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章知识导图
三角形中的
边角关系、
命题与证明
三角形的分类
按边分
不等边三角形
等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特例)
按角分
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的
边角关系
边的关系
三角形中任意两边的和①
三角形中任意两边的差②
角的关系
内角和定理:三角形的内角和等于$180°$
推论
(1)直角三角形的两锐角互余
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形
(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(4)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
命题
命题
可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 命题通常由③
④
真命题:条件成立,结论一定成立
假命题:条件成立,结论不一定成立
互逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论正好是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫作互逆命题
反例 符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例
重难点突破
三角形中的
边角关系、
命题与证明
三角形的分类
按边分
不等边三角形
等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特例)
按角分
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的
边角关系
边的关系
三角形中任意两边的和①
大于
第三边三角形中任意两边的差②
小于
第三边角的关系
内角和定理:三角形的内角和等于$180°$
推论
(1)直角三角形的两锐角互余
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形
(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(4)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
命题
命题
可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 命题通常由③
条件
和④
结论
两部分组成真命题:条件成立,结论一定成立
假命题:条件成立,结论不一定成立
互逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论正好是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫作互逆命题
反例 符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例
重难点突破
答案
①大于 ②小于 ③条件 ④结论
解析
【分析】
这道题是对三角形边角关系、命题相关基础概念的考查，解题时只需回忆对应课本基础知识点即可：先回忆三角形三边的关系规律，再回忆命题的组成结构，就能依次填出空缺内容。
【解析】
1. 求解①②：根据三角形三边的基本性质，若要构成三角形，任意两边的和必须大于第三边，否则三条边无法首尾相接形成封闭图形，因此①处填“大于”；由“两边之和大于第三边”可推导得出，三角形任意两边的差小于第三边，因此②处填“小于”。
2. 求解③④：命题是可以判断真假的陈述句，在结构上通常由两部分组成，分别是已知的前提条件和由条件推导得出的结论，因此③处填“条件”，④处填“结论”。
【答案】
①大于 ②小于 ③条件 ④结论
【知识点】
三角形三边关系、命题的构成、三角形角的性质
【点评】
本题属于基础概念梳理题，考查的都是本章核心的基础识记内容，熟练掌握教材中的基础定义、性质即可快速作答，是后续解决三角形相关证明、计算类问题的基础。
【难度系数】
0.9
这道题是对三角形边角关系、命题相关基础概念的考查，解题时只需回忆对应课本基础知识点即可：先回忆三角形三边的关系规律，再回忆命题的组成结构，就能依次填出空缺内容。
【解析】
1. 求解①②：根据三角形三边的基本性质，若要构成三角形，任意两边的和必须大于第三边，否则三条边无法首尾相接形成封闭图形，因此①处填“大于”；由“两边之和大于第三边”可推导得出，三角形任意两边的差小于第三边，因此②处填“小于”。
2. 求解③④：命题是可以判断真假的陈述句，在结构上通常由两部分组成，分别是已知的前提条件和由条件推导得出的结论，因此③处填“条件”，④处填“结论”。
【答案】
①大于 ②小于 ③条件 ④结论
【知识点】
三角形三边关系、命题的构成、三角形角的性质
【点评】
本题属于基础概念梳理题，考查的都是本章核心的基础识记内容，熟练掌握教材中的基础定义、性质即可快速作答，是后续解决三角形相关证明、计算类问题的基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列长度(单位:cm)的三条线段能组成三角形的是 (
A.1,3,5
B.2,4,6
C.3,4,5
D.1,1.5,2.5
C
)A.1,3,5
B.2,4,6
C.3,4,5
D.1,1.5,2.5
答案
1.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，可直接将两条较短线段的长度之和与最长线段的长度比较，若和大于最长线段，则能组成三角形，反之则不能，接下来按这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：三条线段长为1，3，5，较短两边之和为1+3=4，4＜5，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项：三条线段长为2，4，6，较短两边之和为2+4=6，6=6，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能组成三角形；
C选项：三条线段长为3，4，5，较短两边之和为3+4=7，7＞5，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：三条线段长为1，1.5，2.5，较短两边之和为1+1.5=2.5，2.5=2.5，不满足要求，不能组成三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，采用“较短两边之和与最长边比较”的判断技巧可以快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，可直接将两条较短线段的长度之和与最长线段的长度比较，若和大于最长线段，则能组成三角形，反之则不能，接下来按这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：三条线段长为1，3，5，较短两边之和为1+3=4，4＜5，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项：三条线段长为2，4，6，较短两边之和为2+4=6，6=6，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能组成三角形；
C选项：三条线段长为3，4，5，较短两边之和为3+4=7，7＞5，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：三条线段长为1，1.5，2.5，较短两边之和为1+1.5=2.5，2.5=2.5，不满足要求，不能组成三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，采用“较短两边之和与最长边比较”的判断技巧可以快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
2. 已知三角形的三边长分别为1，a－1，3，则整数a为
4
。答案
2.4
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长1和3，列出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再结合a是整数的限定条件，就能得到a的取值。
【解析】
根据三角形三边关系，需同时满足以下不等式：
1. 较短两边之和大于最长边：$\begin{cases}1+(a-1)＞3 \\1+3＞a-1 \end{cases}$
解第一个不等式：$1+a-1＞3$，得$a＞3$
解第二个不等式：$4＞a-1$，得$a＜5$
第三个不等式$(a-1)+3＞1$显然恒成立，无需额外考虑
综上可得a的取值范围为$3＜a＜5$
∵a为整数
∴$a=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系，一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是基础应用类题型，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的使用规则，求出a的取值范围后要注意结合题目给出的整数限定筛选最终结果，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长1和3，列出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再结合a是整数的限定条件，就能得到a的取值。
【解析】
根据三角形三边关系，需同时满足以下不等式：
1. 较短两边之和大于最长边：$\begin{cases}1+(a-1)＞3 \\1+3＞a-1 \end{cases}$
解第一个不等式：$1+a-1＞3$，得$a＞3$
解第二个不等式：$4＞a-1$，得$a＜5$
第三个不等式$(a-1)+3＞1$显然恒成立，无需额外考虑
综上可得a的取值范围为$3＜a＜5$
∵a为整数
∴$a=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系，一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是基础应用类题型，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的使用规则，求出a的取值范围后要注意结合题目给出的整数限定筛选最终结果，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.8
3. [易错题]如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,连接BG并延长,交AC于点E.过点C作CF⊥AD,交AD于点H,交AB于点F.下列结论正确的是 (
A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的中线
C.CH是△ACD的高
D.AD是△ACF的角平分线和高
C
)A.AD是△ABE的角平分线
B.BE是△ABD的中线
C.CH是△ACD的高
D.AD是△ACF的角平分线和高
答案
3.C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先需明确三角形角平分线、中线、高的定义：①角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，要求线段两端分别是三角形顶点和对边上的点，且平分对应内角；②中线：连接三角形顶点和对边中点的线段，要求线段另一端是对边中点；③高：从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段，要求垂足在对边上。接下来结合已知条件逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：AD的端点D在BC边上，不在△ABE的边BE上，因此AD不是△ABE的线段，不可能是△ABE的角平分线，A错误。
选项B：BE的端点E在AC边上，不是△ABD的边AD的中点（已知G是AD中点），因此BE不是△ABD的中线，B错误。
选项C：CH是从△ACD的顶点C出发，向对边AD作的垂线段，垂足H在AD上，完全符合三角形高的定义，C正确。
选项D：AD的端点D在BC边上，不在△ACF的边CF上，因此AD不是△ACF的线段，仅线段AH是△ACF的角平分线和高，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题易错点是容易忽略三角形的三类线段的端点都必须在三角形的顶点或对应边上，错选D选项，解题时要紧扣定义判断线段是否属于对应三角形，再验证性质是否符合。
【难度系数】
0.6
要判断各选项的正误，首先需明确三角形角平分线、中线、高的定义：①角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，要求线段两端分别是三角形顶点和对边上的点，且平分对应内角；②中线：连接三角形顶点和对边中点的线段，要求线段另一端是对边中点；③高：从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段，要求垂足在对边上。接下来结合已知条件逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：AD的端点D在BC边上，不在△ABE的边BE上，因此AD不是△ABE的线段，不可能是△ABE的角平分线，A错误。
选项B：BE的端点E在AC边上，不是△ABD的边AD的中点（已知G是AD中点），因此BE不是△ABD的中线，B错误。
选项C：CH是从△ACD的顶点C出发，向对边AD作的垂线段，垂足H在AD上，完全符合三角形高的定义，C正确。
选项D：AD的端点D在BC边上，不在△ACF的边CF上，因此AD不是△ACF的线段，仅线段AH是△ACF的角平分线和高，D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题易错点是容易忽略三角形的三类线段的端点都必须在三角形的顶点或对应边上，错选D选项，解题时要紧扣定义判断线段是否属于对应三角形，再验证性质是否符合。
【难度系数】
0.6
4.[2024·阜阳界首期末]如图,在$△ ABC$中,$AD$,$AE$分别是边$BC$上的中线和高,$AE=3$,$S_{△ ABD}=6$,则$CD$的长是
4
.答案
4.4
解析
【分析】
解题时先利用三角形面积公式，已知△ABD的面积和高AE，可求出底边BD的长度；再根据三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，可得CD=BD，即可求出CD的长。
【解析】
∵AE是△ABC的高，
∴AE是△ABD中BD边上的高，
已知AE=3，$S_{△ ABD}=6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}× BD× AE=6$
代入AE=3，得$\frac{1}{2}× BD×3=6$，
解得$BD=4$。
又
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，即$CD=BD$，
∴$CD=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质、三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题，核心是结合三角形中线性质与面积公式求解，解题的关键是明确△ABD的高与△ABC的高AE相等，牢记中线平分对边的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形面积公式，已知△ABD的面积和高AE，可求出底边BD的长度；再根据三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，可得CD=BD，即可求出CD的长。
【解析】
∵AE是△ABC的高，
∴AE是△ABD中BD边上的高，
已知AE=3，$S_{△ ABD}=6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}× BD× AE=6$
代入AE=3，得$\frac{1}{2}× BD×3=6$，
解得$BD=4$。
又
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，即$CD=BD$，
∴$CD=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质、三角形面积公式
【点评】
本题属于基础题，核心是结合三角形中线性质与面积公式求解，解题的关键是明确△ABD的高与△ABC的高AE相等，牢记中线平分对边的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
