6.如图,在$△ ABC$内,内切圆$\odot O$与$BC,AC,AB$分别相切于点$D,E,F$.若$∠ EDF=65°$,求$∠ A$的度数.

6.$50°$

【分析】
要求∠A的度数，我们可以结合内切圆的性质和圆周角定理求解：首先，内切圆与三角形各边相切，连接圆心O和切点E、F，根据切线的性质可得OE⊥AC、OF⊥AB，得到两个直角；其次，∠EDF是弧EF所对的圆周角，根据圆周角定理可求出同弧所对的圆心角∠EOF的度数；最后在四边形AFOE中，利用四边形内角和为360°即可算出∠A的度数。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于点F、E，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠OEA = ∠OFA = 90°，
∵∠EDF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴∠EOF = 2∠EDF = 2×65° = 130°，
∵四边形AFOE的内角和为360°，
∴∠A = 360° - ∠OEA - ∠OFA - ∠EOF = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于基础类几何题，解题的关键是正确作出辅助线连接圆心与切点，结合切线性质、圆周角定理和多边形内角和公式即可快速求解，是内切圆相关考点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7

7.在$△ ABC$中，$AC=BC=2\sqrt{2}$，$AB=4$，点$O$是$△ ABC$的内心，则$△ ABC$的内切圆半径为（）

A.$2$
B.$4-2\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}-2$

7.D

【分析】
解题时首先根据已知的三边长，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，再结合三角形内切圆的相关公式计算半径。第一步：先计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，确定△ABC为等腰直角三角形；第二步：回忆内切云半径的通用计算方法，即面积法：三角形面积=内切圆半径×半周长，因此只需要算出三角形的面积和周长，代入公式变形即可求出半径，最后化简二次根式得到结果。
【解析】
解：
1. 判断△ABC的形状：
已知$AC=BC=2\sqrt{2}$，$AB=4$，
计算得：$AC^2 + BC^2=(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2=8+8=16$，$AB^2=4^2=16$，
因此$AC^2 + BC^2=AB^2$，由勾股定理逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
2. 计算$△ ABC$的面积和半周长：
面积$S=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4$，
周长$L=AC+BC+AB=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4=4\sqrt{2}+4$，半周长$s=\frac{L}{2}=2\sqrt{2}+2$。
3. 求内切圆半径$r$：
根据三角形内切圆面积公式$S=r · s$，变形得$r=\frac{S}{s}$，
代入数值：$r=\frac{4}{2\sqrt{2}+2}=\frac{4}{2(\sqrt{2}+1)}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}$，
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}-1$：
$r=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1}=2\sqrt{2}-2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形内切圆性质，二次根式化简
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，既可以用通用的面积法求解，也可以用直角三角形内切圆半径的特殊公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$c$为斜边）快速计算，解题时注意二次根式化简的正确性即可。
【难度系数】
0.7

8.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为 ()


A.$∠AIB=∠AOB$
B.$∠AIB≠∠AOB$
C.$2∠AIB - \frac{1}{2}∠AOB = 180°$
D.$2∠AOB - \frac{1}{2}∠AIB = 180°$

8.C

【分析】
要推导∠AIB和∠AOB的关系，可分三步思考：1. 利用外心的性质，结合圆周角定理，得到∠AOB与△ABC的内角∠C的数量关系；2. 利用内心是角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理，得到∠AIB与∠C的数量关系；3. 消去中间量∠C，整理即可得到两个角的关系。
【解析】
1. 推导∠AOB和∠C的关系：
∵O是△ABC的外心，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角
∴根据圆周角定理，得$∠ AOB=2∠ C$，即$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$ ①
2. 推导∠AIB和∠C的关系：
∵I是△ABC的内心，
∴AI、BI分别平分∠CAB、∠CBA
∴$∠ IAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA=\frac{1}{2}∠ CBA$
在△AIB中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ AIB=180°-(∠ IAB+∠ IBA)=180°-\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)$
又
∵在△ABC中，$∠ CAB+∠ CBA=180°-∠ C$，代入上式得：
$∠ AIB=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ C)=90°+\frac{1}{2}∠ C$ ②
3. 联立①②消去∠C：
将①代入②得：$∠ AIB=90°+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠ AOB=90°+\frac{1}{4}∠ AOB$
两边同乘2得：$2∠ AIB=180°+\frac{1}{2}∠ AOB$
移项得：$2∠ AIB-\frac{1}{2}∠ AOB=180°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质，三角形外心性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形特殊点性质的基础应用，解题核心是通过中间角∠C建立两个待求角的联系，需要熟练掌握内心、外心的定义及相关角度计算规律。
【难度系数】
0.6

9.[2025·芜湖二模]如图,在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$F$为$△ ABC$的内心,连接$CF$并延长交$AB$于点$E$,连接$AF$并延长交$BC$于点$D$.若$CD=\sqrt{2}$,则$EF=$ ()


A.$1$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

9.A

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：首先明确三角形内心是三条角平分线的交点，结合等腰直角三角形的角度特征，得到AD平分∠CAB、CE平分∠ACB且CE垂直AB；接着在Rt△ACD中利用22.5°角的正切值求出直角边AC的长度；再计算等腰直角三角形的斜边AB、斜边上的高CE的长度，以及内切圆半径r；最后求出CF的长度，用CE减CF即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰Rt△，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC，$AB=\sqrt{2}AC$。
∵F是△ABC的内心，
∴AD平分∠CAB，CE平分∠ACB，由等腰三角形三线合一可得$CE⊥ AB$，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB=22.5°$，$∠ ACE=∠ BCE=45°$。
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AC}$，
已知$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$，$CD=\sqrt{2}$，
∴$AC=\frac{CD}{\tan22.5°}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=2+\sqrt{2}$。
∴$AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}(2+\sqrt{2})=2\sqrt{2}+2$，
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，故$CE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}+1$。
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{2(2+\sqrt{2})-(2\sqrt{2}+2)}{2}=1$。
过F作$FH⊥ BC$于H，则$FH=r=1$，
在Rt△FCH中，$∠ FCH=45°$，
∴$CF=\sqrt{2}FH=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
∴$EF=CE-CF=(\sqrt{2}+1)-\sqrt{2}=1$。
【答案】A
【知识点】
三角形内心的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了三角形内心的定义、等腰直角三角形的特征以及特殊角的三角函数应用，解题关键是熟练掌握直角三角形内切圆半径公式，结合角平分线的性质逐步推导各线段长度。
【难度系数】
0.6

10. [材料阅读题]阅读下列材料:海伦公式为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（其中$a,b,c$是三角形的三边长，$p=\frac{a+b+c}{2}$，$S$为三角形的面积).根据上述材料,解答下列问题:如图,在$△ ABC$中,$BC=5,AC=6,AB=9$.
(1)用海伦公式求$△ ABC$的面积;
(2)求$△ ABC$的内切圆半径$r$.

10. (1)$S_{△ ABC}=10\sqrt{2}$
(2)$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}r(AC+BC+AB)$,
$\therefore 10\sqrt{2}=\frac{1}{2}r(6+5+9)$,解得$r=\sqrt{2}$,
$\therefore△ ABC$的内切圆半径$r$为$\sqrt{2}$.

【分析】
(1) 求解△ABC的面积，首先按照海伦公式的使用要求，先计算三角形的半周长p，再将p和三边长代入海伦公式，化简二次根式即可得到面积。
(2) 求解内切圆半径r，需利用三角形面积与内切圆半径的关系：三角形面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的$\frac{1}{2}$，将第(1)问求得的面积和已知三边长代入该关系式，解方程即可求出r。
【解析】
(1) 已知$BC=5$，$AC=6$，$AB=9$，先计算半周长$p$：
$p=\frac{BC+AC+AB}{2}=\frac{5+6+9}{2}=10$，
代入海伦公式得：
$S_{△ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-6)×(10-9)}=\sqrt{10×5×4×1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
(2) 根据三角形内切圆的面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}r(AC+BC+AB)$，将$S_{△ABC}=10\sqrt{2}$、三边长代入得：
$10\sqrt{2}=\frac{1}{2}r×(6+5+9)$，
整理得$10\sqrt{2}=10r$，
解得$r=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $S_{△ABC}=10\sqrt{2}$；(2) △ABC的内切圆半径$r$为$\sqrt{2}$。
【知识点】
海伦公式应用，三角形内切圆性质，二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题，既考查对给定新公式的理解和代入计算能力，也考查三角形内切圆相关面积公式的掌握，计算过程中注意二次根式化简为最简形式，避免计算失误即可顺利得分。
【难度系数】
0.7

11.如图，O是$△ ABC$的外心，I是$△ ABC$的内心，连接AI并延长分别交BC和$\odot O$于点D，E，连接BI，BE.
(1)求证：$EB=EI$；
(2)若$DE=3$，$AD=5$，求AI的长.

11. (1)证明略.
(2)$\because∠ CBE=∠ CAE=∠ BAE,∠ E=∠ E$,
$\therefore△ EBD∽△ EAB,\therefore\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE},\therefore BE^2=AE· DE$.
$\because AE=AD+DE=8,\therefore BE=\sqrt{AE· DE}=2\sqrt{6}$,
$\therefore EI=BE=2\sqrt{6},\therefore AI=AE-EI=8-2\sqrt{6}$.

【分析】
(1) 要证明EB=EI，可通过证明∠EBI=∠EIB，利用等角对等边求证：首先结合三角形内心的性质，可得AI平分∠BAC、BI平分∠ABC，得到两组等角；再根据圆周角定理得到∠CBE=∠CAE，将角进行转化即可推出∠EIB与∠EBI相等。
(2) 求AI的长，已知AD和DE可先求出AE的长度，需要先求出EI的长，结合(1)的结论只需算BE的长：观察图形发现△EBD和△EAB有公共角∠E，结合∠EBD=∠BAE可证明两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出BE的长度，再用AE减去EI（即BE）即可得到AI的长。
【解析】
(1) 证明：
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
由圆周角定理得，∠CBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CBE，
∵∠EIB=∠BAE+∠ABI，∠EBI=∠CBE+∠CBI，
∴∠EIB=∠EBI，
∴EB=EI。
(2) 解：
∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∠E是公共角，
∴△EBD∽△EAB，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$，即$BE^2=AE·DE$，
∵AE=AD+DE=5+3=8，DE=3，
∴$BE=\sqrt{AE·DE}=\sqrt{8×3}=2\sqrt{6}$，
由(1)知EI=BE=$2\sqrt{6}$，
∴AI=AE-EI=8-$2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $8-2\sqrt{6}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，重点考查角的等量转化能力，解题的关键是熟练运用内心性质、圆周角定理找到等角，进而证明等腰三角形和相似三角形，难度适中，对综合运用几何知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6