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1. 抛物线$y=-3x^2$经过第
三、四
象限，开口向下
，对称轴为$y$轴
，对称轴与图象的交点坐标是$(0,0)$
，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
（填“增大”或“减小”），当$x=$$0$
时，$y$有最大值，为$0$
。答案
1. 三、四 下 $y$轴 $(0,0)$ 减小 $0$ $0$
解析
【分析】
解决本题需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题思路如下：①先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；②再结合$y=ax^2$的固定特征确定对称轴、顶点坐标；③根据开口方向和对称轴分析函数的增减性、最值；④最后结合函数值的正负判断图象经过的象限，依次对应每个空填写即可。
【解析】
对于二次函数$y=-3x^2$：
1. 二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数对称轴为$y$轴（直线$x=0$），对称轴与图象的交点即顶点，坐标为$(0,0)$；
3. 因为抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$；
4. 对任意实数$x$，$x^2≥0$，因此$y=-3x^2≤0$：当$x＜0$时，$x$为负、$y$为负，图象在第三象限；当$x＞0$时，$x$为正、$y$为负，图象在第四象限，因此抛物线经过第三、四象限；
5. 开口向下的二次函数，在对称轴右侧（$x＞0$的区域），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
三、四；下；$y$轴；$(0,0)$；减小；$0$；$0$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对$y=ax^2$基本性质的掌握，熟记二次项系数对图象特征、函数性质的影响即可快速解题，是二次函数部分必须熟练掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.9
解决本题需先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题思路如下：①先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；②再结合$y=ax^2$的固定特征确定对称轴、顶点坐标；③根据开口方向和对称轴分析函数的增减性、最值；④最后结合函数值的正负判断图象经过的象限，依次对应每个空填写即可。
【解析】
对于二次函数$y=-3x^2$：
1. 二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数对称轴为$y$轴（直线$x=0$），对称轴与图象的交点即顶点，坐标为$(0,0)$；
3. 因为抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$；
4. 对任意实数$x$，$x^2≥0$，因此$y=-3x^2≤0$：当$x＜0$时，$x$为负、$y$为负，图象在第三象限；当$x＞0$时，$x$为正、$y$为负，图象在第四象限，因此抛物线经过第三、四象限；
5. 开口向下的二次函数，在对称轴右侧（$x＞0$的区域），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
三、四；下；$y$轴；$(0,0)$；减小；$0$；$0$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对$y=ax^2$基本性质的掌握，熟记二次项系数对图象特征、函数性质的影响即可快速解题，是二次函数部分必须熟练掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.9
2.如果抛物线$y=(m-1)x^2$的开口向上，那么m的取值范围是
$m＞1$
.答案
2. $m＞1$
解析
【分析】
解题时首先识别该抛物线是二次函数$y=ax^2$的形式，回忆其性质：抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，开口向上对应$a＞0$，开口向下对应$a＜0$。本题中二次项系数为$m-1$，结合开口向上的条件，列出关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其图象开口方向由二次项系数$a$的符号决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
已知抛物线$y=(m-1)x^2$开口向上，因此二次项系数满足：
$m-1＞0$
解该不等式，得$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数模块的基础常考题，主要考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，只要牢记相关性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别该抛物线是二次函数$y=ax^2$的形式，回忆其性质：抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，开口向上对应$a＞0$，开口向下对应$a＜0$。本题中二次项系数为$m-1$，结合开口向上的条件，列出关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其图象开口方向由二次项系数$a$的符号决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
已知抛物线$y=(m-1)x^2$开口向上，因此二次项系数满足：
$m-1＞0$
解该不等式，得$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数模块的基础常考题，主要考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，只要牢记相关性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 如图，函数$y=4x^2$的图象是（
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：首先$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；其次$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大开口越陡峭。第一步先根据$a=4＞0$排除开口向下的图象；第二步再通过代入特殊点（如$x=1$）计算对应$y$值，或者对比开口陡峭程度匹配对应图象即可。
【解析】
步骤1：判断开口方向：在函数$y=4x^2$中，二次项系数$a=4＞0$，因此抛物线开口向上，图象③、④开口向下，不符合要求，排除选项C、D；
步骤2：判断开口陡峭程度：对于二次函数$y=ax^2$，$|a|$越大，抛物线开口越陡。代入$x=1$计算得$y=4×1^2=4$，即抛物线过点$(1,4)$，观察图象可知：图象①在$x=1$处的$y$值为4，符合要求；图象②在$x=1$处的$y$值小于4，更平缓，不符合要求。
因此函数$y=4x^2$的图象是①，选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象判断；特殊点验证法
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，解题思路清晰，先通过开口方向初步排除错误选项，再结合开口宽窄或特殊点验证即可快速得到答案，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质：首先$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；其次$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大开口越陡峭。第一步先根据$a=4＞0$排除开口向下的图象；第二步再通过代入特殊点（如$x=1$）计算对应$y$值，或者对比开口陡峭程度匹配对应图象即可。
【解析】
步骤1：判断开口方向：在函数$y=4x^2$中，二次项系数$a=4＞0$，因此抛物线开口向上，图象③、④开口向下，不符合要求，排除选项C、D；
步骤2：判断开口陡峭程度：对于二次函数$y=ax^2$，$|a|$越大，抛物线开口越陡。代入$x=1$计算得$y=4×1^2=4$，即抛物线过点$(1,4)$，观察图象可知：图象①在$x=1$处的$y$值为4，符合要求；图象②在$x=1$处的$y$值小于4，更平缓，不符合要求。
因此函数$y=4x^2$的图象是①，选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象判断；特殊点验证法
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，解题思路清晰，先通过开口方向初步排除错误选项，再结合开口宽窄或特殊点验证即可快速得到答案，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 抛物线 $y=5x^2, y=-5x^2, y=\frac{1}{5}x^2$ 的共同性质是 （
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
B
）A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的性质，解题时首先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的通用特征：对称轴均为y轴，顶点在原点；再根据$a$的正负判断每个函数的开口方向、最值类型和增减性，依次对四个选项进行验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先分别分析三个二次函数的性质：
1. $y=5x^2$：$a=5＞0$，开口向上，对称轴为y轴，有最低点，增减性为$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大；
2. $y=-5x^2$：$a=-5＜0$，开口向下，对称轴为y轴，有最高点，增减性为$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小；
3. $y=\frac{1}{5}x^2$：$a=\frac{1}{5}＞0$，开口向上，对称轴为y轴，有最低点，增减性与$y=5x^2$一致。
再逐一判断选项：
A选项：$y=-5x^2$开口向下，不是所有函数都开口向上，错误；
B选项：三个函数的对称轴均为y轴，是共同性质，正确；
C选项：$y=5x^2$和$y=\frac{1}{5}x^2$有最低点，没有最高点，错误；
D选项：三个函数的增减性都需要分$x$的正负讨论，不存在$y$始终随$x$的增大而增大的情况，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题关键是熟记参数$a$的正负对开口方向、最值、增减性的影响，以及该类函数对称轴固定为y轴的结论，属于基础题型，掌握核心性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的性质，解题时首先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的通用特征：对称轴均为y轴，顶点在原点；再根据$a$的正负判断每个函数的开口方向、最值类型和增减性，依次对四个选项进行验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先分别分析三个二次函数的性质：
1. $y=5x^2$：$a=5＞0$，开口向上，对称轴为y轴，有最低点，增减性为$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大；
2. $y=-5x^2$：$a=-5＜0$，开口向下，对称轴为y轴，有最高点，增减性为$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小；
3. $y=\frac{1}{5}x^2$：$a=\frac{1}{5}＞0$，开口向上，对称轴为y轴，有最低点，增减性与$y=5x^2$一致。
再逐一判断选项：
A选项：$y=-5x^2$开口向下，不是所有函数都开口向上，错误；
B选项：三个函数的对称轴均为y轴，是共同性质，正确；
C选项：$y=5x^2$和$y=\frac{1}{5}x^2$有最低点，没有最高点，错误；
D选项：三个函数的增减性都需要分$x$的正负讨论，不存在$y$始终随$x$的增大而增大的情况，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题关键是熟记参数$a$的正负对开口方向、最值、增减性的影响，以及该类函数对称轴固定为y轴的结论，属于基础题型，掌握核心性质即可快速判断。
【难度系数】
0.8
5. (本课时 T4 变式)夕夕用软件绘制二次函数 $y=3x^2$ 的图象时，将“3”按成了“2”，和原图象相比，发生改变的是 (
A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.顶点坐标
B
)A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.顶点坐标
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：参数$a$的正负决定开口方向，$|a|$的大小决定开口大小，该形式的二次函数对称轴恒为y轴（直线$x=0$），顶点恒为原点$(0,0)$。接下来对比原函数$y=3x^2$和错输后的函数$y=2x^2$的参数$a$的变化，再逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
原二次函数为$y=3x^2$，输错后得到的二次函数为$y=2x^2$：
1. 验证A选项：两个函数的$a$分别为3、2，均为正数，开口方向都向上，开口方向未发生改变，A错误；
2. 验证B选项：二次函数中$|a|$决定开口大小，$|3|≠|2|$，因此开口大小发生改变，B正确；
3. 验证C选项：$y=ax^2$形式的二次函数对称轴均为直线$x=0$（y轴），对称轴未发生改变，C错误；
4. 验证D选项：$y=ax^2$形式的二次函数顶点均为$(0,0)$，顶点坐标未发生改变，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数系数$a$的作用
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，属于基础题型，只要熟练掌握参数$a$对二次函数$y=ax^2$图象的影响，就能快速判断得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：参数$a$的正负决定开口方向，$|a|$的大小决定开口大小，该形式的二次函数对称轴恒为y轴（直线$x=0$），顶点恒为原点$(0,0)$。接下来对比原函数$y=3x^2$和错输后的函数$y=2x^2$的参数$a$的变化，再逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
原二次函数为$y=3x^2$，输错后得到的二次函数为$y=2x^2$：
1. 验证A选项：两个函数的$a$分别为3、2，均为正数，开口方向都向上，开口方向未发生改变，A错误；
2. 验证B选项：二次函数中$|a|$决定开口大小，$|3|≠|2|$，因此开口大小发生改变，B正确；
3. 验证C选项：$y=ax^2$形式的二次函数对称轴均为直线$x=0$（y轴），对称轴未发生改变，C错误；
4. 验证D选项：$y=ax^2$形式的二次函数顶点均为$(0,0)$，顶点坐标未发生改变，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 二次函数系数$a$的作用
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，属于基础题型，只要熟练掌握参数$a$对二次函数$y=ax^2$图象的影响，就能快速判断得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知抛物线$y=ax^2$经过点$(1,-4)$.
(1)求$a$的值.
(2)若点$A(3,y_1)$，$B(\sqrt{7},y_2)$都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小.
(1)求$a$的值.
(2)若点$A(3,y_1)$，$B(\sqrt{7},y_2)$都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小.
答案
6. 解:(1)将点$(1,-4)$代入$y=ax^2$,得$a=-4$.(2)由(1)得,抛物线的表达式为$y=-4x^2$,$\because$当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,且$0＜\sqrt{7}＜3$,$\therefore y_1＜y_2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)求a的值时，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$(1,-4)$的横、纵坐标代入$y=ax^2$，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。(2)比较$y_1$与$y_2$的大小时，先由(1)的结果确定抛物线解析式，再结合二次函数$y=ax^2$的增减性分析：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x＞0$的区间内y随x的增大而减小，只需比较两点横坐标的大小，就能对应得出函数值的大小关系。
【解析】
(1)将点$(1,-4)$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$-4=a×1^2$
解得：$a=-4$
(2)由(1)得抛物线的表达式为$y=-4x^2$，
$\because a=-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
又$\because 0＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore y_1＜y_2$
【答案】
(1)$a=-4$；(2)$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次函数解析式的求解和性质的应用，熟练掌握二次函数$y=ax^2$的开口方向、增减性等性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路如下：(1)求a的值时，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$(1,-4)$的横、纵坐标代入$y=ax^2$，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。(2)比较$y_1$与$y_2$的大小时，先由(1)的结果确定抛物线解析式，再结合二次函数$y=ax^2$的增减性分析：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x＞0$的区间内y随x的增大而减小，只需比较两点横坐标的大小，就能对应得出函数值的大小关系。
【解析】
(1)将点$(1,-4)$代入抛物线解析式$y=ax^2$，得：
$-4=a×1^2$
解得：$a=-4$
(2)由(1)得抛物线的表达式为$y=-4x^2$，
$\because a=-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，
又$\because 0＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore y_1＜y_2$
【答案】
(1)$a=-4$；(2)$y_1＜y_2$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次函数解析式的求解和性质的应用，熟练掌握二次函数$y=ax^2$的开口方向、增减性等性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
7. 二次函数$y=x^2+1$的图象大致是（
C
）答案
7. C
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可分两步分析：第一步先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据函数解析式确定顶点坐标或与y轴的交点，进一步筛选得到正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，B、D选项图象开口向下，故排除B、D；
2. 该函数为$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，代入得顶点坐标为$(0,1)$，即抛物线与y轴交于点$(0,1)$。A选项的顶点为$(0,-1)$，不符合要求，故排除A。
综上，符合条件的只有选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数图象的基础判断题，解题关键是熟练掌握二次项系数对开口方向的影响，以及$y=ax^2+k$型二次函数的顶点坐标特征，难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数的图象，可分两步分析：第一步先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；第二步再根据函数解析式确定顶点坐标或与y轴的交点，进一步筛选得到正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，B、D选项图象开口向下，故排除B、D；
2. 该函数为$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，代入得顶点坐标为$(0,1)$，即抛物线与y轴交于点$(0,1)$。A选项的顶点为$(0,-1)$，不符合要求，故排除A。
综上，符合条件的只有选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；开口方向判断；顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数图象的基础判断题，解题关键是熟练掌握二次项系数对开口方向的影响，以及$y=ax^2+k$型二次函数的顶点坐标特征，难度较低。
【难度系数】
0.9
8.(2025·上海)抛物线 $ y=3x^2 $ 向下平移两个单位长度所得的抛物线的表达式为。。
答案
8. $y=3x^2-2$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律。抛物线平移时，形状、开口方向均不改变，即二次项系数a不变，平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则：上下平移是对整个函数的函数值进行加减，向上平移n个单位就加n，向下平移n个单位就减n。本题是将抛物线向下平移2个单位，只需在原解析式的基础上减去平移的单位长度即可得到新的抛物线表达式。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=3x^2$，根据二次函数图象平移“上加下减”的规律：
向下平移2个单位长度，即给原函数的函数值整体减去2，
因此平移后所得抛物线的表达式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移变换，解题关键是牢记平移规则，注意区分上下平移（对常数项加减）和左右平移（对自变量加减）的不同，避免混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律。抛物线平移时，形状、开口方向均不改变，即二次项系数a不变，平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则：上下平移是对整个函数的函数值进行加减，向上平移n个单位就加n，向下平移n个单位就减n。本题是将抛物线向下平移2个单位，只需在原解析式的基础上减去平移的单位长度即可得到新的抛物线表达式。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=3x^2$，根据二次函数图象平移“上加下减”的规律：
向下平移2个单位长度，即给原函数的函数值整体减去2，
因此平移后所得抛物线的表达式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数图象的平移变换，解题关键是牢记平移规则，注意区分上下平移（对常数项加减）和左右平移（对自变量加减）的不同，避免混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.9
9. 与抛物线 $y=-\dfrac{4}{5}x^2 -1$ 顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是
$y=\dfrac{4}{5}x^2-1$
。答案
9. $y=\dfrac{4}{5}x^2-1$
解析
【分析】
解决本题需先掌握二次函数$y=ax^2+k$的相关性质：①顶点坐标为$(0,k)$；②$|a|$决定抛物线的形状（开口大小），$|a|$相同则抛物线形状相同；③$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。解题时先提取原抛物线的$a$值和$k$值，再结合题目要求：顶点相同则$k$不变，形状相同则$|a|$不变，开口相反则$a$取原数的相反数，代入即可得到新的函数表达式。
【解析】
原抛物线$y=-\dfrac{4}{5}x^2 -1$是$y=ax^2+k$的形式，其中二次项系数$a=-\dfrac{4}{5}$，常数项$k=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$。
根据题意：
1. 新抛物线与原抛物线顶点相同，因此新抛物线的$k=-1$；
2. 新抛物线与原抛物线形状相同，因此新抛物线的$|a|=\dfrac{4}{5}$；
3. 新抛物线与原抛物线开口方向相反，因此新抛物线的$a$与原$a$符号相反，即$a=\dfrac{4}{5}$。
将$a=\dfrac{4}{5}$、$k=-1$代入$y=ax^2+k$，可得新的函数表达式为$y=\dfrac{4}{5}x^2 -1$。
【答案】
$y=\dfrac{4}{5}x^2-1$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数系数的意义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数中参数$a$、$k$对抛物线图象的影响，掌握各参数对应的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需先掌握二次函数$y=ax^2+k$的相关性质：①顶点坐标为$(0,k)$；②$|a|$决定抛物线的形状（开口大小），$|a|$相同则抛物线形状相同；③$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。解题时先提取原抛物线的$a$值和$k$值，再结合题目要求：顶点相同则$k$不变，形状相同则$|a|$不变，开口相反则$a$取原数的相反数，代入即可得到新的函数表达式。
【解析】
原抛物线$y=-\dfrac{4}{5}x^2 -1$是$y=ax^2+k$的形式，其中二次项系数$a=-\dfrac{4}{5}$，常数项$k=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$。
根据题意：
1. 新抛物线与原抛物线顶点相同，因此新抛物线的$k=-1$；
2. 新抛物线与原抛物线形状相同，因此新抛物线的$|a|=\dfrac{4}{5}$；
3. 新抛物线与原抛物线开口方向相反，因此新抛物线的$a$与原$a$符号相反，即$a=\dfrac{4}{5}$。
将$a=\dfrac{4}{5}$、$k=-1$代入$y=ax^2+k$，可得新的函数表达式为$y=\dfrac{4}{5}x^2 -1$。
【答案】
$y=\dfrac{4}{5}x^2-1$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数系数的意义；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数中参数$a$、$k$对抛物线图象的影响，掌握各参数对应的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y=-2x^2$与$y=-2x^2+3$的图象.
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标.
(2)对于$y=-2x^2$和$y=-2x^2+3$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
(3)抛物线$y=-2x^2+3$可由抛物线$y=-2x^2$向
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标.
(2)对于$y=-2x^2$和$y=-2x^2+3$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
减小
（填“增大”或“减小”）；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
（填“增大”或“减小”）；其中，$y=-2x^2+3$有最大
值，为$3$
.(3)抛物线$y=-2x^2+3$可由抛物线$y=-2x^2$向
上
平移$3$
个单位长度得到.答案
10. 解:图略.(1)二次函数$y=-2x^2$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$.二次函数$y=-2x^2+3$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,3)$. (2)减小 增大 大 $3$ (3)上 $3$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$时开口向下，$a＞0$时开口向上；2. 该形式的二次函数对称轴都是$y$轴，顶点坐标为$(0,k)$；3. 增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，左侧$y$随$x$增大而增大，且函数有最大值，为顶点的纵坐标；4. 平移遵循“上加下减常数项”的规律，对应上下平移。按照以上规律依次解答三个小问即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-2x^2$，$a=-2＜0$，因此开口向下；属于$y=ax^2$形式，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$。
对于二次函数$y=-2x^2+3$，$a=-2＜0$，因此开口向下；属于$y=ax^2+k$形式，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,3)$。
(2) 两个函数开口均向下，对称轴为$y$轴：
当$x＞0$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＜0$时，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；
开口向下的二次函数有最大值，$y=-2x^2+3$的顶点纵坐标为3，因此最大值为3。
(3) 根据抛物线平移“上加下减常数项”的规律，$y=-2x^2$的常数项加3得到$y=-2x^2+3$，因此是向上平移3个单位长度得到。
【答案】
(1) $y=-2x^2$：开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；$y=-2x^2+3$：开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,3)$。
(2) 减小；增大；大；$3$
(3) 上；$3$
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数的平移；二次函数的增减性与最值
【点评】
本题考查二次函数的基础性质与平移规律，难度较低，掌握$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的图象性质和平移规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$时开口向下，$a＞0$时开口向上；2. 该形式的二次函数对称轴都是$y$轴，顶点坐标为$(0,k)$；3. 增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，左侧$y$随$x$增大而增大，且函数有最大值，为顶点的纵坐标；4. 平移遵循“上加下减常数项”的规律，对应上下平移。按照以上规律依次解答三个小问即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-2x^2$，$a=-2＜0$，因此开口向下；属于$y=ax^2$形式，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$。
对于二次函数$y=-2x^2+3$，$a=-2＜0$，因此开口向下；属于$y=ax^2+k$形式，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,3)$。
(2) 两个函数开口均向下，对称轴为$y$轴：
当$x＞0$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＜0$时，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；
开口向下的二次函数有最大值，$y=-2x^2+3$的顶点纵坐标为3，因此最大值为3。
(3) 根据抛物线平移“上加下减常数项”的规律，$y=-2x^2$的常数项加3得到$y=-2x^2+3$，因此是向上平移3个单位长度得到。
【答案】
(1) $y=-2x^2$：开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；$y=-2x^2+3$：开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,3)$。
(2) 减小；增大；大；$3$
(3) 上；$3$
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数的平移；二次函数的增减性与最值
【点评】
本题考查二次函数的基础性质与平移规律，难度较低，掌握$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的图象性质和平移规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
