8. 如图，已知∠1=15°,∠2=20°,∠A=40°,则∠BDC的度数为 （）

A.75°
B.95°
C.105°
D.115°

8.A

【分析】
要求∠BDC的度数，我们可以借助三角形内角和定理逐步推导：首先在△ABC中，利用内角和求出∠ABC与∠ACB的度数和，再减去已知的∠1和∠2，得到△BDC中两个底角∠DBC与∠DCB的度数和，最后再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=40°，则：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 40° = 140°$
已知$∠ 1=15°$，$∠ 2=20°$，因此：
$∠ DBC + ∠ DCB = (∠ ABC - ∠ 1) + (∠ ACB - ∠ 2) = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ 1 + ∠ 2) = 140° - (15° + 20°) = 105°$
在△BDC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BDC = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - 105° = 75°$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用三角形内角和定理，通过角的和差关系将已知角和未知角建立联系，从而求出目标角的度数。
【难度系数】
0.8

9.如图，∠BAC与∠BOC的平分线相交于点P。
若∠B=16°,∠C=42°,则∠P=.

9.13°

【分析】解题思路如下：首先利用三角形外角性质推导凹四边形ABOC中∠BOC和∠BAC、∠B、∠C的等量关系，再结合角平分线的定义，将待求∠P所在的三角形利用内角和与对顶角相等建立等式，最后代入等量关系消去未知的∠BAC，即可求出∠P的度数。不需要计算∠BAC的具体值，通过消元法就能快速得到结果。
【解析】
1. 推导∠BOC的角度关系：延长BO交AC于点D。
根据三角形外角的性质，∠BDC是△ABD的外角，因此$∠ BDC=∠ B+∠ BAC$；
$∠ BOC$是△COD的外角，因此$∠ BOC=∠ BDC+∠ C$，代入上式可得：
$∠ BOC=∠ BAC+∠ B+∠ C$。
2. 根据角平分线定义：
AP平分$∠ BAC$，故$∠ PAC=\frac{1}{2}∠ BAC$；
OP平分$∠ BOC$，故$∠ POC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
3. 设AP与OC交于点E，$∠ AEC$与$∠ PEO$是对顶角，因此$∠ AEC=∠ PEO$。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ PAC+∠ C+∠ AEC=180°$，$∠ POC+∠ P+∠ PEO=180°$，
因此$∠ PAC+∠ C=∠ POC+∠ P$。
4. 代入已知角度和等量关系计算：
将$∠ POC=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ B+∠ C)$、$∠ PAC=\frac{1}{2}∠ BAC$、$∠ B=16°$、$∠ C=42°$代入上式：
$\frac{1}{2}∠ BAC +42°=\frac{1}{2}(∠ BAC+16°+42°)+∠ P$
化简右侧得：$\frac{1}{2}∠ BAC +29°+∠ P$
两边消去$\frac{1}{2}∠ BAC$，解得：$∠ P=42°-29°=13°$
【答案】
$13°$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的典型模型题，核心是通过角度等量关系消去中间未知量，不需要求出所有角的度数即可得到结果，考查学生对基本角度性质的灵活运用和观察图形等量关系的能力。
【难度系数】
0.6

10.[新课标—探究题](1)如图,试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系,并说明理由.
(2)请利用(1)中的结论,解决以下问题:
①如图,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY,XZ恰好经过点B,C.若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=.
②如图,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB.若∠A=50°,∠B=130°,求∠DCE的度数.
③如图,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点$G_1,G_2,\dots,G_9$.若∠BDC=140°,∠BG₁C=77°,求∠A的度数.

(1)连接 AD 并延长至点 F(图略).
易得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD，
∴∠BDC=∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)①40°
②
∵∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=80°，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$(∠ADB+∠AEB)+∠A=$\frac{1}{2}$×80°+50°=90°.
③设∠A=x°,
∴∠ABD+∠ACD=140°-x°.
∵∠BG₁C=$\frac{1}{10}$(∠ABD+∠ACD)+∠A，
∴$\frac{1}{10}$(140-x)+x=77,解得x=70,
∴∠A=70°.

【分析】
(1) 本题探究凹四边形（飞镖模型）的内角关系，可利用三角形外角的性质求解：通过连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角，分别建立外角与∠A、∠B、∠C的等量关系，相加即可得到结论。
(2) 三个小问均直接使用(1)中推导的结论求解：
① 三角尺的∠X=90°，代入结论直接计算∠ABX+∠ACX的度数；
② 先利用结论求出∠ADB+∠AEB的和，再结合角平分线的定义，将∠DCE用∠A和∠ADB、∠AEB的一半表示，代入计算即可；
③ 设∠A为x°，先根据结论表示出∠ABD+∠ACD，再结合10等分线的比例关系，代入∠BG₁C的角度关系列方程求解。
【解析】
(1) 连接AD并延长至点F：
根据三角形外角的性质，可得：
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠CAD+∠C，
∴ ∠BDC=∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，
即$\boldsymbol{∠BDC=∠BAC+∠B+∠C}$。
(2) ① 由(1)的结论可得：$∠ BXC=∠ A+∠ ABX+∠ ACX$，
∵ 三角尺XYZ为直角三角尺，
∴ $∠ BXC=90°$，
又
∵ $∠ A=50°$，
∴ $∠ ABX+∠ ACX=∠ BXC - ∠ A=90°-50°=40°$。
② 由(1)的结论可得：$∠ DBE=∠ A+∠ ADB+∠ AEB$，
已知$∠ A=50°$，$∠ DBE=130°$，
∴ $∠ ADB+∠ AEB=∠ DBE - ∠ A=130°-50°=80°$，
∵ DC平分$∠ ADB$，EC平分$∠ AEB$，
∴ $∠ ADC=\frac{1}{2}∠ ADB$，$∠ AEC=\frac{1}{2}∠ AEB$，
再由(1)的结论可得：
$∠ DCE=∠ A+∠ ADC+∠ AEC=∠ A + \frac{1}{2}(∠ ADB+∠ AEB)$，
代入得：$∠ DCE=50° + \frac{1}{2}×80°=90°$。
③ 设$∠ A=x°$，
由(1)的结论可得：$∠ BDC=∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD$，
已知$∠ BDC=140°$，
∴ $∠ ABD + ∠ ACD=140° - x°$，
∵ $G_1$是$∠ ABD$、$∠ ACD$的10等分线交点，
∴ $∠ G_1BD+∠ G_1CD=\frac{1}{10}(∠ ABD+∠ ACD)$，
再由(1)的结论可得：$∠ BG_1C=∠ A + ∠ G_1BD+∠ G_1CD$，
已知$∠ BG_1C=77°$，代入得：
$x + \frac{1}{10}(140 - x)=77$，
解方程得：$10x +140 -x=770$，$9x=630$，$x=70$，
即$∠ A=70°$。
【答案】
(1) $∠ BDC=∠ A+∠ B+∠ C$，理由见解析；
(2) ① $\boldsymbol{40°}$；② $\boldsymbol{90°}$；③ $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的三角形角度模型探究题，先推导飞镖模型的角度关系，再将结论迁移应用到后续问题中，考查了逻辑推理能力和模型应用意识，计算时注意角度的等量代换即可顺利求解。
【难度系数】
0.6