量规律，再代入数值计算求解，能有效锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从题目给出的前3次对折对应的折痕条数入手，寻找对折次数与折痕数的数量关系：先将每次对折的次数和对应折痕数对应罗列，对比发现每次折痕数都符合“2的对折次数次方减1”的规律，归纳得到第n次对折的折痕数通用公式后，将n=5代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据题意列出前3次对折的折痕条数：
第1次对折后，折痕条数为$1=2^1-1$；
第2次对折后，折痕条数为$3=2^2-1$；
第3次对折后，折痕条数为$7=2^3-1$；
依此类推，可归纳得到规律：第$n$次对折后，得到的折痕条数为$2^n -1$。
当$n=5$时，折痕条数为$2^5 -1=32-1=31$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，有理数乘方运算，归纳推理
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过观察已知的有限次操作的结果，归纳总结出通用的数量规律，再代入数值计算求解，能有效锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图①所示. 仿照图①，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图②所示，求 $ a + b + c + d + e + f + g + h $ 的值. 
答案
4. 解 根据规律可知，这个两位数十位上的数字与个位上的数字的积是20，因此可得出这个两位数为45或54.
当这个两位数为45时，$a=1$，$b=6$，$c=2$，$d=5$，$e=2$，$f=0$，$g=2$，$h=5$，则$a+b+c+d+e+f+g+h=23.$
当这个两位数为54时，$a=2$，$b=5$，$c=1$，$d=6$，$e=2$，$f=9$，$g=1$，$h=6$，则$a+b+c+d+e+f+g+h=32.$
故$a+b+c+d+e+f+g+h$的值为23或32.
当这个两位数为45时，$a=1$，$b=6$，$c=2$，$d=5$，$e=2$，$f=0$，$g=2$，$h=5$，则$a+b+c+d+e+f+g+h=23.$
当这个两位数为54时，$a=2$，$b=5$，$c=1$，$d=6$，$e=2$，$f=9$，$g=1$，$h=6$，则$a+b+c+d+e+f+g+h=32.$
故$a+b+c+d+e+f+g+h$的值为23或32.
解析
【分析】
首先观察图①的3个示例，总结速算规律：1. 设两位数的十位数字为x，个位数字为y，第一行4个数字从左到右依次是$x^2$的两位形式（不足两位补前导0）、$y^2$的两位形式（不足两位补前导0）；2. 中间灰色行的两个数字是$2xy$的后两位数字；3. 最后一行是两位数平方的结果。再观察图②，中间行数字为4和0，说明$2xy$的后两位是40，结合x、y是1~9的一位数，可推得$xy=20$，符合条件的一位数组合只有4和5，即两位数为45或54，最后分两种情况计算各字母的和即可。
【解析】
解：设所求两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据图①规律可得：
1. 第一行的$a,b$是$x^2$的两位表示，$c,d$是$y^2$的两位表示；
2. 中间行的数字是$2xy$的后两位，结合图②得$2xy$的后两位为40，由于x、y都是1~9的正整数，因此$2xy=40$，即$xy=20$。
满足乘积为20的一位数组合为$\begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$或$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$，即两位数为45或54。
当两位数为45时：
$x^2=4^2=16$，故$a=1,b=6$；$y^2=5^2=25$，故$c=2,d=5$；
$45^2=2025$，故$e=2,f=0,g=2,h=5$；
和为$1+6+2+5+2+0+2+5=23$。
当两位数为54时：
$x^2=5^2=25$，故$a=2,b=5$；$y^2=4^2=16$，故$c=1,d=6$；
$54^2=2916$，故$e=2,f=9,g=1,h=6$；
和为$2+5+1+6+2+9+1+6=32$。
【答案】
23或32
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方运算；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查规律归纳能力，解题关键是先从已知示例总结出速算的数位规则，再根据给出的中间数位反推两位数的可能值，注意不要遗漏两种符合条件的两位数。
【难度系数】
0.6
首先观察图①的3个示例，总结速算规律：1. 设两位数的十位数字为x，个位数字为y，第一行4个数字从左到右依次是$x^2$的两位形式（不足两位补前导0）、$y^2$的两位形式（不足两位补前导0）；2. 中间灰色行的两个数字是$2xy$的后两位数字；3. 最后一行是两位数平方的结果。再观察图②，中间行数字为4和0，说明$2xy$的后两位是40，结合x、y是1~9的一位数，可推得$xy=20$，符合条件的一位数组合只有4和5，即两位数为45或54，最后分两种情况计算各字母的和即可。
【解析】
解：设所求两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据图①规律可得：
1. 第一行的$a,b$是$x^2$的两位表示，$c,d$是$y^2$的两位表示；
2. 中间行的数字是$2xy$的后两位，结合图②得$2xy$的后两位为40，由于x、y都是1~9的正整数，因此$2xy=40$，即$xy=20$。
满足乘积为20的一位数组合为$\begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$或$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$，即两位数为45或54。
当两位数为45时：
$x^2=4^2=16$，故$a=1,b=6$；$y^2=5^2=25$，故$c=2,d=5$；
$45^2=2025$，故$e=2,f=0,g=2,h=5$；
和为$1+6+2+5+2+0+2+5=23$。
当两位数为54时：
$x^2=5^2=25$，故$a=2,b=5$；$y^2=4^2=16$，故$c=1,d=6$；
$54^2=2916$，故$e=2,f=9,g=1,h=6$；
和为$2+5+1+6+2+9+1+6=32$。
【答案】
23或32
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方运算；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查规律归纳能力，解题关键是先从已知示例总结出速算的数位规则，再根据给出的中间数位反推两位数的可能值，注意不要遗漏两种符合条件的两位数。
【难度系数】
0.6
