登录
2. 若关于$x$，$y$的单项式$\frac{2}{3}mx^ny^2$的系数是6，次数是5，则$m=$
9
，$n=$3
。答案
2. $m=9$，$n=3$
解析
【分析】
解题时需先明确单项式系数和次数的定义：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。我们可以根据题目给出的系数、次数条件，分别列等式求解m和n的值：第一步先根据系数为6列等式求m，第二步根据次数为5列等式求n即可。
【解析】
1. 求m的值：
单项式的系数为其数字因数，本题中单项式$\frac{2}{3}mx^ny^2$的数字因数是$\frac{2}{3}m$，已知系数是6，可列等式：
$\frac{2}{3}m = 6$
等式两边同时乘以$\frac{3}{2}$得：$m = 6×\frac{3}{2}=9$
2. 求n的值：
单项式的次数为所有字母的指数之和，本题中x的指数为n，y的指数为2，已知次数是5，可列等式：
$n + 2 = 5$
移项得：$n = 5 - 2 = 3$
【答案】
$m=9$，$n=3$
【知识点】
1. 单项式的系数
2. 单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对单项式系数和次数定义的准确掌握，熟练掌握相关概念即可快速得出结果，是单项式章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
解题时需先明确单项式系数和次数的定义：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。我们可以根据题目给出的系数、次数条件，分别列等式求解m和n的值：第一步先根据系数为6列等式求m，第二步根据次数为5列等式求n即可。
【解析】
1. 求m的值：
单项式的系数为其数字因数，本题中单项式$\frac{2}{3}mx^ny^2$的数字因数是$\frac{2}{3}m$，已知系数是6，可列等式：
$\frac{2}{3}m = 6$
等式两边同时乘以$\frac{3}{2}$得：$m = 6×\frac{3}{2}=9$
2. 求n的值：
单项式的次数为所有字母的指数之和，本题中x的指数为n，y的指数为2，已知次数是5，可列等式：
$n + 2 = 5$
移项得：$n = 5 - 2 = 3$
【答案】
$m=9$，$n=3$
【知识点】
1. 单项式的系数
2. 单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对单项式系数和次数定义的准确掌握，熟练掌握相关概念即可快速得出结果，是单项式章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
3. 已知单项式$-\frac{2}{3}xy^{2m-1}$与$-2^2x^2y^2$的次数相同.
(1)求代数式$m^2+2m+1$的值；
(2)求代数式$(m+1)^2$的值；
(3)由(1)(2)的结果，你有什么发现？
(1)求代数式$m^2+2m+1$的值；
(2)求代数式$(m+1)^2$的值；
(3)由(1)(2)的结果，你有什么发现？
答案
由题意，得$1+2m-1=2+2$，则$m=2$.
(1)$m^2+2m+1=2^2+2×2+1=9$
(2)$(m+1)^2=(2+1)^2=9$
(3)发现：$m^2+2m+1=(m+1)^2$
(1)$m^2+2m+1=2^2+2×2+1=9$
(2)$(m+1)^2=(2+1)^2=9$
(3)发现：$m^2+2m+1=(m+1)^2$
解析
【分析】
解题第一步要明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和为单项式的次数。已知两个单项式次数相同，可先分别表示出两个单项式的次数，列等式求解出m的值；再将m的值分别代入(1)(2)的代数式计算结果；最后对比两个结果归纳出对应的规律即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：
单项式$-\frac{2}{3}xy^{2m-1}$的次数为$1+(2m-1)$，单项式$-2^2x^2y^2$的次数为$2+2=4$。
因为两个单项式次数相同，所以可得方程：
$1+2m-1=2+2$
化简得$2m=4$，解得$m=2$。
(1)将$m=2$代入$m^2+2m+1$：
$m^2+2m+1=2^2+2×2+1=4+4+1=9$
(2)将$m=2$代入$(m+1)^2$：
$(m+1)^2=(2+1)^2=3^2=9$
(3)对比(1)(2)的计算结果，发现两个代数式的数值相等，即$m^2+2m+1=(m+1)^2$。
【答案】
(1)$9$；(2)$9$；(3)$m^2+2m+1=(m+1)^2$
【知识点】
单项式的次数；代数式求值；完全平方公式
【点评】
本题以单项式的基础概念为载体，结合代数式求值，引导学生通过具体数值的计算归纳出代数恒等式，既考查了基础知识点的掌握情况，也锻炼了从特殊到一般的归纳思维能力。
【难度系数】
0.8
解题第一步要明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和为单项式的次数。已知两个单项式次数相同，可先分别表示出两个单项式的次数，列等式求解出m的值；再将m的值分别代入(1)(2)的代数式计算结果；最后对比两个结果归纳出对应的规律即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：
单项式$-\frac{2}{3}xy^{2m-1}$的次数为$1+(2m-1)$，单项式$-2^2x^2y^2$的次数为$2+2=4$。
因为两个单项式次数相同，所以可得方程：
$1+2m-1=2+2$
化简得$2m=4$，解得$m=2$。
(1)将$m=2$代入$m^2+2m+1$：
$m^2+2m+1=2^2+2×2+1=4+4+1=9$
(2)将$m=2$代入$(m+1)^2$：
$(m+1)^2=(2+1)^2=3^2=9$
(3)对比(1)(2)的计算结果，发现两个代数式的数值相等，即$m^2+2m+1=(m+1)^2$。
【答案】
(1)$9$；(2)$9$；(3)$m^2+2m+1=(m+1)^2$
【知识点】
单项式的次数；代数式求值；完全平方公式
【点评】
本题以单项式的基础概念为载体，结合代数式求值，引导学生通过具体数值的计算归纳出代数恒等式，既考查了基础知识点的掌握情况，也锻炼了从特殊到一般的归纳思维能力。
【难度系数】
0.8
4. 写出所有只含字母a，b，c，且系数和次数都是5的单项式.
答案
$5abc^3$，$5ab^2c^2$，$5ab^3c$，$5a^2bc^2$，$5a^2b^2c$，$5a^3bc$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，题目要求系数为5，因此单项式的数字部分固定为5；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，题目要求次数为5，且仅含a、b、c三个字母，说明a、b、c的指数都必须是正整数（指数为0则不含该字母），且三个字母的指数相加等于5。接下来只需要按规律枚举所有满足“三个正整数之和为5”的指数组合，对应写出单项式即可，枚举时要注意有序排列，避免重复或遗漏。
【解析】
解：根据单项式系数和次数的定义逐步推导：
1. 由系数为5，可得单项式的数字因数固定为5；
2. 由单项式仅含a、b、c且次数为5，可得a、b、c的指数均≥1，且指数之和为5，即求正整数x、y、z（分别为a、b、c的指数）满足$x+y+z=5$的所有组合：
若指数组合为3、1、1的排列：对应单项式为$5a^3bc$、$5ab^3c$、$5abc^3$；
若指数组合为2、2、1的排列：对应单项式为$5a^2b^2c$、$5a^2bc^2$、$5ab^2c^2$。
综上即可得到所有符合条件的单项式。
【答案】
$5abc^3$，$5ab^2c^2$，$5ab^3c$，$5a^2bc^2$，$5a^2b^2c$，$5a^3bc$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是准确理解单项式系数和次数的定义，解题时需注意隐含条件：要同时包含a、b、c三个字母，即每个字母的指数不能为0，按规律枚举指数组合即可做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确单项式的两个核心概念：①单项式的系数是单项式中的数字因数，题目要求系数为5，因此单项式的数字部分固定为5；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，题目要求次数为5，且仅含a、b、c三个字母，说明a、b、c的指数都必须是正整数（指数为0则不含该字母），且三个字母的指数相加等于5。接下来只需要按规律枚举所有满足“三个正整数之和为5”的指数组合，对应写出单项式即可，枚举时要注意有序排列，避免重复或遗漏。
【解析】
解：根据单项式系数和次数的定义逐步推导：
1. 由系数为5，可得单项式的数字因数固定为5；
2. 由单项式仅含a、b、c且次数为5，可得a、b、c的指数均≥1，且指数之和为5，即求正整数x、y、z（分别为a、b、c的指数）满足$x+y+z=5$的所有组合：
若指数组合为3、1、1的排列：对应单项式为$5a^3bc$、$5ab^3c$、$5abc^3$；
若指数组合为2、2、1的排列：对应单项式为$5a^2b^2c$、$5a^2bc^2$、$5ab^2c^2$。
综上即可得到所有符合条件的单项式。
【答案】
$5abc^3$，$5ab^2c^2$，$5ab^3c$，$5a^2bc^2$，$5a^2b^2c$，$5a^3bc$
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是准确理解单项式系数和次数的定义，解题时需注意隐含条件：要同时包含a、b、c三个字母，即每个字母的指数不能为0，按规律枚举指数组合即可做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
1. 下列各式$2-x^2$，$\frac{x}{2}$，$\frac{a-b}{4}$，$3x^2-2x+1$中，多项式有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆多项式、单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的数或字母也属于单项式；几个单项式的和叫做多项式。我们只需逐个判断每个式子是否符合多项式的特征，再统计符合要求的个数即可。
【解析】
根据定义逐个分析所给式子：
1. $2-x^2$：是单项式$2$和单项式$-x^2$的和，属于多项式；
2. $\frac{x}{2}$：是$\frac{1}{2}$与$x$的乘积，仅含1项，属于单项式，不是多项式；
3. $\frac{a-b}{4}$：可变形为$\frac{1}{4}a - \frac{1}{4}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
4. $3x^2-2x+1$：是单项式$3x^2$、$-2x$、$1$的和，属于多项式。
综上，多项式共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的定义，单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分单项式和多项式，注意带减法的整式可转化为加负项的形式，也属于多项式，不要误判分子带减法的分数形式的整式。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆多项式、单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的数或字母也属于单项式；几个单项式的和叫做多项式。我们只需逐个判断每个式子是否符合多项式的特征，再统计符合要求的个数即可。
【解析】
根据定义逐个分析所给式子：
1. $2-x^2$：是单项式$2$和单项式$-x^2$的和，属于多项式；
2. $\frac{x}{2}$：是$\frac{1}{2}$与$x$的乘积，仅含1项，属于单项式，不是多项式；
3. $\frac{a-b}{4}$：可变形为$\frac{1}{4}a - \frac{1}{4}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
4. $3x^2-2x+1$：是单项式$3x^2$、$-2x$、$1$的和，属于多项式。
综上，多项式共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的定义，单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分单项式和多项式，注意带减法的整式可转化为加负项的形式，也属于多项式，不要误判分子带减法的分数形式的整式。
【难度系数】
0.8
2. 代数式$\frac{3}{2}x$，$\frac{4}{x-y}$，$x+y$，$\frac{x^2 + 2}{π}$，$\frac{9}{8}$中，是整式的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，整式的分母中不能含有字母（注意π是常数，不是字母）。解题时只需要逐个判断每个代数式是否符合整式的定义，最后统计整式的个数即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含有字母，我们逐个分析给出的代数式：
1. $\frac{3}{2}x$：是数$\frac{3}{2}$和字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
2. $\frac{4}{x-y}$：分母中含有字母$x、y$，属于分式，不是整式；
3. $x+y$：是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
4. $\frac{x^2 + 2}{π}$：分母中的π是固定的常数，不是字母，该式子属于多项式，是整式；
5. $\frac{9}{8}$：是单独的常数，属于单项式，是整式。
综上，整式一共有4个。
【答案】
D
【知识点】
1. 整式的定义
2. 单项式的判定
3. 多项式的判定
【点评】
本题核心考查整式的判定，常见易错点是误将常数π当作字母，从而错判$\frac{x^2 + 2}{π}$不是整式，同时要牢记分母含字母的式子属于分式，不属于整式，熟练掌握相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，整式的分母中不能含有字母（注意π是常数，不是字母）。解题时只需要逐个判断每个代数式是否符合整式的定义，最后统计整式的个数即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含有字母，我们逐个分析给出的代数式：
1. $\frac{3}{2}x$：是数$\frac{3}{2}$和字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
2. $\frac{4}{x-y}$：分母中含有字母$x、y$，属于分式，不是整式；
3. $x+y$：是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
4. $\frac{x^2 + 2}{π}$：分母中的π是固定的常数，不是字母，该式子属于多项式，是整式；
5. $\frac{9}{8}$：是单独的常数，属于单项式，是整式。
综上，整式一共有4个。
【答案】
D
【知识点】
1. 整式的定义
2. 单项式的判定
3. 多项式的判定
【点评】
本题核心考查整式的判定，常见易错点是误将常数π当作字母，从而错判$\frac{x^2 + 2}{π}$不是整式，同时要牢记分母含字母的式子属于分式，不属于整式，熟练掌握相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.7
3. 多项式$-5x^2 -2x +1$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(
A.5, 2, 1
B.5, -2, 1
C.-5, -2, 0
D.-5, -2, 1
D
).A.5, 2, 1
B.5, -2, 1
C.-5, -2, 0
D.-5, -2, 1
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式的相关基础概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；单项式的数字因数叫做这个单项式的系数。注意提取各项系数时，要连同项前面的符号一起判断，不能漏掉负号。接下来我们分别定位多项式的二次项、一次项、常数项，再提取对应系数，匹配选项即可。
【解析】
对多项式$-5x^2 -2x +1$拆分分析：
1. 二次项为含$x^2$的项，即$-5x^2$，其数字因数为$-5$，因此二次项系数是$-5$；
2. 一次项为含$x$的项，即$-2x$，其数字因数为$-2$，因此一次项系数是$-2$；
3. 常数项为不含字母的项，即$1$。
综上，二次项系数、一次项系数、常数项分别是$-5,-2,1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项；多项式的系数；常数项
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的易错点是容易忽略各项前面的负号，准确识别每一项及其符号是得分的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确多项式的相关基础概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；单项式的数字因数叫做这个单项式的系数。注意提取各项系数时，要连同项前面的符号一起判断，不能漏掉负号。接下来我们分别定位多项式的二次项、一次项、常数项，再提取对应系数，匹配选项即可。
【解析】
对多项式$-5x^2 -2x +1$拆分分析：
1. 二次项为含$x^2$的项，即$-5x^2$，其数字因数为$-5$，因此二次项系数是$-5$；
2. 一次项为含$x$的项，即$-2x$，其数字因数为$-2$，因此一次项系数是$-2$；
3. 常数项为不含字母的项，即$1$。
综上，二次项系数、一次项系数、常数项分别是$-5,-2,1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项；多项式的系数；常数项
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的易错点是容易忽略各项前面的负号，准确识别每一项及其符号是得分的关键。
【难度系数】
0.8
4. 多项式 $a^3 - 2a^2b^2 + 3$ 里次数最高的项是
$-2a^2b^2$
，这个多项式是四
次三
项式。答案
4. $-2a^2b^2$ 四 三
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆多项式的相关定义：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要带前面的符号；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；③多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，多项式包含几个单项式就叫几项式。解题时我们先拆分出多项式的所有项，再分别计算每项的次数，找到次数最高的项，最后确定多项式的次数和项数即可。
【解析】
第一步，拆分多项式的所有项：多项式$a^3 - 2a^2b^2 + 3$包含3个单项式，分别是$a^3$、$-2a^2b^2$、常数项$3$。
第二步，计算每个项的次数：
项$a^3$中只有字母$a$，指数是3，所以次数为3；
项$-2a^2b^2$中有字母$a$和$b$，指数分别是2和2，次数为$2+2=4$；
常数项$3$不含字母，次数为0。
第三步，确定结果：对比三项的次数，4是最高值，因此次数最高的项是$-2a^2b^2$；这个多项式的次数为4，一共有3个项，所以是四次三项式。
【答案】
$-2a^2b^2$；四；三
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握多项式的相关定义，注意判断项的时候要带项前面的符号，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，不要漏算任何字母的指数。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要先回忆多项式的相关定义：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要带前面的符号；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；③多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，多项式包含几个单项式就叫几项式。解题时我们先拆分出多项式的所有项，再分别计算每项的次数，找到次数最高的项，最后确定多项式的次数和项数即可。
【解析】
第一步，拆分多项式的所有项：多项式$a^3 - 2a^2b^2 + 3$包含3个单项式，分别是$a^3$、$-2a^2b^2$、常数项$3$。
第二步，计算每个项的次数：
项$a^3$中只有字母$a$，指数是3，所以次数为3；
项$-2a^2b^2$中有字母$a$和$b$，指数分别是2和2，次数为$2+2=4$；
常数项$3$不含字母，次数为0。
第三步，确定结果：对比三项的次数，4是最高值，因此次数最高的项是$-2a^2b^2$；这个多项式的次数为4，一共有3个项，所以是四次三项式。
【答案】
$-2a^2b^2$；四；三
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握多项式的相关定义，注意判断项的时候要带项前面的符号，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，不要漏算任何字母的指数。
【难度系数】
0.9
