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1.如图，点A，C，D均在$\odot O$上，点B在$\odot O$内，且$AB⊥ BC$于点B，$BC⊥ CD$于点C。若$AB=4$，$BC=8$，$CD=2$，则$\odot O$的面积为（
A.$\frac{125π}{4}$
B.$\frac{275π}{4}$
C.$\frac{125π}{9}$
D.$\frac{275π}{9}$
A
）A.$\frac{125π}{4}$
B.$\frac{275π}{4}$
C.$\frac{125π}{9}$
D.$\frac{275π}{9}$
答案
1.A
解析
【分析】
要求圆的面积，需先求出圆的半径。题目中存在多组垂直关系，适合通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解：先确定各已知点的坐标，设出圆心坐标，再利用“圆上任意一点到圆心的距离都等于半径”列方程，求解得到圆心坐标后计算半径的平方，最终求得圆的面积。
【解析】
以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据已知边长可得各点坐标：$A(0,4)$，$C(8,0)$，$D(8,-2)$。
设$\odot O$的圆心坐标为$(x,y)$，半径为$r$，根据圆的性质可知$OA=OC=OD=r$，因此：
1. 由$OC^2=OD^2$列方程：
$(x-8)^2 + y^2 = (x-8)^2 + (y+2)^2$
化简得$y^2 = y^2 +4y +4$，解得$y=-1$。
2. 由$OA^2=OC^2$列方程，将$y=-1$代入：
$x^2 + (-1-4)^2 = (x-8)^2 + (-1)^2$
展开得$x^2 +25 = x^2 -16x +64 +1$，整理得$16x=40$，解得$x=\frac{5}{2}$。
3. 计算半径平方：
$r^2 = OA^2 = (\frac{5}{2})^2 + (-1-4)^2 = \frac{25}{4} +25 = \frac{125}{4}$
因此$\odot O$的面积$S=π r^2=\frac{125π}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，平面直角坐标系应用
【点评】
本题将几何问题转化为代数方程求解，巧妙利用圆上点到圆心距离相等的性质简化计算，是圆中半径计算的典型题型，需掌握坐标法在几何问题中的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要求圆的面积，需先求出圆的半径。题目中存在多组垂直关系，适合通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解：先确定各已知点的坐标，设出圆心坐标，再利用“圆上任意一点到圆心的距离都等于半径”列方程，求解得到圆心坐标后计算半径的平方，最终求得圆的面积。
【解析】
以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据已知边长可得各点坐标：$A(0,4)$，$C(8,0)$，$D(8,-2)$。
设$\odot O$的圆心坐标为$(x,y)$，半径为$r$，根据圆的性质可知$OA=OC=OD=r$，因此：
1. 由$OC^2=OD^2$列方程：
$(x-8)^2 + y^2 = (x-8)^2 + (y+2)^2$
化简得$y^2 = y^2 +4y +4$，解得$y=-1$。
2. 由$OA^2=OC^2$列方程，将$y=-1$代入：
$x^2 + (-1-4)^2 = (x-8)^2 + (-1)^2$
展开得$x^2 +25 = x^2 -16x +64 +1$，整理得$16x=40$，解得$x=\frac{5}{2}$。
3. 计算半径平方：
$r^2 = OA^2 = (\frac{5}{2})^2 + (-1-4)^2 = \frac{25}{4} +25 = \frac{125}{4}$
因此$\odot O$的面积$S=π r^2=\frac{125π}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，平面直角坐标系应用
【点评】
本题将几何问题转化为代数方程求解，巧妙利用圆上点到圆心距离相等的性质简化计算，是圆中半径计算的典型题型，需掌握坐标法在几何问题中的灵活运用。
【难度系数】
0.6
2. 如图,两个正方形都在$\odot O$的直径MN的同侧,顶点B,C,G都在MN上,正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在$\odot O$上,点E在CD上.若$AB=5,FG=3$,则OC的长为
2
.答案
2.2
解析
【分析】
本题可利用同圆半径相等的性质结合勾股定理求解：首先明确圆上的点到圆心距离相等，即OA=OF；两个正方形的边均垂直于直径MN，可构造两个直角三角形，设OC的长为未知数，分别用含未知数的式子表示两个直角三角形的直角边长，再根据勾股定理表示出OA²和OF²，列方程求解即可。
【解析】
设$OC=x$。
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=5$，
∴$AB=BC=5$，$AB⊥ MN$，
由点的位置可得$OB=BC-OC=5-x$，
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理得：
$OA^2=OB^2+AB^2=(5-x)^2+5^2$。
∵四边形$CEFG$是正方形，$FG=3$，
∴$FG=CG=3$，$FG⊥ MN$，
由点的位置可得$OG=OC+CG=x+3$，
在$\mathrm{Rt}△ OGF$中，根据勾股定理得：
$OF^2=OG^2+FG^2=(x+3)^2+3^2$。
∵$OA$、$OF$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OF$，即$OA^2=OF^2$，
代入得：$(5-x)^2+5^2=(x+3)^2+3^2$，
展开整理：$25-10x+x^2+25=x^2+6x+9+9$，
移项合并得：$16x=32$，
解得：$x=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，正方形的性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的常规题型，核心是借助同圆半径相等构造等量关系，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
本题可利用同圆半径相等的性质结合勾股定理求解：首先明确圆上的点到圆心距离相等，即OA=OF；两个正方形的边均垂直于直径MN，可构造两个直角三角形，设OC的长为未知数，分别用含未知数的式子表示两个直角三角形的直角边长，再根据勾股定理表示出OA²和OF²，列方程求解即可。
【解析】
设$OC=x$。
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=5$，
∴$AB=BC=5$，$AB⊥ MN$，
由点的位置可得$OB=BC-OC=5-x$，
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理得：
$OA^2=OB^2+AB^2=(5-x)^2+5^2$。
∵四边形$CEFG$是正方形，$FG=3$，
∴$FG=CG=3$，$FG⊥ MN$，
由点的位置可得$OG=OC+CG=x+3$，
在$\mathrm{Rt}△ OGF$中，根据勾股定理得：
$OF^2=OG^2+FG^2=(x+3)^2+3^2$。
∵$OA$、$OF$都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OF$，即$OA^2=OF^2$，
代入得：$(5-x)^2+5^2=(x+3)^2+3^2$，
展开整理：$25-10x+x^2+25=x^2+6x+9+9$，
移项合并得：$16x=32$，
解得：$x=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，正方形的性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的常规题型，核心是借助同圆半径相等构造等量关系，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
3.如图,在$\odot O$中,AB是直径,$AB⊥CD$,点E在$\odot O$上,$∠BDC=∠CDE$,AE与BC的延长线交于点F.
(1)求证:$AB=AF$;
(2)若$AB=10,BD=4$,求AE的长.
(1)求证:$AB=AF$;
(2)若$AB=10,BD=4$,求AE的长.
答案
3.(1)证明略.
(2)如题图,连接BE,由(1)可得$AF=AB=10,CF=BC$.
$\because AB⊥CD,\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore BC=BD=4,\therefore CF=4$.
$\because AB$是直径,则$∠ AEB=∠ FEB=90°$.
设$AE=x$,则$EF=10-x$,
$\therefore AB^2-AE^2=BF^2-EF^2$,即$10^2-x^2=8^2-(10-x)^2$,解得$x=6.8,\therefore AE=6.8$.
(2)如题图,连接BE,由(1)可得$AF=AB=10,CF=BC$.
$\because AB⊥CD,\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore BC=BD=4,\therefore CF=4$.
$\because AB$是直径,则$∠ AEB=∠ FEB=90°$.
设$AE=x$,则$EF=10-x$,
$\therefore AB^2-AE^2=BF^2-EF^2$,即$10^2-x^2=8^2-(10-x)^2$,解得$x=6.8,\therefore AE=6.8$.
解析
【分析】
(1) 要证明$AB=AF$，可通过证明$△ ABF$为等腰三角形实现。首先利用垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，结合圆周角定理推出$∠ BAC=∠ BDC$，再结合已知$∠ BDC=∠ CDE$，利用同弧所对圆周角相等得$∠ CDE=∠ CAE$，等量代换得$AC$平分$∠ BAF$；再由直径所对圆周角为直角得$AC⊥ BF$，根据等腰三角形“三线合一”逆定理即可得$AB=AF$。
(2) 求$AE$的长时，利用直径所对圆周角为直角的性质，连接$BE$得到两个共直角边$BE$的直角三角形，可通过“双勾股”构造方程求解。先由(1)得$AF=AB=10$、$CF=BC$，结合垂径定理得$BC=BD=4$，求出$BF$的长度；再设$AE=x$，用含$x$的式子表示$EF$，根据两个直角三角形中$BE^2$相等列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BAC=∠ BDC$（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵$∠ BDC=∠ CDE$（已知），且$∠ CDE=∠ CAE$（同弧$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角相等），
∴$∠ BAC=∠ CAE$，即$AC$平分$∠ BAF$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BF$，
∴$△ ABF$为等腰三角形，
∴$AB=AF$。
(2) 解：连接$BE$，
由(1)可知$AF=AB=10$，且$AC⊥ BF$，
∴$CF=BC$（等腰三角形三线合一）。
∵$AB⊥ CD$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$BC=BD=4$，
∴$CF=4$，$BF=BC+CF=8$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ AEB=∠ FEB=90°$。
设$AE=x$，则$EF=AF-AE=10-x$。
在$Rt△ ABE$中，$BE^2=AB^2-AE^2$，
在$Rt△ FBE$中，$BE^2=BF^2-EF^2$，
因此有：$10^2-x^2=8^2-(10-x)^2$，
展开计算：$100-x^2=64-(100-20x+x^2)$，
整理得$20x=136$，
解得$x=6.8$。
【答案】
(1) 已证；
(2) $\boldsymbol{AE=6.8}$（或$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$）
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与几何计算，解题关键是熟练运用垂径定理、圆周角定理完成角和线段的等量代换，第二问通过“双勾股”构造方程求解的思路，体现了方程思想在几何问题中的应用，能较好地考查逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$AB=AF$，可通过证明$△ ABF$为等腰三角形实现。首先利用垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，结合圆周角定理推出$∠ BAC=∠ BDC$，再结合已知$∠ BDC=∠ CDE$，利用同弧所对圆周角相等得$∠ CDE=∠ CAE$，等量代换得$AC$平分$∠ BAF$；再由直径所对圆周角为直角得$AC⊥ BF$，根据等腰三角形“三线合一”逆定理即可得$AB=AF$。
(2) 求$AE$的长时，利用直径所对圆周角为直角的性质，连接$BE$得到两个共直角边$BE$的直角三角形，可通过“双勾股”构造方程求解。先由(1)得$AF=AB=10$、$CF=BC$，结合垂径定理得$BC=BD=4$，求出$BF$的长度；再设$AE=x$，用含$x$的式子表示$EF$，根据两个直角三角形中$BE^2$相等列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BAC=∠ BDC$（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵$∠ BDC=∠ CDE$（已知），且$∠ CDE=∠ CAE$（同弧$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角相等），
∴$∠ BAC=∠ CAE$，即$AC$平分$∠ BAF$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BF$，
∴$△ ABF$为等腰三角形，
∴$AB=AF$。
(2) 解：连接$BE$，
由(1)可知$AF=AB=10$，且$AC⊥ BF$，
∴$CF=BC$（等腰三角形三线合一）。
∵$AB⊥ CD$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$BC=BD=4$，
∴$CF=4$，$BF=BC+CF=8$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ AEB=∠ FEB=90°$。
设$AE=x$，则$EF=AF-AE=10-x$。
在$Rt△ ABE$中，$BE^2=AB^2-AE^2$，
在$Rt△ FBE$中，$BE^2=BF^2-EF^2$，
因此有：$10^2-x^2=8^2-(10-x)^2$，
展开计算：$100-x^2=64-(100-20x+x^2)$，
整理得$20x=136$，
解得$x=6.8$。
【答案】
(1) 已证；
(2) $\boldsymbol{AE=6.8}$（或$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$）
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与几何计算，解题关键是熟练运用垂径定理、圆周角定理完成角和线段的等量代换，第二问通过“双勾股”构造方程求解的思路，体现了方程思想在几何问题中的应用，能较好地考查逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
4. 如图，AB是半圆O的直径，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$DE ⊥ AB$于点E，AC交DE于点F.
(1)求证：$∠ DAF = ∠ ADF$；
(2)若$CD = 2\sqrt{5}$，半圆O的半径为5，求BC的长.
(1)求证：$∠ DAF = ∠ ADF$；
(2)若$CD = 2\sqrt{5}$，半圆O的半径为5，求BC的长.
答案
4.(1)证明略.
(2)如题图,连接OD交AC于点H.
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD},\therefore OD⊥AC,AH=CH,AD=CD=2\sqrt{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中,$AH^2=OA^2-OH^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中,$AH^2=AD^2-DH^2$,
$\therefore OA^2-OH^2=AD^2-DH^2$,
即$5^2-OH^2=(2\sqrt{5})^2-(5-OH)^2,\therefore OH=3$,
易得OH是$△ ABC$的中位线,
$\therefore OH=\frac{1}{2}BC,\therefore BC=2OH=6$.
(2)如题图,连接OD交AC于点H.
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD},\therefore OD⊥AC,AH=CH,AD=CD=2\sqrt{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中,$AH^2=OA^2-OH^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中,$AH^2=AD^2-DH^2$,
$\therefore OA^2-OH^2=AD^2-DH^2$,
即$5^2-OH^2=(2\sqrt{5})^2-(5-OH)^2,\therefore OH=3$,
易得OH是$△ ABC$的中位线,
$\therefore OH=\frac{1}{2}BC,\therefore BC=2OH=6$.
解析
【分析】
(1) 要证∠DAF=∠ADF，可结合圆周角性质与直角三角形等角的余角相等推导：先由AB是直径得∠ADB=90°，结合DE⊥AB推出∠ADF=∠ABD；再根据D是弧AC中点，可得弧AD=弧CD，对应的圆周角∠ABD=∠DAF，等量代换即可得证。
(2) 求BC的长可利用垂径定理与中位线性质求解：连接OD交AC于H，由弧相等得OD垂直平分AC且AD=CD，在Rt△AOH和Rt△ADH中，利用公共边AH的平方列方程求出OH的长度，再根据OH是△ABC的中位线，即可推出BC=2OH，计算得结果。
【解析】
(1) 证明：连接BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADE+∠BDE=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∴∠ADF=∠ABD，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠DAF，
∴∠DAF=∠ADF。
(2) 解：连接OD交AC于点H，
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴OD⊥AC，$AH=CH$，$AD=CD=2\sqrt{5}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中，$AH^2=OA^2-OH^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$AH^2=AD^2-DH^2$，
∴$OA^2-OH^2=AD^2-DH^2$，
∵$OD=OA=5$，
∴$DH=5-OH$，代入得：
$5^2-OH^2=(2\sqrt{5})^2-(5-OH)^2$
解得$OH=3$，
∵O是AB中点，H是AC中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴$OH=\frac{1}{2}BC$，
∴$BC=2OH=6$。
【答案】
(1) $∠ DAF = ∠ ADF$，证明成立；
(2) $BC=6$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的常见综合题型，解题时需灵活运用弧相等对应的相关性质，第二问通过双勾股建立方程求解线段长，体现了方程思想在几何计算中的应用，中位线模型的运用能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠DAF=∠ADF，可结合圆周角性质与直角三角形等角的余角相等推导：先由AB是直径得∠ADB=90°，结合DE⊥AB推出∠ADF=∠ABD；再根据D是弧AC中点，可得弧AD=弧CD，对应的圆周角∠ABD=∠DAF，等量代换即可得证。
(2) 求BC的长可利用垂径定理与中位线性质求解：连接OD交AC于H，由弧相等得OD垂直平分AC且AD=CD，在Rt△AOH和Rt△ADH中，利用公共边AH的平方列方程求出OH的长度，再根据OH是△ABC的中位线，即可推出BC=2OH，计算得结果。
【解析】
(1) 证明：连接BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADE+∠BDE=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∴∠ADF=∠ABD，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠DAF，
∴∠DAF=∠ADF。
(2) 解：连接OD交AC于点H，
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴OD⊥AC，$AH=CH$，$AD=CD=2\sqrt{5}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOH$中，$AH^2=OA^2-OH^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$AH^2=AD^2-DH^2$，
∴$OA^2-OH^2=AD^2-DH^2$，
∵$OD=OA=5$，
∴$DH=5-OH$，代入得：
$5^2-OH^2=(2\sqrt{5})^2-(5-OH)^2$
解得$OH=3$，
∵O是AB中点，H是AC中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴$OH=\frac{1}{2}BC$，
∴$BC=2OH=6$。
【答案】
(1) $∠ DAF = ∠ ADF$，证明成立；
(2) $BC=6$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的常见综合题型，解题时需灵活运用弧相等对应的相关性质，第二问通过双勾股建立方程求解线段长，体现了方程思想在几何计算中的应用，中位线模型的运用能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6
