1. 如图，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB.
(1)若∠A=48°,则∠BOC=;
(2)若∠A=n°,则∠BOC=;
(3)若∠BOC=130°,则∠A=.

1.(1)114° (2)$90°+\frac{1}{2}n°$ (3)$80°$

【分析】
解题核心是结合三角形内角和定理与角平分线的定义，推导∠BOC与∠A的数量关系，再代入数值计算即可。第一步：先根据三角形内角和，得出△ABC中∠ABC+∠ACB与∠A的关系；第二步：利用角平分线的定义，将△BOC的两个底角∠OBC、∠OCB转化为∠ABC、∠ACB的一半，进而得到∠OBC+∠OCB与∠A的关系；第三步：再次利用三角形内角和，求出∠BOC与∠A的通用关系式，最后代入各小问的条件求解。
【解析】
首先推导∠BOC与∠A的通用关系：
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（已知）
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$（角平分线定义）
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
(1)当$∠ A=48°$时，代入关系式得：
$∠ BOC = 90° + \frac{1}{2} × 48° = 90° + 24° = 114°$
(2)当$∠ A=n°$时，代入关系式得：
$∠ BOC = 90° + \frac{1}{2}n°$
(3)当$∠ BOC=130°$时，代入关系式得：
$130° = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
解得$\frac{1}{2}∠ A = 40°$，即$∠ A=80°$
【答案】
(1)$114°$ (2)$90°+\frac{1}{2}n°$ (3)$80°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，角度运算
【点评】
本题是三角形双内角平分线的典型题型，推导得出的$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$是常用结论，熟练掌握该结论可快速解决同类角度计算问题，解题时要注意逻辑推导的严谨性，规范角的转化过程。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC=75°,∠ACB=45°,则∠D的度数为;
(2)试探索∠D与∠A之间的数量关系.

2.(1)$30°$ (2)$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$

【分析】
(1) 求解∠D的度数时，可结合角平分线定义和三角形外角性质计算：先求出△ABC的外角∠ACE的度数，再根据BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，得到∠DBC和∠DCE的度数，最后利用∠DCE是△BCD的外角，通过∠D=∠DCE-∠DBC即可算出结果。
(2) 探索∠D和∠A的数量关系时，将第一问的具体角度替换为一般量，把角平分线的倍分关系代入外角性质的等式中，化简即可得到两者的通用数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 75° - 45° = 60°$
$∠ ACE$是△ABC的外角，因此$∠ ACE = 180° - ∠ ACB = 180° - 45° = 135°$
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 75° = 37.5°$
∵ CD平分$∠ ACE$，
∴ $∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE = \frac{1}{2} × 135° = 67.5°$
又
∵ $∠ DCE$是△BCD的外角，满足$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$
∴ $∠ D = ∠ DCE - ∠ DBC = 67.5° - 37.5° = 30°$
(2) 推导∠D与∠A的数量关系：
∵ BD平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACE$
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ACE$
∵ $∠ ACE$是△ABC的外角，
∴ $∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$
两边同时乘$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}∠ ACE = \frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC$，即$∠ DCE = \frac{1}{2}∠ A + ∠ DBC$
又
∵ $∠ DCE$是△BCD的外角，
∴ $∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$
联立两式可得：$∠ D + ∠ DBC = \frac{1}{2}∠ A + ∠ DBC$
化简后得：$∠ D = \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1) $30°$
(2) $∠ D=\frac{1}{2}∠ A$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形双角平分线模型的典型习题，解题核心是借助三角形外角的性质搭建不同角之间的关联，推导得到的结论可作为常用模型结论，能帮助快速解答同类型的选填题。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$△ ABC$的外角平分线$BP$与$CP$交于点$P$.
(1)若$∠ ABC=40°,∠ ACB=60°$,则$∠ BPC=\_\_\_\_\_\_°$;
(2)若$∠ A=60°$,则$∠ BPC=\_\_\_\_\_\_°$;
(3)试探索$∠ BPC$与$∠ A$之间的数量关系.

3.(1)50 (2)60 (3)$∠ BPC=90°-\frac{1}{2}∠ A$

【分析】
本题考查三角形双外角平分线的角度计算，解题思路如下：1. 利用三角形外角的定义求出已知内角对应的外角度数；2. 结合角平分线的性质，得到△BPC中两个底角的度数或度数和；3. 利用三角形内角和为180°计算∠BPC的度数，最后将特殊情况推广到一般情况，推导∠BPC与∠A的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，则对应的外角分别为：
$∠ DBC=180°-∠ ABC=180°-40°=140°$，$∠ ECB=180°-∠ ACB=180°-60°=120°$
∵BP、CP分别是∠DBC、∠ECB的平分线
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ DBC=70°$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ECB=60°$
在△BPC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BPC=180°-∠ PBC-∠ PCB=180°-70°-60°=50°$
(2) 已知∠A=60°，在△ABC中：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$
则两个外角和$∠ DBC+∠ ECB=(180°-∠ ABC)+(180°-∠ ACB)=360°-(∠ ABC+∠ ACB)=360°-120°=240°$
∵BP、CP分别平分∠DBC、∠ECB
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{2}×240°=120°$
在△BPC中，$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-120°=60°$
(3) 推导∠BPC与∠A的数量关系：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$
则两外角和$∠ DBC+∠ ECB=360°-(∠ ABC+∠ ACB)=360°-(180°-∠ A)=180°+∠ A$
∵BP、CP是外角平分线
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
在△BPC中：
$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1)50；(2)60；(3)$∠BPC=90°-\frac{1}{2}∠A$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形双外角平分线模型的典型考题，解题的关键是灵活运用三角形内角和与角平分线的性质，建立已知角与所求角的联系，掌握该模型的结论可以大幅提升同类型角度计算题的解题效率。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = m°$，$∠ ABC$和$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$，得到$∠ A_1$；$∠ A_1BC$和$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$，得到$∠ A_2$；……，则$∠ A_2 =$ ，$∠ A_3 =$ ，$∠ A_n =$ 。

4.$\frac{m°}{4};\frac{m°}{8};\frac{m°}{2^n}$

【分析】
解题时首先利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，先推导∠A₁与∠A的数量关系，再以此类推推导∠A₂、∠A₃与∠A的关系，最后归纳得到∠Aₙ的通用规律。具体思考步骤：1. 先明确∠ACD是△ABC的外角，可得∠ACD=∠A+∠ABC；2. 结合角平分线的定义，将∠A₁CD、∠A₁BC用∠ACD、∠ABC表示；3. 再把∠A₁CD看作△A₁BC的外角，得到∠A₁与∠A的倍半关系；4. 重复上述逻辑，推导后续角度的规律即可。
【解析】
解：根据三角形外角的性质，可得$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$，
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
又
∵ $∠ A_1CD$是$△ A_1BC$的外角，
∴ $∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$，
化简得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{m°}{2}$。
同理，$BA_2$平分$∠ A_1BC$，$CA_2$平分$∠ A_1CD$，可得$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{1}{2} × \frac{m°}{2} = \frac{m°}{4}$，
$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{m°}{8}$，
以此类推，可得$∠ A_n = \frac{m°}{2^n}$。
【答案】
$\frac{m°}{4}$；$\frac{m°}{8}$；$\frac{m°}{2^n}$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题是三角形双角平分线模型的典型应用，核心是通过外角性质建立相邻两个待求角的倍半关系，再归纳得到一般规律，掌握该模型可快速求解同类角度计算问题。
【难度系数】
0.6

5. [新课标—探究题]【问题引入】(1)如图 1，$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$，$∠ A=α$，则$∠ BOC=$.(用含$α$的式子表示)
(2)如图 2，$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ECB$，$∠ A=α$，则$∠ BOC=$.(用含$α$的式子表示)
【类比研究】(3)$BO$，$CO$分别是$△ ABC$中$∠ ABC$和$∠ ACB$的$n$等分线，它们交于点$O$，$∠ CBO=\frac{1}{n}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{n}∠ ACB$，$∠ A=α$，则$∠ BOC=$.(用含$α$，$n$的式子表示)
(4)$BO$，$CO$分别是$△ ABC$的外角$∠ DBC$，$∠ ECB$的$n$等分线，它们交于点$O$，$∠ CBO=\frac{1}{n}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{n}∠ ECB$，$∠ A=α$，则$∠ BOC=$.(用含$α$，$n$的式子表示)

5.(1)$120°+\frac{α}{3}$
(2)$120°-\frac{α}{3}$
(3)$\frac{(n-1)×180°}{n}+\frac{α}{n}$
(4)$\frac{(n-1)×180°}{n}-\frac{α}{n}$

【分析】
本题是三角形角n等分线的角度规律探究题，核心解题思路是结合角等分线定义，利用三角形内角和定理、外角性质，将△BOC的两个底角之和用∠A表示，再代入△BOC的内角和公式计算∠BOC。
1. 第(1)问是内角三等分线问题，先求△ABC两个内角的和，再取其三分之一得到△BOC的两个底角和，最后求∠BOC；
2. 第(2)问是外角三等分线问题，先计算两个外角的和，再取其三分之一得到△BOC的两个底角和，最后求∠BOC；
3. 第(3)(4)问是从特殊三等分推广到一般n等分，类比前两问的推导逻辑，将3替换为n即可得到通用结论。
【解析】
(1) 在△ABC中，由内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-α$
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ ABC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{3}(180°-α)=60°-\frac{α}{3}$
在△BOC中：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(60°-\frac{α}{3})=120°+\frac{α}{3}$
(2) 由三角形外角性质得：$∠ DBC=∠ A+∠ ACB$，$∠ ECB=∠ A+∠ ABC$
两式相加得：$∠ DBC+∠ ECB=2∠ A+(∠ ABC+∠ ACB)=180°+α$
∵$∠ CBO=\frac{1}{3}∠ DBC$，$∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ECB$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{3}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{3}(180°+α)=60°+\frac{α}{3}$
在△BOC中：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(60°+\frac{α}{3})=120°-\frac{α}{3}$
(3) 类比(1)的推导：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-α$
$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{n}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{180°-α}{n}$
$∠ BOC=180°-\frac{180°-α}{n}=\frac{(n-1)×180°}{n}+\frac{α}{n}$
(4) 类比(2)的推导：
$∠ DBC+∠ ECB=180°+α$
$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{n}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{180°+α}{n}$
$∠ BOC=180°-\frac{180°+α}{n}=\frac{(n-1)×180°}{n}-\frac{α}{n}$
【答案】
(1)$120°+\frac{α}{3}$；(2)$120°-\frac{α}{3}$；(3)$\frac{(n-1)×180°}{n}+\frac{α}{n}$；(4)$\frac{(n-1)×180°}{n}-\frac{α}{n}$
【知识点】
三角形内角和定理；角等分线定义；三角形外角性质
【点评】
本题属于规律探究类题型，从特殊的三等分线延伸到一般的n等分线，分别总结了内角等分线交点、外角等分线交点的角度计算公式，掌握三角形内角和与外角性质是解题的核心，推导得到的结论可作为模型快速求解同类题型。
【难度系数】
0.6