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1. 填一填。
一条水渠长900m，一队单独挖，12天能挖完；二队单独挖，10天能挖完。如果两队合挖，几天可以挖完？
（1）欣欣通过估算认为：一队单独挖这条水渠的$\frac{1}{2}$，需要$12÷2=6$（天）；二队单独挖这条水渠的$\frac{1}{2}$，需要$10÷2=5$（天）。两队合挖，挖完用时在（
（2）康康这样计算：一队每天挖（
（3）聪聪这样计算：假设这条水渠的长度是“1”，一队每天挖这条水渠的（
一条水渠长900m，一队单独挖，12天能挖完；二队单独挖，10天能挖完。如果两队合挖，几天可以挖完？
（1）欣欣通过估算认为：一队单独挖这条水渠的$\frac{1}{2}$，需要$12÷2=6$（天）；二队单独挖这条水渠的$\frac{1}{2}$，需要$10÷2=5$（天）。两队合挖，挖完用时在（
5
）天和（6
）天之间。（2）康康这样计算：一队每天挖（
75
）m，二队每天挖（90
）m，两队合挖，每天一共挖（165
）m，（$\frac{60}{11}$
）天可以挖完。（3）聪聪这样计算：假设这条水渠的长度是“1”，一队每天挖这条水渠的（
$\frac{1}{12}$
），二队每天挖这条水渠的（$\frac{1}{10}$
），两队合挖，每天一共挖这条水渠的（$\frac{11}{60}$
），（$\frac{60}{11}$
）天可以挖完。答案
1. (1)5 6 (2)75 90 165 $\frac{60}{11}$ (3)$\frac{1}{12}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{11}{60}$ $\frac{60}{11}$
解析
【分析】
这道题围绕工程问题的基础解法设置了三个层级的问题：
(1) 估算合作时间时，可对比两队单独完成一半工作量的时间：合作效率比效率高的二队单独低、比效率低的一队单独高，因此用时会大于二队单独挖一半的5天，小于一队单独挖一半的6天，就能得出时间范围。
(2) 用具体长度计算时，先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出两队每天挖的长度，相加得到两队合作每天挖的总长度，再用总长度除以合作每天的工作量，即可求出合挖需要的天数。
(3) 用单位“1”解法时，把水渠总长度看作单位“1”，分别用1除以两队单独挖完的天数，得到两队每天挖的占总长度的分率（即工作效率），相加得到合作的工作效率，最后用1除以合作工作效率，就得到合挖的总天数。
【解析】
(1) 二队单独挖一半需5天，一队单独挖一半需6天，两队合作的效率介于两队单独效率之间，因此用时在5天和6天之间。
(2) 一队每天挖的长度：$900÷12=75$（m）
二队每天挖的长度：$900÷10=90$（m）
两队每天一共挖的长度：$75+90=165$（m）
合挖需要的时间：$900÷165=\frac{60}{11}$（天）
(3) 把水渠总长度看作单位“1”，
一队每天挖的分率：$1÷12=\frac{1}{12}$
二队每天挖的分率：$1÷10=\frac{1}{10}$
两队合作每天挖的分率：$\frac{1}{12}+\frac{1}{10}=\frac{5}{60}+\frac{6}{60}=\frac{11}{60}$
合挖需要的时间：$1÷\frac{11}{60}=\frac{60}{11}$（天）
【答案】
(1)5 6 (2)75 90 165 $\frac{60}{11}$ (3)$\frac{1}{12}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{11}{60}$ $\frac{60}{11}$
【知识点】
工程问题基本公式，单位“1”的应用，分数四则运算
【点评】
本题从估算、具体量计算、抽象分率计算三个角度考察工程问题的核心解法，能帮助学生多角度理解工程问题的解题逻辑，夯实基础。
【难度系数】
0.7
这道题围绕工程问题的基础解法设置了三个层级的问题：
(1) 估算合作时间时，可对比两队单独完成一半工作量的时间：合作效率比效率高的二队单独低、比效率低的一队单独高，因此用时会大于二队单独挖一半的5天，小于一队单独挖一半的6天，就能得出时间范围。
(2) 用具体长度计算时，先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出两队每天挖的长度，相加得到两队合作每天挖的总长度，再用总长度除以合作每天的工作量，即可求出合挖需要的天数。
(3) 用单位“1”解法时，把水渠总长度看作单位“1”，分别用1除以两队单独挖完的天数，得到两队每天挖的占总长度的分率（即工作效率），相加得到合作的工作效率，最后用1除以合作工作效率，就得到合挖的总天数。
【解析】
(1) 二队单独挖一半需5天，一队单独挖一半需6天，两队合作的效率介于两队单独效率之间，因此用时在5天和6天之间。
(2) 一队每天挖的长度：$900÷12=75$（m）
二队每天挖的长度：$900÷10=90$（m）
两队每天一共挖的长度：$75+90=165$（m）
合挖需要的时间：$900÷165=\frac{60}{11}$（天）
(3) 把水渠总长度看作单位“1”，
一队每天挖的分率：$1÷12=\frac{1}{12}$
二队每天挖的分率：$1÷10=\frac{1}{10}$
两队合作每天挖的分率：$\frac{1}{12}+\frac{1}{10}=\frac{5}{60}+\frac{6}{60}=\frac{11}{60}$
合挖需要的时间：$1÷\frac{11}{60}=\frac{60}{11}$（天）
【答案】
(1)5 6 (2)75 90 165 $\frac{60}{11}$ (3)$\frac{1}{12}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{11}{60}$ $\frac{60}{11}$
【知识点】
工程问题基本公式，单位“1”的应用，分数四则运算
【点评】
本题从估算、具体量计算、抽象分率计算三个角度考察工程问题的核心解法，能帮助学生多角度理解工程问题的解题逻辑，夯实基础。
【难度系数】
0.7
2.有一份稿件，李阿姨单独录入电脑，8小时能完成；王阿姨单独录入电脑，10小时能完成。两人合作，几小时能录入这份稿件的$\frac{9}{10}$？
答案
$\frac{9}{10}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})=4$(时)
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时先把这份稿件的总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出李阿姨和王阿姨的工作效率，两人合作的工作效率就是两人效率之和，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率和”，用需要完成的工作量$\frac{9}{10}$除以两人的效率和，就能求出所需的合作时间。
【解析】
首先将这份稿件的总工作量看作单位“1”：
李阿姨的工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
王阿姨的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
两人合作的工作效率和：$\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{9}{40}$
完成$\frac{9}{10}$工作量所需时间：
$\frac{9}{10}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})=\frac{9}{10}÷\frac{9}{40}=4$（时）
【答案】
4时
【知识点】
工程问题，分数四则运算，工作量效率时间关系
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题核心是先将总工作量看作单位“1”求出单人工作效率，再结合工作时间、工作总量、工作效率三者的关系列式计算即可，熟练掌握基础公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时先把这份稿件的总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出李阿姨和王阿姨的工作效率，两人合作的工作效率就是两人效率之和，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率和”，用需要完成的工作量$\frac{9}{10}$除以两人的效率和，就能求出所需的合作时间。
【解析】
首先将这份稿件的总工作量看作单位“1”：
李阿姨的工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
王阿姨的工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
两人合作的工作效率和：$\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{9}{40}$
完成$\frac{9}{10}$工作量所需时间：
$\frac{9}{10}÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})=\frac{9}{10}÷\frac{9}{40}=4$（时）
【答案】
4时
【知识点】
工程问题，分数四则运算，工作量效率时间关系
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题核心是先将总工作量看作单位“1”求出单人工作效率，再结合工作时间、工作总量、工作效率三者的关系列式计算即可，熟练掌握基础公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 一批陶瓷摆件，由一名熟练工做20天能完成，一名学徒每天完成的工作量是熟练工的$\frac{1}{3}$。现在由1名熟练工和2名学徒一起做，多少天可以做完这批陶瓷摆件？
答案
$1÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}×\frac{1}{3}×2)=12$(天)
解析
【分析】
这是典型的工程类问题，解题时先把这批陶瓷摆件的总工作量看作单位“1”。第一步，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，先算出1名熟练工的工作效率；第二步，结合学徒工作效率和熟练工的关系，算出1名学徒的工作效率，再乘2得到2名学徒的总效率；第三步，把熟练工和2名学徒的效率相加，得到合作的总效率；最后根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”，就能算出合作需要的天数。
【解析】
把总工作量看作单位“1”。
1. 熟练工的工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
2. 1名学徒的工作效率：$\frac{1}{20}×\frac{1}{3}=\frac{1}{60}$
3. 2名学徒的总工作效率：$\frac{1}{60}×2=\frac{1}{30}$
4. 1名熟练工和2名学徒合作的总效率：$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}$
5. 合作需要的时间：$1÷\frac{1}{12}=12$（天）
列综合算式为：$1÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}×\frac{1}{3}×2)=12$（天）
【答案】
12天
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作效率计算
【点评】
本题属于合作类工程基础题，解题核心是先明确单位“1”，再准确计算各个主体的工作效率，最终结合工作总量、工作效率、工作时间三者的关系即可求解，能够很好地考察对基础公式的掌握和分数计算能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类问题，解题时先把这批陶瓷摆件的总工作量看作单位“1”。第一步，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，先算出1名熟练工的工作效率；第二步，结合学徒工作效率和熟练工的关系，算出1名学徒的工作效率，再乘2得到2名学徒的总效率；第三步，把熟练工和2名学徒的效率相加，得到合作的总效率；最后根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”，就能算出合作需要的天数。
【解析】
把总工作量看作单位“1”。
1. 熟练工的工作效率：$1÷20=\frac{1}{20}$
2. 1名学徒的工作效率：$\frac{1}{20}×\frac{1}{3}=\frac{1}{60}$
3. 2名学徒的总工作效率：$\frac{1}{60}×2=\frac{1}{30}$
4. 1名熟练工和2名学徒合作的总效率：$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}$
5. 合作需要的时间：$1÷\frac{1}{12}=12$（天）
列综合算式为：$1÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}×\frac{1}{3}×2)=12$（天）
【答案】
12天
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作效率计算
【点评】
本题属于合作类工程基础题，解题核心是先明确单位“1”，再准确计算各个主体的工作效率，最终结合工作总量、工作效率、工作时间三者的关系即可求解，能够很好地考察对基础公式的掌握和分数计算能力。
【难度系数】
0.7
一项任务，甲队、乙队、丙队单独完成的时间如下图。先由甲、丙两队合作2天后，乙队加入，三队合作完成。完成这项任务一共需要几天？
答案
$(\frac{1}{6}+\frac{1}{12})×2=\frac{1}{2}$
$(1-\frac{1}{2})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12})=\frac{10}{7}$(天)
$2+\frac{10}{7}=\frac{24}{7}$(天)
$(1-\frac{1}{2})÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12})=\frac{10}{7}$(天)
$2+\frac{10}{7}=\frac{24}{7}$(天)
解析
【分析】
这是工程问题类题目，解题首先要把总工作量看作单位“1”：第一步先从条形统计图中读取三个队单独完成任务的时间，根据“工作效率=1÷单独完成时间”求出各队的工作效率；第二步计算甲、丙两队合作2天完成的工作量，用总工作量减去这部分得到剩余工作量；第三步计算三队合作的工作效率之和，用剩余工作量除以三队效率和得到三队合作的时间；最后把甲丙先合作的2天加上三队合作的时间，就是完成任务的总时间。
【解析】
解：将这项任务的总工作量看作单位“1”。
由统计图可得：甲队单独完成需6天，工作效率为$\frac{1}{6}$；乙队单独完成需10天，工作效率为$\frac{1}{10}$；丙队单独完成需12天，工作效率为$\frac{1}{12}$。
1. 计算甲、丙两队合作2天的工作量：
$(\frac{1}{6}+\frac{1}{12})×2=\frac{1}{2}$
2. 计算剩余工作量：
$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
3. 计算三队合作完成剩余工作量的时间：
三队效率和：$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}=\frac{7}{20}$
所需时间：$\frac{1}{2}÷\frac{7}{20}=\frac{10}{7}$（天）
4. 计算总时间：
$2+\frac{10}{7}=\frac{24}{7}$（天）
【答案】
$\frac{24}{7}$天
【知识点】
工程问题、条形统计图、分数四则混合运算
【点评】
本题需要先从统计图中提取各队单独工作的时间，再结合工程问题的基本数量关系求解，计算时要注意分数通分的准确性，不要遗漏前2天的合作时间。
【难度系数】
0.7
这是工程问题类题目，解题首先要把总工作量看作单位“1”：第一步先从条形统计图中读取三个队单独完成任务的时间，根据“工作效率=1÷单独完成时间”求出各队的工作效率；第二步计算甲、丙两队合作2天完成的工作量，用总工作量减去这部分得到剩余工作量；第三步计算三队合作的工作效率之和，用剩余工作量除以三队效率和得到三队合作的时间；最后把甲丙先合作的2天加上三队合作的时间，就是完成任务的总时间。
【解析】
解：将这项任务的总工作量看作单位“1”。
由统计图可得：甲队单独完成需6天，工作效率为$\frac{1}{6}$；乙队单独完成需10天，工作效率为$\frac{1}{10}$；丙队单独完成需12天，工作效率为$\frac{1}{12}$。
1. 计算甲、丙两队合作2天的工作量：
$(\frac{1}{6}+\frac{1}{12})×2=\frac{1}{2}$
2. 计算剩余工作量：
$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
3. 计算三队合作完成剩余工作量的时间：
三队效率和：$\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}=\frac{7}{20}$
所需时间：$\frac{1}{2}÷\frac{7}{20}=\frac{10}{7}$（天）
4. 计算总时间：
$2+\frac{10}{7}=\frac{24}{7}$（天）
【答案】
$\frac{24}{7}$天
【知识点】
工程问题、条形统计图、分数四则混合运算
【点评】
本题需要先从统计图中提取各队单独工作的时间，再结合工程问题的基本数量关系求解，计算时要注意分数通分的准确性，不要遗漏前2天的合作时间。
【难度系数】
0.7
