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5.如图，$△ ABC$三边的中线$AD$，$BE$，$CF$的交点为$G$，且$AG:GD=2:1$.若$S_{△ ABC}=12$，则图中阴影部分的面积为
4
.答案
5.4
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等（等底同高）的部分，先得到被中线分割的大三角形面积；再结合题目给出的AG:GD=2:1，利用“同高的两个三角形面积比等于底的比”，计算出△ABG、△ACG的面积；最后再次利用中线性质，得到阴影部分两个小三角形分别是所在三角形面积的一半，相加即可得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三边中线
∴D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点
① 中线AD将△ABC分为等底同高的△ABD和△ACD，因此：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$
② 已知$AG:GD=2:1$，△ABG和△GBD同高，底的比为$AG:GD=2:1$，因此面积比也为2:1：
$S_{△ ABG}=\frac{2}{2+1}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×6=4$
同理可得$S_{△ ACG}=4$
③
∵F是AB中点，△BFG和△AFG等底同高，因此：
$S_{△ BFG}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}=\frac{1}{2}×4=2$
同理，E是AC中点，可得：
$S_{△ CGE}=\frac{1}{2}S_{△ ACG}=\frac{1}{2}×4=2$
④ 阴影部分面积为两个阴影三角形面积之和：
$S_{阴影}=S_{△ BFG}+S_{△ CGE}=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；比例求面积
【点评】
本题核心是利用等底同高的三角形面积相等、同高三角形面积比等于底的比这两个规律，结合中线和已知线段比例推导各部分面积，解题时要注意逐步拆分三角形，理清面积之间的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等（等底同高）的部分，先得到被中线分割的大三角形面积；再结合题目给出的AG:GD=2:1，利用“同高的两个三角形面积比等于底的比”，计算出△ABG、△ACG的面积；最后再次利用中线性质，得到阴影部分两个小三角形分别是所在三角形面积的一半，相加即可得到阴影总面积。
【解析】
解：
∵AD、BE、CF是△ABC的三边中线
∴D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点
① 中线AD将△ABC分为等底同高的△ABD和△ACD，因此：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$
② 已知$AG:GD=2:1$，△ABG和△GBD同高，底的比为$AG:GD=2:1$，因此面积比也为2:1：
$S_{△ ABG}=\frac{2}{2+1}S_{△ ABD}=\frac{2}{3}×6=4$
同理可得$S_{△ ACG}=4$
③
∵F是AB中点，△BFG和△AFG等底同高，因此：
$S_{△ BFG}=\frac{1}{2}S_{△ ABG}=\frac{1}{2}×4=2$
同理，E是AC中点，可得：
$S_{△ CGE}=\frac{1}{2}S_{△ ACG}=\frac{1}{2}×4=2$
④ 阴影部分面积为两个阴影三角形面积之和：
$S_{阴影}=S_{△ BFG}+S_{△ CGE}=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；比例求面积
【点评】
本题核心是利用等底同高的三角形面积相等、同高三角形面积比等于底的比这两个规律，结合中线和已知线段比例推导各部分面积，解题时要注意逐步拆分三角形，理清面积之间的比例关系。
【难度系数】
0.7
6.【证明】如图,已知$∠A=∠C,AB// CD$.求证:$BC// AD$.请补全证明过程.
证明:$\because AB// CD$,(已知)
$\therefore ∠ABE=∠C.$(
$\because ∠A=∠C$,(已知)
$\therefore ∠ABE=$
$\therefore BC// AD.$(
【延伸】若前提“$∠A=∠C$”不变,将题设“$AB// CD$”与结论“$BC// AD$”调换,命题是真命题还是假命题?如果是真命题,写出证明过程;如果是假命题,举出反例.
【拓展】已知有三个条件:①$∠A=∠C$;②$AB// CD$;③$BC// AD$.从这三个条件中选出两个作为题设,另一个作为结论组成一个命题,能组成多少个真命题?
证明:$\because AB// CD$,(已知)
$\therefore ∠ABE=∠C.$(
两直线平行,同位角相等
)$\because ∠A=∠C$,(已知)
$\therefore ∠ABE=$
$∠A$
,(等量代换)$\therefore BC// AD.$(
内错角相等,两直线平行
)【延伸】若前提“$∠A=∠C$”不变,将题设“$AB// CD$”与结论“$BC// AD$”调换,命题是真命题还是假命题?如果是真命题,写出证明过程;如果是假命题,举出反例.
【拓展】已知有三个条件:①$∠A=∠C$;②$AB// CD$;③$BC// AD$.从这三个条件中选出两个作为题设,另一个作为结论组成一个命题,能组成多少个真命题?
答案
【证明】两直线平行,同位角相等;∠A;内错角相等,两直线平行
【延伸】真命题.证明过程如下：
$\because BC// AD,\therefore ∠ ABE=∠ A.$
$\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ ABE=∠ C,\therefore AB// CD.$
【拓展】根据题意可知,①②作为题设,③作为结论,为真命题；①③作为题设,②作为结论,为真命题；②③作为题设,①作为结论,为真命题.
综上所述,能组成3个真命题.
【延伸】真命题.证明过程如下：
$\because BC// AD,\therefore ∠ ABE=∠ A.$
$\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ ABE=∠ C,\therefore AB// CD.$
【拓展】根据题意可知,①②作为题设,③作为结论,为真命题；①③作为题设,②作为结论,为真命题；②③作为题设,①作为结论,为真命题.
综上所述,能组成3个真命题.
解析
【分析】
这道题围绕平行线的性质、判定及命题相关知识展开，解题思路如下：1. 证明部分：先根据已知的AB//CD，利用平行线的性质得到对应角相等，再结合∠A=∠C做等量代换，得到判定BC//AD所需的角的关系，最后用平行线判定定理完成证明。2. 延伸部分：调换题设和结论后，先从新题设BC//AD出发，用平行线性质得到角相等，结合∠A=∠C代换出判定AB//CD的角的关系，即可验证命题为真。3. 拓展部分：将三个条件两两组合作为题设，剩余一个作为结论，共3种组合，分别用平行线的性质和判定逐一验证均成立，即可得到真命题的数量。
【解析】
证明部分
$\because AB// CD$,(已知)
$\therefore ∠ABE=∠C.$(两直线平行，同位角相等)
$\because ∠A=∠C$,(已知)
$\therefore ∠ABE=∠A$,(等量代换)
$\therefore BC// AD.$(内错角相等，两直线平行)
延伸部分
调换后为真命题，证明如下：
$\because BC// AD$，
$\therefore ∠ABE=∠A$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠A=∠C$（已知），
$\therefore ∠ABE=∠C$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。
拓展部分
三个条件两两作为题设，剩余一个作为结论，共有3种组合：
1. 题设①②，结论③：为真命题，即原题证明结论；
2. 题设①③，结论②：为真命题，即延伸部分证明结论；
3. 题设②③，结论①：为真命题，证明：$\because AB//CD$，$\therefore ∠ABE=∠C$；$\because BC//AD$，$\therefore ∠ABE=∠A$，$\therefore ∠A=∠C$。
因此共可组成3个真命题。
【答案】
【证明】两直线平行,同位角相等;∠A;内错角相等,两直线平行
【延伸】真命题.证明：$\because BC// AD,\therefore ∠ ABE=∠ A.$ $\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ ABE=∠ C,\therefore AB// CD.$
【拓展】能组成3个真命题。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；命题真假判断
【点评】
本题是几何基础类典型习题，核心考查平行线性质与判定的综合应用，需要熟练掌握平行线性质和判定定理，灵活通过角的等量代换完成二者的转换，同时要明确命题的组成，能够通过逻辑推理判断命题的真假。
【难度系数】
0.7
这道题围绕平行线的性质、判定及命题相关知识展开，解题思路如下：1. 证明部分：先根据已知的AB//CD，利用平行线的性质得到对应角相等，再结合∠A=∠C做等量代换，得到判定BC//AD所需的角的关系，最后用平行线判定定理完成证明。2. 延伸部分：调换题设和结论后，先从新题设BC//AD出发，用平行线性质得到角相等，结合∠A=∠C代换出判定AB//CD的角的关系，即可验证命题为真。3. 拓展部分：将三个条件两两组合作为题设，剩余一个作为结论，共3种组合，分别用平行线的性质和判定逐一验证均成立，即可得到真命题的数量。
【解析】
证明部分
$\because AB// CD$,(已知)
$\therefore ∠ABE=∠C.$(两直线平行，同位角相等)
$\because ∠A=∠C$,(已知)
$\therefore ∠ABE=∠A$,(等量代换)
$\therefore BC// AD.$(内错角相等，两直线平行)
延伸部分
调换后为真命题，证明如下：
$\because BC// AD$，
$\therefore ∠ABE=∠A$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠A=∠C$（已知），
$\therefore ∠ABE=∠C$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。
拓展部分
三个条件两两作为题设，剩余一个作为结论，共有3种组合：
1. 题设①②，结论③：为真命题，即原题证明结论；
2. 题设①③，结论②：为真命题，即延伸部分证明结论；
3. 题设②③，结论①：为真命题，证明：$\because AB//CD$，$\therefore ∠ABE=∠C$；$\because BC//AD$，$\therefore ∠ABE=∠A$，$\therefore ∠A=∠C$。
因此共可组成3个真命题。
【答案】
【证明】两直线平行,同位角相等;∠A;内错角相等,两直线平行
【延伸】真命题.证明：$\because BC// AD,\therefore ∠ ABE=∠ A.$ $\because ∠ A=∠ C,\therefore ∠ ABE=∠ C,\therefore AB// CD.$
【拓展】能组成3个真命题。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；命题真假判断
【点评】
本题是几何基础类典型习题，核心考查平行线性质与判定的综合应用，需要熟练掌握平行线性质和判定定理，灵活通过角的等量代换完成二者的转换，同时要明确命题的组成，能够通过逻辑推理判断命题的真假。
【难度系数】
0.7
7. [2024·亳州期中]如图，在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处.若∠1=20°，则∠2的度数为
$110°$
.答案
7.$110°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠C的度数；第二步，根据折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，即∠C'=∠C、∠CED=∠C'ED、∠CDE=∠C'DE；第三步，结合平角的定义和已知∠1的度数，求出∠CED的度数，再在△CDE中利用内角和定理求出∠CDE的度数；第四步，根据平角的定义，结合∠CDE和∠C'DE的度数，即可算出∠2的度数。
【解析】
1. 求∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-65°-70°=45°$
2. 根据折叠性质得对应角相等：
将∠C沿DE对折后点C落在$C'$处，因此$∠ C'=∠ C=45°$，$∠ CED=∠ C'ED$，$∠ CDE=∠ C'DE$
3. 求∠CED的度数：
由平角定义可知，$∠ CED+∠ C'ED-∠1=180°$，代入$∠1=20°$得：
$2∠ CED=180°+20°=200°$，因此$∠ CED=100°$
4. 求∠CDE的度数：
在△CDE中，根据三角形内角和定理：
$∠ CDE=180°-∠ C-∠ CED=180°-45°-100°=35°$，因此$∠ C'DE=∠ CDE=35°$
5. 求∠2的度数：
根据平角定义，$∠2+∠ CDE+∠ C'DE=180°$，代入得：
$∠2=180°-35°-35°=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是折叠性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合三角形内角和、平角的性质逐步推导角度，需要注意折叠后重叠角的数量关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，利用三角形内角和为180°，先求出△ABC中∠C的度数；第二步，根据折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，即∠C'=∠C、∠CED=∠C'ED、∠CDE=∠C'DE；第三步，结合平角的定义和已知∠1的度数，求出∠CED的度数，再在△CDE中利用内角和定理求出∠CDE的度数；第四步，根据平角的定义，结合∠CDE和∠C'DE的度数，即可算出∠2的度数。
【解析】
1. 求∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-65°-70°=45°$
2. 根据折叠性质得对应角相等：
将∠C沿DE对折后点C落在$C'$处，因此$∠ C'=∠ C=45°$，$∠ CED=∠ C'ED$，$∠ CDE=∠ C'DE$
3. 求∠CED的度数：
由平角定义可知，$∠ CED+∠ C'ED-∠1=180°$，代入$∠1=20°$得：
$2∠ CED=180°+20°=200°$，因此$∠ CED=100°$
4. 求∠CDE的度数：
在△CDE中，根据三角形内角和定理：
$∠ CDE=180°-∠ C-∠ CED=180°-45°-100°=35°$，因此$∠ C'DE=∠ CDE=35°$
5. 求∠2的度数：
根据平角定义，$∠2+∠ CDE+∠ C'DE=180°$，代入得：
$∠2=180°-35°-35°=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是折叠性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合三角形内角和、平角的性质逐步推导角度，需要注意折叠后重叠角的数量关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.65
8.[新课标—探究题]【问题情景】如图,在同一平面内,点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM,PN上,点A与点P在直线BC的同侧.若点P在△ABC内部,试问:∠ABP,∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系?
【特殊探究】(1)若∠A=55°,则∠ABC+∠ACB=
【类比探索】(2)请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系,并说明理由.
【类比延伸】(3)改变点A的位置,使点P在△ABC外,其他条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立.若成立,请说明理由;若不成立,请写出∠ABP,∠ACP与∠A满足的数量关系式.
备用图
【特殊探究】(1)若∠A=55°,则∠ABC+∠ACB=
125
°,∠PBC+∠PCB=90
°,∠ABP+∠ACP=35
°.【类比探索】(2)请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系,并说明理由.
【类比延伸】(3)改变点A的位置,使点P在△ABC外,其他条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立.若成立,请说明理由;若不成立,请写出∠ABP,∠ACP与∠A满足的数量关系式.
备用图
答案
8.(1)125;90;35
(2)猜想:$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$.理由略.
(3)(2)中的结论不成立.分3种情况：
①
,结论:$∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$.②
,结论:$∠ A+∠ ABP-∠ ACP=90°$.③
,结论:$∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$.解析
【分析】
（1）本问利用三角形内角和定理逐步计算即可：首先在△ABC中，由内角和为180°可求出∠ABC+∠ACB的度数；再结合直角三角板的直角∠P=90°，在△PBC中求出∠PBC+∠PCB的度数；最后将∠ABP、∠ACP转化为对应角的差，求和即可得到结果。
（2）将（1）中的特殊角度推广为一般的∠A，沿用（1）的推导思路，结合两个三角形的内角和关系整理，即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的普遍数量关系。
（3）当点P在△ABC外时，点A的位置不同会导致角的和差关系发生变化，需要结合三种不同的图形情况，利用三角形内角和或角的和差关系推导新的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-55°=125°$；
已知直角三角板PMN中$∠ P=90°$，在△PBC中：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ P=180°-90°=90°$；
因为$∠ ABP=∠ ABC-∠ PBC$，$∠ ACP=∠ ACB-∠ PCB$，所以：
$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=125°-90°=35°$。
(2) 猜想：$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
理由：在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$；在Rt△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB=90°$；
因此$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC-∠ PBC)+(∠ ACB-∠ PCB)=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A-90°=90°-∠ A$，猜想成立。
(3) （2）中的结论不成立，分3种情况：
①对应，通过三角形内角和、对顶角相等整理可得$∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$；
②对应，通过角的和差、三角形内角和整理可得$∠ A+∠ ABP-∠ ACP=90°$；
③对应，通过角的和差关系整理可得$∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$。
【答案】
(1) $125$；$90$；$35$
(2) 猜想:$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$，理由见解析。
(3) (2)中的结论不成立。分3种情况：
①,结论:$∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$。
②,结论:$∠ A+∠ ABP-∠ ACP=90°$。
③,结论:$∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$。
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的探究类题型，从特殊值推导普遍规律，再延伸到不同位置的分类讨论，既考查了三角形内角和的基础应用，也锻炼了图形分析和逻辑推理能力，解题时需结合图形分析角的组成关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）本问利用三角形内角和定理逐步计算即可：首先在△ABC中，由内角和为180°可求出∠ABC+∠ACB的度数；再结合直角三角板的直角∠P=90°，在△PBC中求出∠PBC+∠PCB的度数；最后将∠ABP、∠ACP转化为对应角的差，求和即可得到结果。
（2）将（1）中的特殊角度推广为一般的∠A，沿用（1）的推导思路，结合两个三角形的内角和关系整理，即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的普遍数量关系。
（3）当点P在△ABC外时，点A的位置不同会导致角的和差关系发生变化，需要结合三种不同的图形情况，利用三角形内角和或角的和差关系推导新的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-55°=125°$；
已知直角三角板PMN中$∠ P=90°$，在△PBC中：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ P=180°-90°=90°$；
因为$∠ ABP=∠ ABC-∠ PBC$，$∠ ACP=∠ ACB-∠ PCB$，所以：
$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=125°-90°=35°$。
(2) 猜想：$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
理由：在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$；在Rt△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB=90°$；
因此$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC-∠ PBC)+(∠ ACB-∠ PCB)=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A-90°=90°-∠ A$，猜想成立。
(3) （2）中的结论不成立，分3种情况：
①对应
，通过三角形内角和、对顶角相等整理可得$∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$；②对应
，通过角的和差、三角形内角和整理可得$∠ A+∠ ABP-∠ ACP=90°$；③对应
，通过角的和差关系整理可得$∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$。【答案】
(1) $125$；$90$；$35$
(2) 猜想:$∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$，理由见解析。
(3) (2)中的结论不成立。分3种情况：
①
,结论:$∠ A+∠ ACP-∠ ABP=90°$。②
,结论:$∠ A+∠ ABP-∠ ACP=90°$。③
,结论:$∠ A-∠ ABP-∠ ACP=90°$。【知识点】
三角形内角和定理；角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的探究类题型，从特殊值推导普遍规律，再延伸到不同位置的分类讨论，既考查了三角形内角和的基础应用，也锻炼了图形分析和逻辑推理能力，解题时需结合图形分析角的组成关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
