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1.一个水池，单独开甲进水管，5小时能注满水；单独开乙进水管，8小时能注满水。甲、乙两个进水管同时开，几小时能注满水？
答案
1. $1÷(\frac{1}{5}+\frac{1}{8})=\frac{40}{13}$(时)
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时我们通常把水池的总容水量看作单位“1”。首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出甲、乙两个进水管的工作效率：甲每小时注水量是总容量的$\frac{1}{5}$，乙每小时注水量是总容量的$\frac{1}{8}$。两个水管同时开时，总工作效率是两者效率之和，最后根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”即可求出共同注满水池需要的时间。
【解析】
把满池水的总量看作单位“1”。
甲进水管的工作效率：$1÷5=\frac{1}{5}$
乙进水管的工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
甲、乙同时开的总工作效率：$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8}{40}+\frac{5}{40}=\frac{13}{40}$
注满水池需要的时间：$1÷\frac{13}{40}=\frac{40}{13}$（时）
【答案】
$\frac{40}{13}$时
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数四则混合运算
【点评】
本题是工程问题的基础应用，核心是掌握将未知工作总量设为单位“1”的解题方法，牢记工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时我们通常把水池的总容水量看作单位“1”。首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出甲、乙两个进水管的工作效率：甲每小时注水量是总容量的$\frac{1}{5}$，乙每小时注水量是总容量的$\frac{1}{8}$。两个水管同时开时，总工作效率是两者效率之和，最后根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”即可求出共同注满水池需要的时间。
【解析】
把满池水的总量看作单位“1”。
甲进水管的工作效率：$1÷5=\frac{1}{5}$
乙进水管的工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
甲、乙同时开的总工作效率：$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8}{40}+\frac{5}{40}=\frac{13}{40}$
注满水池需要的时间：$1÷\frac{13}{40}=\frac{40}{13}$（时）
【答案】
$\frac{40}{13}$时
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数四则混合运算
【点评】
本题是工程问题的基础应用，核心是掌握将未知工作总量设为单位“1”的解题方法，牢记工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两地相距240km，王叔叔开车从甲地到乙地需要3小时，李阿姨开车从乙地到甲地需要4小时。两人同时出发，相向而行，几小时后相遇？（用两种方法计算）
答案
2. 方法一：$240÷3=80$(千米/时) $240÷4=60$(千米/时)
$240÷(80+60)=\frac{12}{7}$(时)
方法二：$1÷(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{12}{7}$(时)
$240÷(80+60)=\frac{12}{7}$(时)
方法二：$1÷(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{12}{7}$(时)
解析
【分析】
这是一道行程中的相遇问题，解题核心是“相遇时间=总路程÷速度和”，可通过两种思路求解：
思路1：先求出两人各自的实际行驶速度，再计算速度和，最后用总路程除以速度和得到相遇时间；
思路2：把甲、乙两地的总路程看作单位“1”，分别计算两人每小时行驶的路程占总路程的分率，用单位“1”除以两人的分率和即可得到相遇时间，这种方法不需要计算具体速度，计算更简便。
【解析】
方法一：利用实际速度计算
第一步：先求王叔叔的行驶速度：$240÷3=80$(千米/时)
第二步：再求李阿姨的行驶速度：$240÷4=60$(千米/时)
第三步：两人相向而行，速度和为$80+60$，用总路程除以速度和得到相遇时间：
$240÷(80+60)=\frac{12}{7}$(时)
方法二：将总路程看作单位“1”计算
第一步：王叔叔走完全程需3小时，每小时行全程的$\frac{1}{3}$；李阿姨走完全程需4小时，每小时行全程的$\frac{1}{4}$
第二步：两人每小时一共行全程的$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，用单位“1”除以分率和得到相遇时间：
$1÷(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{12}{7}$(时)
【答案】
$\frac{12}{7}$小时
【知识点】
1. 相遇问题计算
2. 单位“1”的应用
3. 分数四则运算
【点评】
本题是相遇问题的经典题型，既可以用常规的路程、速度、时间的数量关系求解，也可以结合单位“1”的思想，用工程问题的解题思路简化计算，能够帮助学生灵活掌握不同的解题方法，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道行程中的相遇问题，解题核心是“相遇时间=总路程÷速度和”，可通过两种思路求解：
思路1：先求出两人各自的实际行驶速度，再计算速度和，最后用总路程除以速度和得到相遇时间；
思路2：把甲、乙两地的总路程看作单位“1”，分别计算两人每小时行驶的路程占总路程的分率，用单位“1”除以两人的分率和即可得到相遇时间，这种方法不需要计算具体速度，计算更简便。
【解析】
方法一：利用实际速度计算
第一步：先求王叔叔的行驶速度：$240÷3=80$(千米/时)
第二步：再求李阿姨的行驶速度：$240÷4=60$(千米/时)
第三步：两人相向而行，速度和为$80+60$，用总路程除以速度和得到相遇时间：
$240÷(80+60)=\frac{12}{7}$(时)
方法二：将总路程看作单位“1”计算
第一步：王叔叔走完全程需3小时，每小时行全程的$\frac{1}{3}$；李阿姨走完全程需4小时，每小时行全程的$\frac{1}{4}$
第二步：两人每小时一共行全程的$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，用单位“1”除以分率和得到相遇时间：
$1÷(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{12}{7}$(时)
【答案】
$\frac{12}{7}$小时
【知识点】
1. 相遇问题计算
2. 单位“1”的应用
3. 分数四则运算
【点评】
本题是相遇问题的经典题型，既可以用常规的路程、速度、时间的数量关系求解，也可以结合单位“1”的思想，用工程问题的解题思路简化计算，能够帮助学生灵活掌握不同的解题方法，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
3.一块农田需要施肥，甲无人机单独施，3小时能完成；乙无人机单独施，4.5小时能完成。
甲、乙两架无人机一起施肥1.5小时，共完成4公顷。这块农田一共有多少公顷？
甲、乙两架无人机一起施肥1.5小时，共完成4公顷。这块农田一共有多少公顷？
答案
3. $4.5=\frac{9}{2}$ $(\frac{1}{3}+\frac{2}{9})×1.5=\frac{5}{6}$ $4÷\frac{5}{6}=4.8$(公顷)
解析
【分析】
这是工程类分数应用题，解题时先把整块农田的施肥总面积看作单位“1”，首先分别求出甲、乙无人机的工作效率（每小时完成总工作量的几分之几），再计算两架无人机合作1.5小时完成的工作量占总工作量的分率，这个分率对应的实际施肥面积是4公顷，最后用“对应量÷对应分率”即可求出单位“1”的量，也就是农田的总面积。
【解析】
1. 先把乙的工作时间转化为分数，方便计算：$4.5=\frac{9}{2}$
2. 计算甲、乙的工作效率：
甲每小时完成总工作量的：$1÷3=\frac{1}{3}$
乙每小时完成总工作量的：$1÷\frac{9}{2}=\frac{2}{9}$
3. 计算两架无人机合作1.5小时完成总工作量的分率：
$\begin{split}&(\frac{1}{3}+\frac{2}{9})×1.5\\=&\frac{5}{9}×\frac{3}{2}\\=&\frac{5}{6}\end{split}$
4. 已知总工作量的$\frac{5}{6}$对应4公顷，求总公顷数：
$4÷\frac{5}{6}=4.8$（公顷）
【答案】
4.8公顷
【知识点】
工程问题、分数四则运算、单位“1”的应用
【点评】
本题将工程问题与分数应用题结合考查，解题核心是找准实际量对应的分率，熟练掌握工作效率、工作时间、工作总量三者的关系，以及单位“1”的求解方法，就能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.6
这是工程类分数应用题，解题时先把整块农田的施肥总面积看作单位“1”，首先分别求出甲、乙无人机的工作效率（每小时完成总工作量的几分之几），再计算两架无人机合作1.5小时完成的工作量占总工作量的分率，这个分率对应的实际施肥面积是4公顷，最后用“对应量÷对应分率”即可求出单位“1”的量，也就是农田的总面积。
【解析】
1. 先把乙的工作时间转化为分数，方便计算：$4.5=\frac{9}{2}$
2. 计算甲、乙的工作效率：
甲每小时完成总工作量的：$1÷3=\frac{1}{3}$
乙每小时完成总工作量的：$1÷\frac{9}{2}=\frac{2}{9}$
3. 计算两架无人机合作1.5小时完成总工作量的分率：
$\begin{split}&(\frac{1}{3}+\frac{2}{9})×1.5\\=&\frac{5}{9}×\frac{3}{2}\\=&\frac{5}{6}\end{split}$
4. 已知总工作量的$\frac{5}{6}$对应4公顷，求总公顷数：
$4÷\frac{5}{6}=4.8$（公顷）
【答案】
4.8公顷
【知识点】
工程问题、分数四则运算、单位“1”的应用
【点评】
本题将工程问题与分数应用题结合考查，解题核心是找准实际量对应的分率，熟练掌握工作效率、工作时间、工作总量三者的关系，以及单位“1”的求解方法，就能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.6
4.康康购买了一个书包和一个文具袋，共花费75元，其中文具袋的价格是书包的$\frac{1}{4}$。一个书包和一个文具袋各多少元？
答案
4. 书包：$75÷(1+\frac{1}{4})=60$(元) 文具袋：$75-60=15$(元)
解析
【分析】
这是分数和倍类实际应用题，解题首先要确定单位“1”：题目中“文具袋的价格是书包的$\frac{1}{4}$”，是把书包的价格看作单位“1”，则文具袋价格对应的分率为$\frac{1}{4}$，总花费75元对应的分率就是两者分率之和$1+\frac{1}{4}$。已知对应总金额和对应分率，求单位“1”（书包价格）用除法计算，算出书包价格后，用总花费减去书包价格就能得到文具袋的价格。
【解析】
解：把书包的价格看作单位“1”。
1. 计算总花费对应的分率：
$1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
2. 计算书包的价格：
$75÷\frac{5}{4}=75×\frac{4}{5}=60$（元）
3. 计算文具袋的价格：
$75-60=15$（元）
【答案】
一个书包60元，一个文具袋15元。
【知识点】
分数除法应用、单位“1”判定、量率对应
【点评】
本题属于基础的分数实际应用题，解题核心是找准单位“1”，明确总数量对应的分率，熟练运用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”这一公式即可求解。
【难度系数】
0.8
这是分数和倍类实际应用题，解题首先要确定单位“1”：题目中“文具袋的价格是书包的$\frac{1}{4}$”，是把书包的价格看作单位“1”，则文具袋价格对应的分率为$\frac{1}{4}$，总花费75元对应的分率就是两者分率之和$1+\frac{1}{4}$。已知对应总金额和对应分率，求单位“1”（书包价格）用除法计算，算出书包价格后，用总花费减去书包价格就能得到文具袋的价格。
【解析】
解：把书包的价格看作单位“1”。
1. 计算总花费对应的分率：
$1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
2. 计算书包的价格：
$75÷\frac{5}{4}=75×\frac{4}{5}=60$（元）
3. 计算文具袋的价格：
$75-60=15$（元）
【答案】
一个书包60元，一个文具袋15元。
【知识点】
分数除法应用、单位“1”判定、量率对应
【点评】
本题属于基础的分数实际应用题，解题核心是找准单位“1”，明确总数量对应的分率，熟练运用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”这一公式即可求解。
【难度系数】
0.8
一个果园的果树需要修剪，吴师傅单独完成需要6小时，王师傅单独完成需要10小时。两人共同修剪一段时间后王师傅请假离开，结果修剪完这些果树一共用了4小时。王师傅请假多长时间？
答案
$4-(1-\frac{1}{6}×4)÷\frac{1}{10}=\frac{2}{3}$(时)
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时先把修剪果树的总工作量看作单位“1”。首先明确吴师傅全程没有离岗，一共工作了4小时，我们可以先算出吴师傅4小时完成的工作量，剩下的工作量就是王师傅完成的；再根据王师傅的工作效率算出王师傅实际工作的时长；最后用总用时4小时减去王师傅实际工作的时长，就能得到王师傅请假的时间。
【解析】
把修剪果树的总工作量看作单位“1”：
1. 吴师傅每小时的工作效率为$\frac{1}{6}$，王师傅每小时的工作效率为$\frac{1}{10}$。
2. 吴师傅4小时完成的工作量：$\frac{1}{6}×4=\frac{2}{3}$
3. 剩余由王师傅完成的工作量：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
4. 王师傅实际工作的时间：$\frac{1}{3}÷\frac{1}{10}=\frac{10}{3}$（时）
5. 王师傅的请假时长：$4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}$（时）
列综合算式计算：
$4-(1-\frac{1}{6}×4)÷\frac{1}{10}$
$=4-(1-\frac{2}{3})÷\frac{1}{10}$
$=4-\frac{1}{3}×10$
$=4-\frac{10}{3}$
$=\frac{2}{3}$（时）
【答案】
$\frac{2}{3}$时
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算
【点评】
本题是工程问题的常见考法，核心是把总工作量看作单位“1”，找准始终在岗人员的工作量，结合工作效率、工作时间、工作量三者的关系逐步推导即可，解题时要注意区分总时长和实际工作时长，避免混淆数量关系。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时先把修剪果树的总工作量看作单位“1”。首先明确吴师傅全程没有离岗，一共工作了4小时，我们可以先算出吴师傅4小时完成的工作量，剩下的工作量就是王师傅完成的；再根据王师傅的工作效率算出王师傅实际工作的时长；最后用总用时4小时减去王师傅实际工作的时长，就能得到王师傅请假的时间。
【解析】
把修剪果树的总工作量看作单位“1”：
1. 吴师傅每小时的工作效率为$\frac{1}{6}$，王师傅每小时的工作效率为$\frac{1}{10}$。
2. 吴师傅4小时完成的工作量：$\frac{1}{6}×4=\frac{2}{3}$
3. 剩余由王师傅完成的工作量：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
4. 王师傅实际工作的时间：$\frac{1}{3}÷\frac{1}{10}=\frac{10}{3}$（时）
5. 王师傅的请假时长：$4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}$（时）
列综合算式计算：
$4-(1-\frac{1}{6}×4)÷\frac{1}{10}$
$=4-(1-\frac{2}{3})÷\frac{1}{10}$
$=4-\frac{1}{3}×10$
$=4-\frac{10}{3}$
$=\frac{2}{3}$（时）
【答案】
$\frac{2}{3}$时
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算
【点评】
本题是工程问题的常见考法，核心是把总工作量看作单位“1”，找准始终在岗人员的工作量，结合工作效率、工作时间、工作量三者的关系逐步推导即可，解题时要注意区分总时长和实际工作时长，避免混淆数量关系。
【难度系数】
0.7
