11. 如图，A,B为抛物线 $y=x^2$ 上两点，且线段 $AB⊥ y$ 轴.若 $AB=8$，则点 A 的坐标为（）

A.$(4,4)$
B.$(4,16)$
C.$(-4,4)$
D.$(-4,16)$

11.D

【分析】
首先回忆二次函数$y=x^2$的图象性质：它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴。因为线段AB垂直于y轴，说明A、B两点纵坐标相等，且关于y轴对称，两点横坐标互为相反数。已知AB的长度为8，可先求出点A到y轴的距离，结合A在y轴左侧得到A的横坐标，再将横坐标代入抛物线解析式求出纵坐标，即可得到A点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），且$AB⊥ y$轴，
∴A、B两点关于y轴对称，两点纵坐标相等，横坐标互为相反数。
∵$AB=8$，
∴点A到y轴的距离为$8÷2=4$，
又
∵点A在y轴左侧，
∴点A的横坐标为$-4$，
将$x=-4$代入$y=x^2$，得$y=(-4)^2=16$，
∴点A的坐标为$(-4,16)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题的关键是利用抛物线的对称性快速确定点A的横坐标，再代入解析式求纵坐标，解题过程中要注意点A所在的象限，避免横坐标符号出错。
【难度系数】
0.8

12.已知点$(-5,y_1),(3,y_2),(4,y_3)$都在函数$y=-x^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

12.B

【分析】
要比较三个函数值的大小，有两种常用思路：一是直接将三个点的横坐标代入函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体值，再比较大小；二是利用二次函数$y=-x^2$的图象性质判断：该函数开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向下的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可快速得出结论。
【解析】
方法一：代入求值法
将三个点的横坐标分别代入$y=-x^2$计算：
当$x=-5$时，$y_1=-(-5)^2=-25$；
当$x=3$时，$y_2=-3^2=-9$；
当$x=4$时，$y_3=-4^2=-16$；
根据负数比较大小的规则：绝对值越大的负数越小，可得$-25 ＜ -16 ＜ -9$，即$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
方法二：性质判断法
二次函数$y=-x^2$的图象开口向下，对称轴为直线$x=0$，开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
计算三个点的横坐标到对称轴$x=0$的距离：
$|-5-0|=5$，$|3-0|=3$，$|4-0|=4$，
距离大小关系为$3 ＜ 4 ＜ 5$，因此对应函数值大小为$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$，即$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=-x^2$的图象与性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，既可以通过直接代入计算求解，也可以结合抛物线的开口方向、对称性和增减性快速判断，能有效考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

13.已知二次函数$y=x^2$，当$-1≤ x≤2$时，y的取值范围是（）

A.$y≤4$
B.$1≤ y≤4$
C.$0≤ y≤4$
D.$-4≤ y≤0$

13.C

【分析】
要确定二次函数$y=x^2$在$-1≤x≤2$时y的取值范围，需先明确该二次函数的图象性质：$y=x^2$开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），顶点在原点。二次函数在闭区间内的最值要么在顶点处取得，要么在区间端点处取得。首先判断对称轴是否在给定区间内，再分别计算顶点、区间端点的函数值，比较后就能得到y的最大、最小值，进而得到取值范围。
【解析】
第一步：分析二次函数$y=x^2$的基本性质
$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$，顶点是函数的最低点。
第二步：判断对称轴与给定区间的位置关系
给定x的取值范围是$-1≤x≤2$，对称轴$x=0$在该区间内，因此当$x=0$时，y取得最小值，最小值为$0^2=0$。
第三步：计算区间端点的函数值，确定最大值
当$x=-1$时，$y=(-1)^2=1$；
当$x=2$时，$y=2^2=4$；
比较1和4，可得y的最大值为4。
因此y的取值范围是$0≤y≤4$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质；2.二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题时切忌直接代入区间两个端点计算最值，要先结合开口方向、对称轴与区间的位置关系，判断最值出现的位置，避免错选B选项。
【难度系数】
0.7

14.如图,图中圆的圆心为原点$O$,半径为$2$,$C_1$是函数$y=x^2$的图象,$C_2$是函数$y=-x^2$的图象,则阴影部分的面积是.

14.2π

【分析】
本题可利用图形的对称性求解不规则阴影面积。首先观察到二次函数$y=x^2$与$y=-x^2$的图象关于$x$轴对称，且圆心在原点的圆也关于$x$轴对称，因此可以通过割补法，将分散的阴影部分拼接成规则的半圆，直接计算半圆面积即可得到阴影总面积，无需分别计算每块阴影的面积。
【解析】
∵ 函数$y=x^2$和$y=-x^2$的图象关于$x$轴对称，圆$O$关于$x$轴对称，
∴ 可将x轴上方的两块阴影部分通过轴对称变换，填补到x轴下方$y=-x^2$图象上方的对应空白区域，拼接后阴影部分的总面积等于圆面积的一半。
已知圆的半径$r=2$，圆的面积为$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π× 2^2=4π$，
∴ 阴影部分的面积$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}=\frac{1}{2}×4π=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题解题的关键是发现二次函数图象和圆的对称特征，通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积进行计算，避免了复杂的不规则图形面积运算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7

15.已知圆柱的高为$\frac{1}{3}$，底面半径为$r$，体积为$V$.
（$π$取3）

(1)求$V$与$r$之间的函数关系式，并在图中画出图象.
(2)根据图象，求出当$r=1$时，圆柱的体积.
(3)根据图象，求出当$r$为何值时，$V≥4$.

15.解:(1)由圆柱的体积公式,得 $V=\frac{1}{3}π r^2 \approx r^2 (r＞0)$. 图象略.
(2)当$r=1$时,$V=1$,即圆柱的体积为1.
(3)当$r≥2$时,$V≥4$.

【分析】
解题思路如下：1. 求解V与r的函数关系式：回忆圆柱体积公式“体积=底面积×高”，将已知的高、π的取值代入公式化简，同时注意底面半径r为正数，即可得到函数解析式；画图象时，该函数为二次函数$y=x^2$，仅取$r＞0$即第一象限内的部分即可。2. 求$r=1$时的体积：可直接将$r=1$代入第一问得到的函数解析式计算，也可从图象上找$r=1$对应的纵坐标值。3. 求$V≥4$时r的取值：可以将$V≥4$代入解析式转化为不等式求解，也可结合图象，找到$V=4$对应的r值，观察图象中纵坐标大于等于4的部分对应的横坐标范围即可。
【解析】
(1) 根据圆柱体积公式$V=S_{\mathrm{底}}h$，其中底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，已知高$h=\frac{1}{3}$，$π$取3，代入得：
$V=π r^2 · \frac{1}{3}=3× r^2×\frac{1}{3}=r^2$
因为底面半径为正数，所以$r＞0$，即$V$与$r$的函数关系式为$V=r^2(r＞0)$；该图象是二次函数$y=x^2$在第一象限内的部分，为开口向上的抛物线的右支，描点(0,0)、(1,1)、(2,4)等连线即可（图象略）。
(2) 将$r=1$代入$V=r^2$，得$V=1^2=1$，即此时圆柱的体积为1。
(3) 令$V≥4$，即$r^2≥4$，因为$r＞0$，对不等式两边开平方得$r≥2$，即当$r≥2$时，$V≥4$。
【答案】
(1) $V=r^2(r＞0)$，图象略；
(2) 1；
(3) $r≥2$
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题将几何体体积计算与二次函数知识结合考查，难度不大，既检验了基础公式的掌握程度，也锻炼了数形结合求解问题的能力，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.8

16. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，过点$A$作$y$轴的垂线，交抛物线于另一点$B$，点$C$，$D$在线段$AB$上，分别过点$C$，$D$作$x$轴的垂线交抛物线于$E$，$F$两点，连接$FE$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当四边形$CDFE$为正方形时，求线段$CD$的长.

16.解:(1)$∵$点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上,$∴4=4a$,解得$a=1$.$∴$抛物线的表达式为$y=x^2$.
(2)$∵$四边形$CDFE$为正方形,$∴CD// EF,CD=EC=EF$. 又$∵AB⊥y$轴,$∴EF⊥y$轴,即$EF// x$轴. 设点$E$的横坐标为$m$($m＞0$),则$EF=2m$. $∵$点$E$在抛物线上,$∴E(m,m^2)$. 又$∵AB⊥y$轴,$CE⊥x$轴,$A(2,4)$,$∴C(m,4)$. $∴EC=4-m^2$. $∵EC=EF$,$∴4-m^2=2m$. 解得$m_1=-1-\sqrt{5}$(舍去),$m_2=-1+\sqrt{5}$. $∴CD=2m=-2+2\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上一点的坐标，直接将点坐标代入$y=ax^2$，解关于$a$的一元一次方程即可得到$a$的值，从而确定抛物线表达式。
(2) 首先利用抛物线$y=x^2$关于$y$轴对称的性质，结合正方形对边平行、四边相等的性质，可知$EF$平行于$x$轴，且$CD=EF=CE$。设点$E$的横坐标为$m(m＞0)$，则$EF$的长度为$2m$，点$E$纵坐标为$m^2$，$CE$的长度为点$C$的纵坐标（即点$A$的纵坐标4）减去点$E$的纵坐标，根据$CE=EF$列方程求解，舍去不符合条件的负根，即可求出$CD$的长度。
【解析】
(1) $\because$点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
$\therefore$将$x=2,y=4$代入解析式得：$4=a×2^2$，即$4=4a$，
解得$a=1$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=x^2$。
(2) $\because$四边形$CDFE$为正方形，
$\therefore CD// EF$，且$CD=EC=EF$，
又$\because AB⊥ y$轴，$CE、DF$均垂直于$x$轴，
$\therefore EF⊥ y$轴，即$EF// x$轴，
抛物线$y=x^2$关于$y$轴对称，设点$E$的横坐标为$m(m＞0)$，则$EF=2m$，
$\because$点$E$在抛物线上，$\therefore E$点坐标为$(m,m^2)$，
$\because AB⊥ y$轴，点$C$在$AB$上，横坐标与$E$相同，$\therefore C$点坐标为$(m,4)$，
$\therefore CE=4-m^2$，
$\because EC=EF$，$\therefore 4-m^2=2m$，
整理得$m^2+2m-4=0$，
解得$m_1=-1-\sqrt{5}$（不符合$m＞0$的条件，舍去），$m_2=-1+\sqrt{5}$，
$\therefore CD=2m=2×(-1+\sqrt{5})=2\sqrt{5}-2$。
【答案】
(1) $y=x^2$
(2) $2\sqrt{5}-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，正方形的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，既考查了二次函数解析式的求解方法，又结合了正方形的性质，解题核心是利用数形结合思想，根据边长的等量关系建立方程求解，同时要注意结合实际取值范围舍去不合题意的根。
【难度系数】
0.65