10.数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质.
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，当B'C'经过点D时，连接DD'，线段DD'的长为.
(2)如图②，菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB'C'D'的位置，B'C'与CD共线，AB'与BC交于点E，C'D'与AD交于点F，延长BC，D'C'交于点M.判断四边形AEMF的形状，并说明理由.

10.(1)√10
(2)四边形AEMF是菱形.理由如下:
∵ 菱形ABCD绕点A旋转,B'C'与CD共线,
∴ AD//BM,AB'//D'M,AB=AD=AD',∠B=∠D=∠D',∠BAD=∠B'AD'.
∴ 四边形AEMF是平行四边形,
∠BAD-∠B'AD=∠B'AD'-∠B'AD,
即∠BAE=∠D'AF.
在△BAE和△D'AF中,
$\begin{cases}∠B=∠D',\\AB=AD',\\∠BAE=∠D'AF,\end{cases}$
∴ △BAE≌△D'AF(ASA).
∴ AE=AF.
∴ 四边形AEMF是菱形.

【分析】
(1) 解第一问需先利用旋转的性质得到相等的边和角：矩形旋转后对应边相等、对应角仍为直角，先在Rt△AB'D中用勾股定理求出B'D的长度，再作辅助线构造直角三角形，结合角度的三角函数值求出DD'对应的直角边长度，最后用勾股定理计算DD'即可。
(2) 解第二问首先根据两组对边分别平行判定四边形AEMF是平行四边形，再通过证明△BAE和△D'AF全等得到一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D'
∴AB'=AB=3，B'C'=BC=AD=5，∠B'=∠BAD=∠B'AD'=90°，AD'=AD=5
在Rt△AB'D中，由勾股定理得：
$B'D=\sqrt{AD^2-AB'^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
过点D'作$D'H⊥AD$于点H，
∵$∠B'AD + ∠ADB'=90°$，$∠B'AD + ∠DAD'=∠B'AD'=90°$
∴$∠DAD'=∠ADB'$
∴$cos∠DAD'=cos∠ADB'=\frac{B'D}{AD}=\frac{4}{5}$，$sin∠DAD'=sin∠ADB'=\frac{AB'}{AD}=\frac{3}{5}$
在Rt△AD'H中：
$AH=AD'· cos∠DAD'=5×\frac{4}{5}=4$，$D'H=AD'· sin∠DAD'=5×\frac{3}{5}=3$
∴$HD=AD-AH=5-4=1$
在Rt△D'HD中，由勾股定理得：
$DD'=\sqrt{D'H^2+HD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
(2) 解：四边形AEMF是菱形，理由如下：
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AB'C'D'，且B'C'与CD共线，
∴$AD// BM$，$AB'// D'M$，$AB=AD=AD'$，$∠B=∠D=∠D'$，$∠BAD=∠B'AD'$
∴四边形AEMF是平行四边形
∵$∠BAD-∠B'AD=∠B'AD'-∠B'AD$
∴$∠BAE=∠D'AF$
在△BAE和△D'AF中：
$\begin{cases}∠B=∠D' \\AB=AD' \\∠BAE=∠D'AF\end{cases}$
∴$△ BAE≌△ D'AF(ASA)$
∴$AE=AF$
∴平行四边形AEMF是菱形
【答案】
(1)$\sqrt{10}$；(2)四边形AEMF是菱形，理由见解析
【知识点】
旋转的性质；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题将旋转与特殊四边形的知识结合考查，解题的关键是抓住旋转前后图形的对应边、对应角相等的性质，结合特殊四边形的判定定理求解，第一问需要通过作辅助线构造直角三角形简化计算，第二问需要利用全等三角形证明线段相等，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6