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11. 对于二次函数$y=-2x^2 +4$，当$-2＜x≤1$时，$y$的取值范围是
$-4＜y≤4$
。答案
11. $-4＜y≤4$
解析
【分析】
拿到本题首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：①先判断开口方向：本题$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；②确定对称轴：该函数无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,4)$。接下来结合给定的自变量范围$-2＜x≤1$分析最值：首先对称轴$x=0$在该区间内，所以最大值就是顶点的函数值4；再看开口向下时，离对称轴越远函数值越小，比较区间端点到对称轴的距离：$x=-2$到$x=0$的距离为2，$x=1$到$x=0$的距离为1，因此$x=-2$处函数值最小，注意$x＞-2$是开区间，所以该处的函数值取不到，最终即可确定y的取值范围。
【解析】
步骤1：分析二次函数基本性质
对于二次函数$y=-2x^2 +4$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,4)$，即当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
步骤2：计算区间端点对应的函数值
当$x=-2$时，代入函数得：$y=-2×(-2)^2 +4 = -8 +4 = -4$，
∵ 自变量范围为$-2＜x$，
∴ $y＞-4$；
当$x=1$时，代入函数得：$y=-2×1^2 +4 = -2 +4 = 2$，该值大于$-4$。
步骤3：确定取值范围
结合开口向下的性质，在$-2＜x≤1$范围内，$y$的最大值为$4$（可取），最小值无限接近$-4$但取不到，因此$y$的取值范围是$-4＜y≤4$。
【答案】
$-4＜y≤4$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间取值求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的区间判断最值位置，需特别注意区间端点的开闭符号，避免因忽略端点是否可取导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
拿到本题首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：①先判断开口方向：本题$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；②确定对称轴：该函数无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,4)$。接下来结合给定的自变量范围$-2＜x≤1$分析最值：首先对称轴$x=0$在该区间内，所以最大值就是顶点的函数值4；再看开口向下时，离对称轴越远函数值越小，比较区间端点到对称轴的距离：$x=-2$到$x=0$的距离为2，$x=1$到$x=0$的距离为1，因此$x=-2$处函数值最小，注意$x＞-2$是开区间，所以该处的函数值取不到，最终即可确定y的取值范围。
【解析】
步骤1：分析二次函数基本性质
对于二次函数$y=-2x^2 +4$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,4)$，即当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
步骤2：计算区间端点对应的函数值
当$x=-2$时，代入函数得：$y=-2×(-2)^2 +4 = -8 +4 = -4$，
∵ 自变量范围为$-2＜x$，
∴ $y＞-4$；
当$x=1$时，代入函数得：$y=-2×1^2 +4 = -2 +4 = 2$，该值大于$-4$。
步骤3：确定取值范围
结合开口向下的性质，在$-2＜x≤1$范围内，$y$的最大值为$4$（可取），最小值无限接近$-4$但取不到，因此$y$的取值范围是$-4＜y≤4$。
【答案】
$-4＜y≤4$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间取值求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的区间判断最值位置，需特别注意区间端点的开闭符号，避免因忽略端点是否可取导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
12. 对于抛物线 $y=-3x^2+5$，下列说法不正确的是（
A.图象开口向下
B.当 $x＜5$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.顶点坐标为$(0,5)$
D.对称轴为 $y$ 轴
B
）A.图象开口向下
B.当 $x＜5$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.顶点坐标为$(0,5)$
D.对称轴为 $y$ 轴
答案
12. B
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确所给抛物线属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）型的二次函数，我们需要回忆这类二次函数的核心性质：开口方向由$a$的符号决定，对称轴为$y$轴（$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，增减性需结合开口方向和对称轴共同判断。接下来我们逐个验证四个选项的正误，找到说法不正确的选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-3x^2+5$，对应$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-3$，$k=5$：
1. 验证选项A：$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 验证选项D：$y=ax^2+k$型抛物线的对称轴为$x=0$，即$y$轴，D说法正确，不符合题意；
3. 验证选项C：当$x=0$时，$y=5$，因此抛物线顶点坐标为$(0,5)$，C说法正确，不符合题意；
4. 验证选项B：$\because$抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，$\therefore$当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。因此当$0＜x＜5$时，$y$随$x$的增大而减小，B说法错误，符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质、二次函数的增减性、二次函数的对称轴与顶点
【点评】
本题属于二次函数基础性质的考查，核心考点是$y=ax^2+k$型二次函数的基本特征，只要熟练掌握相关基础知识点就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先明确所给抛物线属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）型的二次函数，我们需要回忆这类二次函数的核心性质：开口方向由$a$的符号决定，对称轴为$y$轴（$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，增减性需结合开口方向和对称轴共同判断。接下来我们逐个验证四个选项的正误，找到说法不正确的选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-3x^2+5$，对应$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-3$，$k=5$：
1. 验证选项A：$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 验证选项D：$y=ax^2+k$型抛物线的对称轴为$x=0$，即$y$轴，D说法正确，不符合题意；
3. 验证选项C：当$x=0$时，$y=5$，因此抛物线顶点坐标为$(0,5)$，C说法正确，不符合题意；
4. 验证选项B：$\because$抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，$\therefore$当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。因此当$0＜x＜5$时，$y$随$x$的增大而减小，B说法错误，符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质、二次函数的增减性、二次函数的对称轴与顶点
【点评】
本题属于二次函数基础性质的考查，核心考点是$y=ax^2+k$型二次函数的基本特征，只要熟练掌握相关基础知识点就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
13. 若$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 +1$上的点，且$|x_1|＜|x_2|$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定
A
）A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定
答案
13. A
解析
【分析】
要比较抛物线上两点纵坐标的大小，可先分析抛物线的基本性质：首先由抛物线解析式确定开口方向和对称轴，开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；也可直接将两点代入解析式，通过比较横坐标平方的大小推导纵坐标的大小关系。本题中抛物线开口向上，对称轴为y轴，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，结合已知$|x_1|＜|x_2|$即可判断$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
方法一（利用二次函数性质）：
1. 由抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 +1$可知，二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 开口向上的抛物线上，点的横坐标的绝对值越大，该点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；
3. 已知$|x_1|＜|x_2|$，因此可得$y_1＜y_2$。
方法二（代数作差法）：
1. 将A、B两点代入抛物线解析式得：$y_1=\frac{1}{2}x_1^2 +1$，$y_2=\frac{1}{2}x_2^2 +1$；
2. 作差得$y_1 - y_2 = \frac{1}{2}(x_1^2 - x_2^2)$；
3. 由$|x_1|＜|x_2|$可得$x_1^2 ＜ x_2^2$，因此$x_1^2 - x_2^2 ＜ 0$，即$y_1 - y_2 ＜ 0$，故$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是掌握开口方向、对称轴与函数值变化的关系，既可以通过几何性质快速判断，也可以通过代数运算推导，是二次函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上两点纵坐标的大小，可先分析抛物线的基本性质：首先由抛物线解析式确定开口方向和对称轴，开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；也可直接将两点代入解析式，通过比较横坐标平方的大小推导纵坐标的大小关系。本题中抛物线开口向上，对称轴为y轴，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，结合已知$|x_1|＜|x_2|$即可判断$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
方法一（利用二次函数性质）：
1. 由抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 +1$可知，二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 开口向上的抛物线上，点的横坐标的绝对值越大，该点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大；
3. 已知$|x_1|＜|x_2|$，因此可得$y_1＜y_2$。
方法二（代数作差法）：
1. 将A、B两点代入抛物线解析式得：$y_1=\frac{1}{2}x_1^2 +1$，$y_2=\frac{1}{2}x_2^2 +1$；
2. 作差得$y_1 - y_2 = \frac{1}{2}(x_1^2 - x_2^2)$；
3. 由$|x_1|＜|x_2|$可得$x_1^2 ＜ x_2^2$，因此$x_1^2 - x_2^2 ＜ 0$，即$y_1 - y_2 ＜ 0$，故$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是掌握开口方向、对称轴与函数值变化的关系，既可以通过几何性质快速判断，也可以通过代数运算推导，是二次函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
14.二次函数$y=ax^2+b$的图象如图所示，则一次函数$y=ax+b$的图象可能是（
C
）答案
14. C
解析
【分析】
解题时先从已知二次函数图象中推导系数a、b的符号，再结合一次函数的图象性质判断对应图象：①首先观察二次函数开口方向，开口向下可推出a＜0；②再看二次函数与y轴的交点位置，交点在y轴正半轴可推出b＞0；③最后根据一次函数中a决定直线倾斜方向、b决定直线与y轴交点位置的性质，匹配符合条件的选项即可。
【解析】
解：由二次函数$y=ax^2+b$的图象可得：
1. 抛物线开口向下，因此二次项系数$\boldsymbol{a＜0}$；
2. 抛物线顶点（与y轴交点）在y轴正半轴，因此常数项$\boldsymbol{b＞0}$。
对于一次函数$y=ax+b$：
因为$a＜0$，所以直线斜率为负，呈左上向右下倾斜的趋势，经过第二、四象限；
因为$b＞0$，所以直线与y轴交于正半轴，因此直线还经过第一象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于函数图象的基础判断题，核心是掌握不同函数的系数和图象特征的对应关系，解题时先由已知函数推导系数符号，再推导未知函数的图象特征即可，是函数部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知二次函数图象中推导系数a、b的符号，再结合一次函数的图象性质判断对应图象：①首先观察二次函数开口方向，开口向下可推出a＜0；②再看二次函数与y轴的交点位置，交点在y轴正半轴可推出b＞0；③最后根据一次函数中a决定直线倾斜方向、b决定直线与y轴交点位置的性质，匹配符合条件的选项即可。
【解析】
解：由二次函数$y=ax^2+b$的图象可得：
1. 抛物线开口向下，因此二次项系数$\boldsymbol{a＜0}$；
2. 抛物线顶点（与y轴交点）在y轴正半轴，因此常数项$\boldsymbol{b＞0}$。
对于一次函数$y=ax+b$：
因为$a＜0$，所以直线斜率为负，呈左上向右下倾斜的趋势，经过第二、四象限；
因为$b＞0$，所以直线与y轴交于正半轴，因此直线还经过第一象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于函数图象的基础判断题，核心是掌握不同函数的系数和图象特征的对应关系，解题时先由已知函数推导系数符号，再推导未知函数的图象特征即可，是函数部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
15. A教材经典结论 已知二次函数：① $y = ax^2$，② $y=bx^2$，③ $y = cx^2$，④ $y=dx^2$，其函数图象如
所示. 比较$a,b,c,d$的大小：
所示. 比较$a,b,c,d$的大小：$a＞b＞d＞c$
（用“＞”连接）。答案
15. $a＞b＞d＞c$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：首先可通过开口方向判断$a$的正负，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$，由此先将4个系数分为正、负两组，正数一定大于负数；再根据“$|a|$越大，抛物线开口越窄”的规律，分别比较两个正数、两个负数的大小，其中负数比较要注意“绝对值大的数反而小”，最后整合得到四者的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=kx^2$（$k≠0$）：
1. 开口方向与系数的关系：当$k＞0$时，抛物线开口向上；当$k＜0$时，抛物线开口向下。
由图可知，图象①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；图象③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$，可得$a、b$均大于$c、d$。
2. 开口大小与系数的关系：$\left|k\right|$越大，抛物线的开口越窄。
观察上方开口向上的图象：①的开口比②更窄，因此$\left|a\right|＞\left|b\right|$，结合$a、b$均为正数，可得$a＞b＞0$。
观察下方开口向下的图象：③的开口比④更窄，因此$\left|c\right|＞\left|d\right|$，结合$c、d$均为负数，根据负数比较大小的规则：绝对值大的数更小，可得$d＞c$。
综上，四者的大小关系为$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；有理数大小比较；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础常考题，核心考查二次项系数对抛物线开口方向、开口大小的影响，解题时要特别注意开口向下时系数为负，比较负数大小时需结合绝对值的性质判断，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：首先可通过开口方向判断$a$的正负，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$，由此先将4个系数分为正、负两组，正数一定大于负数；再根据“$|a|$越大，抛物线开口越窄”的规律，分别比较两个正数、两个负数的大小，其中负数比较要注意“绝对值大的数反而小”，最后整合得到四者的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=kx^2$（$k≠0$）：
1. 开口方向与系数的关系：当$k＞0$时，抛物线开口向上；当$k＜0$时，抛物线开口向下。
由图可知，图象①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；图象③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$，可得$a、b$均大于$c、d$。
2. 开口大小与系数的关系：$\left|k\right|$越大，抛物线的开口越窄。
观察上方开口向上的图象：①的开口比②更窄，因此$\left|a\right|＞\left|b\right|$，结合$a、b$均为正数，可得$a＞b＞0$。
观察下方开口向下的图象：③的开口比④更窄，因此$\left|c\right|＞\left|d\right|$，结合$c、d$均为负数，根据负数比较大小的规则：绝对值大的数更小，可得$d＞c$。
综上，四者的大小关系为$a＞b＞d＞c$。
【答案】
$a＞b＞d＞c$
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；有理数大小比较；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础常考题，核心考查二次项系数对抛物线开口方向、开口大小的影响，解题时要特别注意开口向下时系数为负，比较负数大小时需结合绝对值的性质判断，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
16.如图,抛物线$y=-x^2+4$与x轴交于A,B两点,点A的坐标为$(-2,0)$,抛物线与y轴交于点C,四边形ABCD是平行四边形.
(1)直接写出B,C两点的坐标.
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的表达式.
(1)直接写出B,C两点的坐标.
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的表达式.
答案
16. 解:(1)$B(2,0),C(0,4)$.(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$AB=4,C(0,4),\therefore CD=AB=4,CD// AB. \therefore D(-4,4)$.设平移后抛物线的表达式为$y=-x^2+4+m$,则$4=-(-4)^2+4+m$,解得$m=16$.$\therefore$平移后抛物线的表达式为$y=-x^2+20$.
解析
【分析】
(1)求抛物线与坐标轴交点坐标，与x轴交点令y=0解方程即可，由于抛物线$y=-x^2+4$的对称轴是y轴，也可利用对称性直接得到B点坐标；与y轴交点令x=0代入解析式即可求出C点坐标。
(2)首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，先求出AB的长度，结合CD与AB平行且相等，推出D点的坐标；再根据抛物线上下平移时二次项系数不变，仅常数项改变的规律，设出平移后的解析式，将D点坐标代入求解参数，即可得到平移后抛物线的表达式。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=-x^2+4$，
令$y=0$，则$-x^2+4=0$，解得$x=\pm2$，已知点A坐标为$(-2,0)$，故$B(2,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故$C(0,4)$。
(2) $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，且$CD// AB$。
由$A(-2,0)$、$B(2,0)$得$AB=2-(-2)=4$，
$\therefore CD=4$，又$CD// AB$（AB在x轴上，故CD平行于x轴），$\therefore$D点纵坐标与C点相同为4，C点横坐标为0，点D在左侧，$\therefore$D点横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移$m$个单位后抛物线的表达式为$y=-x^2+4+m$，
将$D(-4,4)$代入得：$4=-(-4)^2+4+m$，
解得$m=16$，
$\therefore$平移后抛物线的表达式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1)$B(2,0)$，$C(0,4)$；(2)$y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；平行四边形的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数基础性质和平行四边形性质结合考查，解题关键是熟练掌握二次函数相关基础规律、平行四边形的性质，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1)求抛物线与坐标轴交点坐标，与x轴交点令y=0解方程即可，由于抛物线$y=-x^2+4$的对称轴是y轴，也可利用对称性直接得到B点坐标；与y轴交点令x=0代入解析式即可求出C点坐标。
(2)首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，先求出AB的长度，结合CD与AB平行且相等，推出D点的坐标；再根据抛物线上下平移时二次项系数不变，仅常数项改变的规律，设出平移后的解析式，将D点坐标代入求解参数，即可得到平移后抛物线的表达式。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=-x^2+4$，
令$y=0$，则$-x^2+4=0$，解得$x=\pm2$，已知点A坐标为$(-2,0)$，故$B(2,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故$C(0,4)$。
(2) $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，且$CD// AB$。
由$A(-2,0)$、$B(2,0)$得$AB=2-(-2)=4$，
$\therefore CD=4$，又$CD// AB$（AB在x轴上，故CD平行于x轴），$\therefore$D点纵坐标与C点相同为4，C点横坐标为0，点D在左侧，$\therefore$D点横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
设向上平移$m$个单位后抛物线的表达式为$y=-x^2+4+m$，
将$D(-4,4)$代入得：$4=-(-4)^2+4+m$，
解得$m=16$，
$\therefore$平移后抛物线的表达式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1)$B(2,0)$，$C(0,4)$；(2)$y=-x^2+20$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；平行四边形的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数基础性质和平行四边形性质结合考查，解题关键是熟练掌握二次函数相关基础规律、平行四边形的性质，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
17.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为(1,1),(1,4),(4,4).若抛物线$y=ax^2$与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是
$\frac{1}{16}≤a≤4$
.答案
17. $\frac{1}{16}≤a≤4$
解析
【分析】
首先根据正方形已知顶点坐标推出第四个顶点D的坐标；再结合二次函数$y=ax^2$的性质：$a＞0$时开口向上，$a$越大开口越窄、$a$越小开口越宽，要使抛物线与正方形有公共点，需找到两个临界状态：抛物线刚好经过正方形的左上顶点B时$a$取最大值，刚好经过正方形的右下顶点D时$a$取最小值，分别代入计算即可得到$a$的取值范围。
【解析】
步骤1：求D点坐标
∵四边形ABCD是正方形，$A(1,1)$、$B(1,4)$、$C(4,4)$，
∴AD平行于x轴，CD平行于y轴，可得D点坐标为$(4,1)$。
步骤2：分析临界情况求$a$的最值
抛物线$y=ax^2$顶点在原点，与第一象限的正方形有交点则$a＞0$：
①当抛物线经过$B(1,4)$时，$a$取最大值，代入解析式得：
$4=a×1^2$，解得$a=4$；
②当抛物线经过$D(4,1)$时，$a$取最小值，代入解析式得：
$1=a×4^2$，解得$a=\frac{1}{16}$。
步骤3：确定$a$的取值范围
结合二次函数开口大小与$a$的关系，可得当$\frac{1}{16}≤a≤4$时，抛物线与正方形ABCD有公共点。
【答案】
$\frac{1}{16}≤a≤4$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；正方形的性质；函数图象交点
【点评】
本题考查二次函数图象的性质应用，解题关键是准确找到抛物线与正方形相交的两个临界位置，通过代入特殊点坐标计算参数范围，是二次函数与几何图形结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形已知顶点坐标推出第四个顶点D的坐标；再结合二次函数$y=ax^2$的性质：$a＞0$时开口向上，$a$越大开口越窄、$a$越小开口越宽，要使抛物线与正方形有公共点，需找到两个临界状态：抛物线刚好经过正方形的左上顶点B时$a$取最大值，刚好经过正方形的右下顶点D时$a$取最小值，分别代入计算即可得到$a$的取值范围。
【解析】
步骤1：求D点坐标
∵四边形ABCD是正方形，$A(1,1)$、$B(1,4)$、$C(4,4)$，
∴AD平行于x轴，CD平行于y轴，可得D点坐标为$(4,1)$。
步骤2：分析临界情况求$a$的最值
抛物线$y=ax^2$顶点在原点，与第一象限的正方形有交点则$a＞0$：
①当抛物线经过$B(1,4)$时，$a$取最大值，代入解析式得：
$4=a×1^2$，解得$a=4$；
②当抛物线经过$D(4,1)$时，$a$取最小值，代入解析式得：
$1=a×4^2$，解得$a=\frac{1}{16}$。
步骤3：确定$a$的取值范围
结合二次函数开口大小与$a$的关系，可得当$\frac{1}{16}≤a≤4$时，抛物线与正方形ABCD有公共点。
【答案】
$\frac{1}{16}≤a≤4$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；正方形的性质；函数图象交点
【点评】
本题考查二次函数图象的性质应用，解题关键是准确找到抛物线与正方形相交的两个临界位置，通过代入特殊点坐标计算参数范围，是二次函数与几何图形结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
