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1.[2021·安徽第5题]将两个直角三角板如图摆放，其中$∠ BAC=∠ EDF=90°$，$∠ E=45°$，$∠ C=30°$，AB与DF交于点M。若$BC// EF$，则$∠ BMD$的大小为（
A.$60°$
B.$67.5°$
C.$75°$
D.$82.5°$
C
）A.$60°$
B.$67.5°$
C.$75°$
D.$82.5°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据直角三角形两锐角互余的性质，分别求出△ABC中∠B的度数和△DEF中∠F的度数；再利用BC//EF的平行线性质，得到∠F与∠MDB的等量关系；最后在△BMD中，利用三角形内角和定理即可求出∠BMD的大小。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=90°-∠C=90°-30°=60°，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，
∴∠F=90°-∠E=90°-45°=45°，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45°（两直线平行，内错角相等），
在△BMD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-60°-45°=75°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题核心是通过平行线传递角的等量关系，结合三角形的相关性质计算未知角，难度不大，是几何角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据直角三角形两锐角互余的性质，分别求出△ABC中∠B的度数和△DEF中∠F的度数；再利用BC//EF的平行线性质，得到∠F与∠MDB的等量关系；最后在△BMD中，利用三角形内角和定理即可求出∠BMD的大小。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=90°-∠C=90°-30°=60°，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，
∴∠F=90°-∠E=90°-45°=45°，
∵BC//EF，
∴∠MDB=∠F=45°（两直线平行，内错角相等），
在△BMD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-60°-45°=75°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题核心是通过平行线传递角的等量关系，结合三角形的相关性质计算未知角，难度不大，是几何角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
真题再变式
将一副三角板如图放置，其中$∠ A=∠ DCF=90°$，$∠ B=45°$，$∠ CFD=30°$.若$BC// DF$，则$∠ ACF$的度数为 （
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
将一副三角板如图放置，其中$∠ A=∠ DCF=90°$，$∠ B=45°$，$∠ CFD=30°$.若$BC// DF$，则$∠ ACF$的度数为 （
B
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合三角板的特征求出∠ACB的度数，再利用平行线的性质求出∠BCF的度数，最后通过角的和差关系计算∠ACF的度数即可。首先，等腰直角三角板ABC中已知两个锐角，可直接用三角形内角和求出∠ACB；再根据BC//DF，利用两直线平行内错角相等的性质，得到∠BCF和已知的∠CFD相等，最后用∠ACB减去∠BCF就得到所求角度。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，
根据三角形内角和为180°，可得$∠ ACB=180°-90°-45°=45°$，
∵$BC// DF$，$∠ CFD=30°$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ BCF=∠ CFD=30°$，
∴$∠ ACF=∠ ACB-∠ BCF=45°-30°=15°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，结合了常用三角板的固定角度特征，核心考查平行线的性质应用，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，理清所求角与已知角的和差逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时先结合三角板的特征求出∠ACB的度数，再利用平行线的性质求出∠BCF的度数，最后通过角的和差关系计算∠ACF的度数即可。首先，等腰直角三角板ABC中已知两个锐角，可直接用三角形内角和求出∠ACB；再根据BC//DF，利用两直线平行内错角相等的性质，得到∠BCF和已知的∠CFD相等，最后用∠ACB减去∠BCF就得到所求角度。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，
根据三角形内角和为180°，可得$∠ ACB=180°-90°-45°=45°$，
∵$BC// DF$，$∠ CFD=30°$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ BCF=∠ CFD=30°$，
∴$∠ ACF=∠ ACB-∠ BCF=45°-30°=15°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，结合了常用三角板的固定角度特征，核心考查平行线的性质应用，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，理清所求角与已知角的和差逻辑。
【难度系数】
0.8
2. [新课标—数学文化题][2023·安徽第13题]
清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则
$BD=\frac{1}{2}(BC+\frac{AB^2 - AC^2}{BC}).$
当$AB=7$，$BC=6$，$AC=5$时，$CD=$
清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则
$BD=\frac{1}{2}(BC+\frac{AB^2 - AC^2}{BC}).$
当$AB=7$，$BC=6$，$AC=5$时，$CD=$
1
.答案
2.1
解析
【分析】
本题给出了锐角三角形的高分底边所得线段BD的计算公式，解题时首先提取已知的AB、BC、AC的长度，先将数值代入公式算出BD的长度，再根据线段和差关系$CD=BC-BD$，就能求出CD的长度。
【解析】
1. 代入已知条件计算BD的长度
已知$AB=7$，$BC=6$，$AC=5$，代入公式$BD=\frac{1}{2}(BC+\frac{AB^2 - AC^2}{BC})$：
先计算$AB^2-AC^2=7^2-5^2=49-25=24$，
可得$\frac{AB^2-AC^2}{BC}=\frac{24}{6}=4$，
因此$BD=\frac{1}{2}×(6+4)=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 计算CD的长度
由于点D在BC上，根据线段和差关系：
$CD=BC-BD=6-5=1$。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、线段和差计算、三角形高的性质
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查对新公式的理解运用能力和基础运算能力，只要准确提取已知条件、按运算顺序代入计算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题给出了锐角三角形的高分底边所得线段BD的计算公式，解题时首先提取已知的AB、BC、AC的长度，先将数值代入公式算出BD的长度，再根据线段和差关系$CD=BC-BD$，就能求出CD的长度。
【解析】
1. 代入已知条件计算BD的长度
已知$AB=7$，$BC=6$，$AC=5$，代入公式$BD=\frac{1}{2}(BC+\frac{AB^2 - AC^2}{BC})$：
先计算$AB^2-AC^2=7^2-5^2=49-25=24$，
可得$\frac{AB^2-AC^2}{BC}=\frac{24}{6}=4$，
因此$BD=\frac{1}{2}×(6+4)=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 计算CD的长度
由于点D在BC上，根据线段和差关系：
$CD=BC-BD=6-5=1$。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、线段和差计算、三角形高的性质
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查对新公式的理解运用能力和基础运算能力，只要准确提取已知条件、按运算顺序代入计算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
1. [2026·达州中考]若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式$2x -5 ≤0$的正整数解，则等腰三角形的周长为（
A.3
B.4
C.5
D.4或5
C
）A.3
B.4
C.5
D.4或5
答案
1.C
解析
【分析】
解题需分三步进行：第一步先求解一元一次不等式，得到其正整数解，确定等腰三角形边长的可选值；第二步结合等腰三角形“两腰相等、底边和腰不等”的性质，分情况列举可能的边长组合；第三步利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种组合能否构成三角形，排除不符合的情况后计算合法三角形的周长即可。
【解析】
1. 解不等式$2x -5 ≤0$：
移项得$2x ≤5$，解得$x ≤ 2.5$，
因此不等式的正整数解为$x=1$和$x=2$。
2. 结合等腰三角形性质分类讨论：
已知等腰三角形底边和腰不等，两边长为1、2，分两种情况：
① 若腰长为1，底边长为2，则三边长为1、1、2，
此时$1+1=2$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为2，底边长为1，则三边长为2、2、1，
此时$2+1＞2$，$2+2＞1$，满足三边关系，且底边1与腰长2不相等，符合题意，
周长为$2+2+1=5$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式求解；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是不等式与三角形性质的综合基础题，解题的关键是牢记分类讨论的思路，同时要注意对得到的边长组合用三边关系进行验证，避免因忽略构成三角形的条件错选答案。
【难度系数】
0.7
解题需分三步进行：第一步先求解一元一次不等式，得到其正整数解，确定等腰三角形边长的可选值；第二步结合等腰三角形“两腰相等、底边和腰不等”的性质，分情况列举可能的边长组合；第三步利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种组合能否构成三角形，排除不符合的情况后计算合法三角形的周长即可。
【解析】
1. 解不等式$2x -5 ≤0$：
移项得$2x ≤5$，解得$x ≤ 2.5$，
因此不等式的正整数解为$x=1$和$x=2$。
2. 结合等腰三角形性质分类讨论：
已知等腰三角形底边和腰不等，两边长为1、2，分两种情况：
① 若腰长为1，底边长为2，则三边长为1、1、2，
此时$1+1=2$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为2，底边长为1，则三边长为2、2、1，
此时$2+1＞2$，$2+2＞1$，满足三边关系，且底边1与腰长2不相等，符合题意，
周长为$2+2+1=5$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式求解；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是不等式与三角形性质的综合基础题，解题的关键是牢记分类讨论的思路，同时要注意对得到的边长组合用三边关系进行验证，避免因忽略构成三角形的条件错选答案。
【难度系数】
0.7
2. [2026·苏州中考]如图,在△ABC中,∠A=55°,∠ACB=65°,延长BC至点D,过点C作CE//AB,则∠DCE的度数是 (
A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
C
)A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
答案
2.C
解析
【分析】
要计算∠DCE的度数，我们可以结合已知条件逐步推导：首先，已知△ABC的两个内角，可先利用三角形内角和定理求出∠B的度数；再根据CE//AB的平行关系，利用平行线同位角相等的性质，得到∠DCE与∠B的等量关系，进而求出∠DCE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB$
代入已知$∠ A=55°$，$∠ ACB=65°$，得：
$∠ B = 180° - 55° - 65° = 60°$
$\because CE// AB$，
$\therefore$根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ DCE = ∠ B = 60°$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，将三角形内角和与平行线的性质结合考查，解题的关键是先求出∠B的度数，再利用平行线的性质建立待求角和已知角的联系，是中考中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠DCE的度数，我们可以结合已知条件逐步推导：首先，已知△ABC的两个内角，可先利用三角形内角和定理求出∠B的度数；再根据CE//AB的平行关系，利用平行线同位角相等的性质，得到∠DCE与∠B的等量关系，进而求出∠DCE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB$
代入已知$∠ A=55°$，$∠ ACB=65°$，得：
$∠ B = 180° - 55° - 65° = 60°$
$\because CE// AB$，
$\therefore$根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ DCE = ∠ B = 60°$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，将三角形内角和与平行线的性质结合考查，解题的关键是先求出∠B的度数，再利用平行线的性质建立待求角和已知角的联系，是中考中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. [2026·南充中考]如图，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线a，b上，且$a// b$.若$∠α=40°$，则$∠β$大小为（
A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
B
）A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先等边三角形的三个内角都为60°，先得到△ABC的内角度数；再结合平行线的性质，找到两条平行线被BC所截形成的内错角关系，求出BC与直线b左侧的夹角；最后利用平角为180°的性质，减去已知的两个角就能算出∠β的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠α=40°
∴直线a与线段BC的夹角为$∠ ABC-∠ α =60°-40°=20°$
又
∵$a// b$，根据两直线平行，内错角相等
∴直线b与线段BC的左侧夹角也为20°
∵直线b为平角，度数为180°
∴$∠ β =180°-∠ ACB-20°=180°-60°-20°=100°$
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、平角的定义
【点评】
本题是基础的角度综合运算题，核心是熟练掌握等边三角形和平行线的性质，找到角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先等边三角形的三个内角都为60°，先得到△ABC的内角度数；再结合平行线的性质，找到两条平行线被BC所截形成的内错角关系，求出BC与直线b左侧的夹角；最后利用平角为180°的性质，减去已知的两个角就能算出∠β的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠α=40°
∴直线a与线段BC的夹角为$∠ ABC-∠ α =60°-40°=20°$
又
∵$a// b$，根据两直线平行，内错角相等
∴直线b与线段BC的左侧夹角也为20°
∵直线b为平角，度数为180°
∴$∠ β =180°-∠ ACB-20°=180°-60°-20°=100°$
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、平角的定义
【点评】
本题是基础的角度综合运算题，核心是熟练掌握等边三角形和平行线的性质，找到角度之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. [2024·陕西中考]如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确直角三角形的判定依据：有一个内角是直角的三角形就是直角三角形。解题时先从题目给出的条件中找出所有的直角，再逐一对应找出包含这些直角的三角形即可。第一步先找已知的直角：一是题目直接给出∠BAC=90°，二是AD是BC边上的高，可得AD垂直BC，因此D点处的∠ADB、∠ADE、∠ADC都是直角。第二步逐一对应找三角形，注意不要遗漏也不要重复计数。
【解析】
根据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形是直角三角形），逐一计数：
1. 已知∠BAC=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，可得∠ADB=∠ADE=∠ADC=90°：
∠ADB=90°，故△ABD是直角三角形；
∠ADE=90°，故△ADE是直角三角形；
∠ADC=90°，故△ADC是直角三角形。
综上，图中共有4个直角三角形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形的定义 2.三角形高的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是先定位所有直角，再对应匹配三角形，计数时注意不要漏掉以∠ADE为直角的△ADE，也不要误将没有直角的△ABE、△AEC计入。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确直角三角形的判定依据：有一个内角是直角的三角形就是直角三角形。解题时先从题目给出的条件中找出所有的直角，再逐一对应找出包含这些直角的三角形即可。第一步先找已知的直角：一是题目直接给出∠BAC=90°，二是AD是BC边上的高，可得AD垂直BC，因此D点处的∠ADB、∠ADE、∠ADC都是直角。第二步逐一对应找三角形，注意不要遗漏也不要重复计数。
【解析】
根据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形是直角三角形），逐一计数：
1. 已知∠BAC=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，可得∠ADB=∠ADE=∠ADC=90°：
∠ADB=90°，故△ABD是直角三角形；
∠ADE=90°，故△ADE是直角三角形；
∠ADC=90°，故△ADC是直角三角形。
综上，图中共有4个直角三角形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.直角三角形的定义 2.三角形高的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是先定位所有直角，再对应匹配三角形，计数时注意不要漏掉以∠ADE为直角的△ADE，也不要误将没有直角的△ABE、△AEC计入。
【难度系数】
0.8
5. [2024·凉山彝族自治州中考]如图,在$△ ABC$中,$∠ BCD=30°,∠ ACB=80°,CD$是边$AB$上的高,$AE$是$∠ CAB$的平分线,则$∠ AEB$的度数是
100°
.答案
5.100°
解析
【分析】
解题时先从CD是AB边上的高入手，可得∠CDB=90°，结合∠BCD=30°，利用三角形内角和先求出∠B的度数；再在△ABC中，结合已知的∠ACB=80°，再次用三角形内角和求出∠CAB的度数；之后根据AE是角平分线，求出∠EAB的度数；最后在△AEB中利用三角形内角和即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在△BCD中，∠BCD=30°，
∴ ∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴ ∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵ AE是∠CAB的平分线，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合应用题，难度不大，解题的核心是逐步推导各个未知角的度数，熟练掌握三角形相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从CD是AB边上的高入手，可得∠CDB=90°，结合∠BCD=30°，利用三角形内角和先求出∠B的度数；再在△ABC中，结合已知的∠ACB=80°，再次用三角形内角和求出∠CAB的度数；之后根据AE是角平分线，求出∠EAB的度数；最后在△AEB中利用三角形内角和即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在△BCD中，∠BCD=30°，
∴ ∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴ ∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵ AE是∠CAB的平分线，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合应用题，难度不大，解题的核心是逐步推导各个未知角的度数，熟练掌握三角形相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. [2025·北京中考]能说明命题“若$a^2＞4b^2$，则$a＞2b$”是假命题的一组实数$a,b$的值为$a=$
-3
,$b=$1
.答案
6.-3;1(答案不唯一)
解析
【分析】
要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的题设（$a^2＞4b^2$），但不满足命题的结论（$a＞2b$）。我们可以考虑$a$为负数的情况：当$a$是负数，$2b$是正数时，必然有$a＜2b$，此时只要保证$a$的绝对值大于$2b$的绝对值，就能满足$a^2＞4b^2$，据此即可取值。
【解析】
我们选取$a=-3$，$b=1$，验证如下：
1. 验证是否满足题设：计算$a^2=(-3)^2=9$，$4b^2=4×1^2=4$，显然$9＞4$，满足$a^2＞4b^2$；
2. 验证是否不满足结论：计算$2b=2×1=2$，此时$a=-3＜2$，即$a＜2b$，不满足$a＞2b$。
因此这组值可以说明该命题是假命题，取值不唯一，符合要求即可。
【答案】
$-3$；$1$（答案不唯一）
【知识点】
1. 假命题的判定
2. 平方的性质
3. 不等式的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查举反例判定假命题的方法，解题时只需保证所取数值满足“符合题设、不符合结论”的要求即可，取值灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的题设（$a^2＞4b^2$），但不满足命题的结论（$a＞2b$）。我们可以考虑$a$为负数的情况：当$a$是负数，$2b$是正数时，必然有$a＜2b$，此时只要保证$a$的绝对值大于$2b$的绝对值，就能满足$a^2＞4b^2$，据此即可取值。
【解析】
我们选取$a=-3$，$b=1$，验证如下：
1. 验证是否满足题设：计算$a^2=(-3)^2=9$，$4b^2=4×1^2=4$，显然$9＞4$，满足$a^2＞4b^2$；
2. 验证是否不满足结论：计算$2b=2×1=2$，此时$a=-3＜2$，即$a＜2b$，不满足$a＞2b$。
因此这组值可以说明该命题是假命题，取值不唯一，符合要求即可。
【答案】
$-3$；$1$（答案不唯一）
【知识点】
1. 假命题的判定
2. 平方的性质
3. 不等式的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查举反例判定假命题的方法，解题时只需保证所取数值满足“符合题设、不符合结论”的要求即可，取值灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
