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22. (8分)某次竞赛中甲、乙两小组的成绩如下表:
已经算得两组的平均分都是80分,请根据你学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩哪一组好些,哪一组稍差,并说明理由.
已经算得两组的平均分都是80分,请根据你学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩哪一组好些,哪一组稍差,并说明理由.
解：从成绩统计表看，甲组成绩高于 90 分的有 20 人，乙组成绩高于 90 分的有 24 人，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人，从这一角度看乙组的成绩较好。当然还可以从其他角度来分析。（从不同的角度分析，可能会得到不同的结论）
答案
解：从成绩统计表看，甲组成绩高于 90 分的有 20 人，乙组成绩高于 90 分的有 24 人，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人，从这一角度看乙组的成绩较好。当然还可以从其他角度来分析。（从不同的角度分析，可能会得到不同的结论）
23. (10分)如图综-9,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点$A'$处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处.
(1) 求证:$EG= CH$;
证明：由折叠知 $ AE = AD = EG $，$ BC = CH $，
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
$ \therefore AD = BC $，$ \therefore EG = CH $。
(2) 已知$AF= \sqrt{2}$,求AD和AB的长.
解：$ \because \angle ADE = 45^{\circ} $，$ \angle FGE = \angle A = 90^{\circ} $，$ AF = \sqrt{2} $，
$ \therefore DG = GF = \sqrt{2} $，$ DF = \sqrt{DG^{2} + GF^{2}} = 2 $，
$ \therefore AD = AF + DF = \sqrt{2} + 2 $。$ \because \angle GEF = \angle AEF $，
又 $ \because \angle BEC = \angle HEC $，
$ \therefore 2\angle GEF + 2\angle HEC = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle CEF = 90^{\circ} $。
$ \because \angle CEH + \angle HCE = 90^{\circ} $，$ \angle FEG + \angle CEH = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle GEF = \angle HCE $。
在 $ \triangle FGE $ 和 $ \triangle EHC $ 中，$ \begin{cases} \angle FGE = \angle CHE \\ \angle GEF = \angle HCE \\ CH = EG \end{cases} $
$ \therefore \triangle FGE \cong \triangle EHC $，$ \therefore FG = EH = AF = BE = \sqrt{2} $，
$ \therefore AB = AE + BE = AD + AF = \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2 $。
AD的长为
(1) 求证:$EG= CH$;
证明：由折叠知 $ AE = AD = EG $，$ BC = CH $，
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
$ \therefore AD = BC $，$ \therefore EG = CH $。
(2) 已知$AF= \sqrt{2}$,求AD和AB的长.
解：$ \because \angle ADE = 45^{\circ} $，$ \angle FGE = \angle A = 90^{\circ} $，$ AF = \sqrt{2} $，
$ \therefore DG = GF = \sqrt{2} $，$ DF = \sqrt{DG^{2} + GF^{2}} = 2 $，
$ \therefore AD = AF + DF = \sqrt{2} + 2 $。$ \because \angle GEF = \angle AEF $，
又 $ \because \angle BEC = \angle HEC $，
$ \therefore 2\angle GEF + 2\angle HEC = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle CEF = 90^{\circ} $。
$ \because \angle CEH + \angle HCE = 90^{\circ} $，$ \angle FEG + \angle CEH = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle GEF = \angle HCE $。
在 $ \triangle FGE $ 和 $ \triangle EHC $ 中，$ \begin{cases} \angle FGE = \angle CHE \\ \angle GEF = \angle HCE \\ CH = EG \end{cases} $
$ \therefore \triangle FGE \cong \triangle EHC $，$ \therefore FG = EH = AF = BE = \sqrt{2} $，
$ \therefore AB = AE + BE = AD + AF = \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2 $。
AD的长为
$2+\sqrt{2}$
，AB的长为$2+2\sqrt{2}$
。答案
(1) 证明：由折叠知 $ AE = AD = EG $，$ BC = CH $，
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
$ \therefore AD = BC $，$ \therefore EG = CH $。
(2) 解：$ \because \angle ADE = 45^{\circ} $，$ \angle FGE = \angle A = 90^{\circ} $，$ AF = \sqrt{2} $，
$ \therefore DG = GF = \sqrt{2} $，$ DF = \sqrt{DG^{2} + GF^{2}} = 2 $，
$ \therefore AD = AF + DF = \sqrt{2} + 2 $。$ \because \angle GEF = \angle AEF $，
又 $ \because \angle BEC = \angle HEC $，
$ \therefore 2\angle GEF + 2\angle HEC = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle CEF = 90^{\circ} $。
$ \because \angle CEH + \angle HCE = 90^{\circ} $，$ \angle FEG + \angle CEH = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle GEF = \angle HCE $。
在 $ \triangle FGE $ 和 $ \triangle EHC $ 中，$ \begin{cases} \angle FGE = \angle CHE \\ \angle GEF = \angle HCE \\ CH = EG \end{cases} $
$ \therefore \triangle FGE \cong \triangle EHC $，$ \therefore FG = EH = AF = BE = \sqrt{2} $，
$ \therefore AB = AE + BE = AD + AF = \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2 $。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
$ \therefore AD = BC $，$ \therefore EG = CH $。
(2) 解：$ \because \angle ADE = 45^{\circ} $，$ \angle FGE = \angle A = 90^{\circ} $，$ AF = \sqrt{2} $，
$ \therefore DG = GF = \sqrt{2} $，$ DF = \sqrt{DG^{2} + GF^{2}} = 2 $，
$ \therefore AD = AF + DF = \sqrt{2} + 2 $。$ \because \angle GEF = \angle AEF $，
又 $ \because \angle BEC = \angle HEC $，
$ \therefore 2\angle GEF + 2\angle HEC = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle CEF = 90^{\circ} $。
$ \because \angle CEH + \angle HCE = 90^{\circ} $，$ \angle FEG + \angle CEH = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle GEF = \angle HCE $。
在 $ \triangle FGE $ 和 $ \triangle EHC $ 中，$ \begin{cases} \angle FGE = \angle CHE \\ \angle GEF = \angle HCE \\ CH = EG \end{cases} $
$ \therefore \triangle FGE \cong \triangle EHC $，$ \therefore FG = EH = AF = BE = \sqrt{2} $，
$ \therefore AB = AE + BE = AD + AF = \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2 $。
24. (10分)如图综-10(1),矩形OABC摆放在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点C在y轴上,$OA= 3$,$OC= 2$,过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P,且点P不与点B、C重合,过点P作$\angle CPD= \angle APB$,$PD$交x轴于点D,交y轴于点E.
(1) 若$\triangle APD$为等腰直角三角形.
①求直线AP的函数解析式;
②在x轴上另有一点G的坐标为$(2,0)$,请在直线AP和y轴上分别找一点M、N,使$\triangle GMN$的周长最小,并求出此时点N的坐标和$\triangle GMN$周长的最小值.
(2) 如图综-10(2),过点E作$EF// AP$交x轴于点F,若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求直线PE的解析式.
(1) 若$\triangle APD$为等腰直角三角形.
①求直线AP的函数解析式;
②在x轴上另有一点G的坐标为$(2,0)$,请在直线AP和y轴上分别找一点M、N,使$\triangle GMN$的周长最小,并求出此时点N的坐标和$\triangle GMN$周长的最小值.
(2) 如图综-10(2),过点E作$EF// AP$交x轴于点F,若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求直线PE的解析式.
答案
(1) ① $ \because $ 矩形 $ OABC $，$ OA = 3 $，$ OC = 2 $
$ \therefore A(3, 0) $，$ C(0, 2) $，$ B(3, 2) $，
$ AO // BC $，$ AO = BC = 3 $，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ CO = AB = 2 $
$ \because \triangle APD $ 为等腰直角三角形 $ \therefore \angle PAD = 45^{\circ} $
$ \because AO // BC $ $ \therefore \angle BPA = \angle PAD = 45^{\circ} $
$ \because \angle B = 90^{\circ} $ $ \therefore \angle BAP = \angle BPA = 45^{\circ} $
$ \therefore BP = AB = 2 $ $ \therefore P(1, 2) $
设直线 $ AP $ 解析式 $ y = kx + b $，$ k \neq 0 $，过点 $ A $、点 $ P $
$ \therefore \begin{cases} 2 = k + b \\ 0 = 3k + b \end{cases} $ $ \therefore \begin{cases} k = -1 \\ b = 3 \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ AP $ 解析式 $ y = -x + 3 $
② 作 $ G $ 点关于 $ y $ 轴对称点 $ G'(-2, 0) $，作点 $ G $ 关于直线 $ AP $ 对称点 $ G''(3, 1) $
连接 $ G'G'' $ 交 $ y $ 轴于 $ N $，交直线 $ AP $ 于 $ M $，此时 $ \triangle GMN $ 周长的最小。
$ \because G'(-2, 0) $，$ G''(3, 1) $
$ \therefore $ 直线 $ G'G'' $ 解析式 $ y = \frac{1}{5}x + \frac{2}{5} $
当 $ x = 0 $ 时，$ y = \frac{2}{5} $，$ \therefore N(0, \frac{2}{5}) $
$ \because G'G'' = \sqrt{26} $
$ \therefore \triangle GMN $ 周长的最小值为 $ \sqrt{26} $
(2) 如图：作 $ PM \perp AD $ 于 $ M $
$ \because BC // OA $
$ \therefore \angle CPD = \angle PDA $ 且 $ \angle CPD = \angle APB $
$ \therefore PD = PA $，且 $ PM \perp AD $ $ \therefore DM = AM $
$ \because $ 四边形 $ PAEF $ 是平行四边形 $ \therefore PD = DE $
又 $ \because \angle PMD = \angle DOE $，$ \angle ODE = \angle PDM $
$ \therefore \triangle PMD \cong \triangle ODE $
$ \therefore OD = DM $，$ OE = PM $ $ \therefore OD = DM = MA $
$ \because PM = 2 $，$ OA = 3 $ $ \therefore OE = 2 $，$ OM = 2 $
$ \therefore E(0, -2) $，$ P(2, 2) $
设直线 $ PE $ 的解析式 $ y = mx + n $
$ \begin{cases} n = -2 \\ 2 = 2m + n \end{cases} $ $ \therefore \begin{cases} m = 2 \\ n = -2 \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ PE $ 解析式 $ y = 2x - 2 $
