1.如图，$AB=AC=AD$，若$∠ BAC=60°$，则$∠ BDC$的度数为 （）

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

1.B

【分析】
首先观察已知条件AB=AC=AD，三条线段有公共端点A，根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点在同一个圆上，可判断点B、C、D都在以A为圆心、AB长为半径的圆上。接下来要求∠BDC的度数，可结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到∠BDC与已知的∠BAC的关系即可求解。
【解析】
解：
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的同一个圆上。
∵∠BAC是弧BC所对的圆心角，∠BDC是弧BC所对的圆周角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BDC = \frac{1}{2}∠ BAC$。
又
∵$∠ BAC=60°$，
∴$∠ BDC = \frac{1}{2}×60°=30°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义；圆周角定理
【点评】
本题解题的关键是抓住“等线段共端点”的特征，快速识别出隐形圆，再利用圆周角定理进行角度计算，避免了多次运用等腰三角形性质推导的繁琐，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7

2.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在边BC上,沿AE将正方形进行折叠,使点B落在正方形ABCD的内部点P处,则CP的最小值是.

2. $2\sqrt{2}-2$

【分析】
解题时首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边相等，可得AP=AB=2，由此可确定点P的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆；要求CP的最小值，可转化为求定点C到该圆上点的最短距离，根据圆的性质，点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此只需先计算正方形对角线AC的长度，再减去半径即可得到CP的最小值。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
由勾股定理得，对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
由折叠的性质可知，折叠后对应边相等，即$AP=AB=2$，
∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，
根据点到圆上点的最短距离规律：当A、P、C三点共线时，CP的长度最小，
此时$CP=AC-AP=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；点圆最值
【点评】
本题是几何综合类的常见题型，解题核心是通过折叠的性质判断出点P的隐形圆轨迹，将线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题求解，能很好地考查学生的轨迹思维和转化思想。
【难度系数】
0.5

3.如图,在△ABC中,BC=2,A为动点,在点A运动的过程中始终有∠BAC=45°,求△ABC面积的最大值.

3. 如图,作△ABC 的外接圆⊙O,连接 OB,OC.
∵∠BAC=45°,
∴∠BOC=2∠BAC=90°.
过点 O 作OD⊥BC 于点 D.
∵OB=OC,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1.
∵∠BOC=90°,OD⊥BC,
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴OB=$\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{2}$.
∵BC=2 保持不变，
∴BC 边上的高越大,△ABC 的面积越大,当点 A 运动到点A′处时,此时 BC 边上的高最大,且过圆心 O,此时 BC 边上的高为$\sqrt{2}+1$,
∴△ABC 面积的最大值为$\frac{1}{2}×2×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1$.

【分析】
首先观察题目条件：BC为定长2，∠BAC为定角45°，符合“定弦对定角”的特征，由此可确定动点A的轨迹是△ABC外接圆上对应BC弦的优弧部分。由于△ABC的底边BC长度固定，根据三角形面积公式，要使面积最大，只需BC边上的高最大即可。当点A落在BC的垂直平分线与优弧BC的交点处时，BC边上的高最大，等于外接圆半径与圆心到BC的距离之和。接下来通过圆周角定理求出圆心角，再计算外接圆半径和最大高，最后代入面积公式就能得到结果。
【解析】
作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC。
∵∠BAC=45°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴∠BOC=2∠BAC=90°
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1
∵∠BOC=90°，OD⊥BC，
∴OD是Rt△BOC斜边BC的中线，因此OD=$\frac{1}{2}$BC=1
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即⊙O的半径为$\sqrt{2}$
∵BC长度固定，BC边上的高越大，△ABC的面积越大，当点A运动到BC的垂直平分线与优弧BC的交点A'处时，BC边上的高最大，此时高为$A'D=OA'+OD=\sqrt{2}+1$
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}×BC×A'D=\frac{1}{2}×2×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1$

【答案】
$\sqrt{2}+1$

【知识点】
定弦定角隐形圆、圆周角定理、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何最值类题型，解题的关键是识别“定弦对定角”的特征构造隐形圆，确定动点的运动轨迹，再结合等腰直角三角形、勾股定理的性质求出最大高，能够有效锻炼学生的几何模型识别能力和最值分析能力。
【难度系数】
0.6

4. 在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，CB=CD，BD是对角线.
(1)如图1，延长CD交BA的延长线于点E，若A是BE的中点，求∠E的度数.
(2)如图2，连接AC交BD于点P.求证：CD²=CP·CA.

4. (1)$∠E=22.5°$.
(2)如题图,取 BD 的中点 O,连接 OA,OC.
∵∠DAB=∠DCB=90°,
∴OC=$\frac{1}{2}$BD=OB=OD=OA,
∴点 A,B,C,D 在以点 O 为圆心,OA 长为半径的圆上.
∵CD=CB,
∴∠CDP=∠CBD=∠CAD.
∵∠DCP=∠ACD,
∴△CDP∽△CAD,
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CP}{CD}$,
∴$CD^2=CP·CA$.

【分析】
(1) 第一问先利用∠DAB=90°、A是BE中点，得出DA是BE的垂直平分线，得到DE=DB，推出∠E=∠DBE；再结合CD=CB、∠DCB=90°，得到△DCB是等腰直角三角形，∠CDB=45°；最后利用三角形外角的性质，∠CDB=∠E+∠DBE=2∠E，即可求出∠E的度数。
(2) 第二问要证$CD^2=CP·CA$，可转化为证明比例式$\frac{CD}{CA}=\frac{CP}{CD}$，即需证△CDP∽△CAD。首先取BD中点O，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到OA=OB=OC=OD，推出A、B、C、D四点共圆，得到∠CAD=∠CBD；再结合CD=CB得∠CDP=∠CBD，等量代换得∠CDP=∠CAD，加上公共角∠DCP=∠ACD，即可证明两个三角形相似，进而得到结论。
【解析】
(1) 解：
∵∠DAB=90°，
∴DA⊥EB，
又
∵A是BE的中点，
∴DA是线段BE的垂直平分线，
∴DE=DB，
∴∠E=∠DBE，
∵∠DCB=90°，CD=CB，
∴△DCB是等腰直角三角形，
∴∠CDB=45°，
∵∠CDB是△EDB的外角，
∴∠CDB=∠E+∠DBE=2∠E，
∴2∠E=45°，
解得∠E=22.5°。
(2) 证明：
取BD的中点O，连接OA、OC，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴在Rt△DAB中，$OA=\frac{1}{2}BD=OB=OD$，
在Rt△DCB中，$OC=\frac{1}{2}BD=OB=OD$，
∴OA=OB=OC=OD，即点A、B、C、D在以O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∴∠CAD与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠CBD，
∵CD=CB，
∴∠CDP=∠CBD，
∴∠CDP=∠CAD，
又
∵∠DCP=∠ACD（公共角），
∴△CDP∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CP}{CD}$，
交叉相乘得$CD^2=CP·CA$，原命题得证。
【答案】
(1)$∠E=22.5°$；(2)证明见解析
【知识点】
四点共圆判定，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题第一问结合垂直平分线性质、等腰三角形性质和三角形外角定理即可求解，较为基础；第二问的核心是通过构造辅助线发现四点共圆得到等角关系，再将乘积式转化为比例式，通过证明相似三角形得到结论，需要熟练掌握证明等积式的常用思路和隐形圆的构造技巧。
【难度系数】
0.6