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1. 如图,小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片,则他支起的这个点应是三角形的(
A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
D
).A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确：用铅笔支起质地均匀的三角形卡片并保持平衡，说明这个支撑点是三角形的重心，即三角形的重力平衡点。接下来只需要回忆三角形各特殊线段交点的定义和性质，逐一匹配选项即可找到正确答案。
【解析】
质地均匀的三角形卡片能被支起保持平衡，说明支撑点是该三角形的重心，结合各选项分析：
A. 三角形三边高的交点是垂心，不是重心，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心（内切圆圆心），特点是到三边距离相等，不是重心，不符合要求；
C. 三角形三边垂直平分线的交点是外心（外接圆圆心），特点是到三个顶点距离相等，不是重心，不符合要求；
D. 三角形三边中线的交点是重心，质地均匀的三角形的重心就是其平衡支撑点，符合要求。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心的定义；三角形特殊线段交点的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角形相关基础概念，解题关键是准确区分三角形不同特殊线段交点的名称和对应性质，将生活中的平衡现象和数学中的重心概念对应即可解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确：用铅笔支起质地均匀的三角形卡片并保持平衡，说明这个支撑点是三角形的重心，即三角形的重力平衡点。接下来只需要回忆三角形各特殊线段交点的定义和性质，逐一匹配选项即可找到正确答案。
【解析】
质地均匀的三角形卡片能被支起保持平衡，说明支撑点是该三角形的重心，结合各选项分析：
A. 三角形三边高的交点是垂心，不是重心，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心（内切圆圆心），特点是到三边距离相等，不是重心，不符合要求；
C. 三角形三边垂直平分线的交点是外心（外接圆圆心），特点是到三个顶点距离相等，不是重心，不符合要求；
D. 三角形三边中线的交点是重心，质地均匀的三角形的重心就是其平衡支撑点，符合要求。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心的定义；三角形特殊线段交点的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角形相关基础概念，解题关键是准确区分三角形不同特殊线段交点的名称和对应性质，将生活中的平衡现象和数学中的重心概念对应即可解题。
【难度系数】
0.8
2.如图,点O是$△ ABC$的重心,连接AO,并延长交BC于点D,连接BO,并延长交AC于点E.若$BC=6$,$AC=4$,则$BD+AE=$
5
.答案
2. 5
解析
【分析】
首先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，因此过重心的AD、BE分别是△ABC的BC边、AC边上的中线。根据中线的性质，中线平分对边，我们可以分别求出BD和AE的长度，再求和就能得到最终结果。
【解析】
∵点O是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，即D为BC中点，E为AC中点。
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$BD+AE=3+2=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的性质，中线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解三角形重心的概念，知道重心对应线段为三角形的中线，利用中线平分对边的性质即可快速计算求解。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，因此过重心的AD、BE分别是△ABC的BC边、AC边上的中线。根据中线的性质，中线平分对边，我们可以分别求出BD和AE的长度，再求和就能得到最终结果。
【解析】
∵点O是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，即D为BC中点，E为AC中点。
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$BD+AE=3+2=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的性质，中线的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解三角形重心的概念，知道重心对应线段为三角形的中线，利用中线平分对边的性质即可快速计算求解。
【难度系数】
0.8
3. 画出正六边形ABCDEF的重心. 
答案
3. 解 如图,点O就是所求作的点.
解析
【分析】
要确定正六边形的重心，首先回忆相关几何性质：正多边形是均匀对称的图形，它的重心与自身的几何中心（即中心对称的对称中心）重合，正六边形的几何中心是两组对顶点连线的交点。因此我们只需要作出两组过对顶点的对角线，两条对角线的交点就是正六边形的重心。
【解析】
1. 连接正六边形的相对顶点A、D，得到对角线AD；
2. 连接正六边形的相对顶点C、F，得到对角线CF；
3. 对角线AD与CF交于点O，点O即为正六边形ABCDEF的重心。
【答案】
如图,点O就是所求作的点.
【知识点】
正多边形性质，重心概念，中心对称图形特征
【点评】
本题属于基础作图类题目，解题关键是掌握正多边形重心和几何中心重合的性质，只需通过简单连线找交点即可完成作图，主要考查对基础几何概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9
要确定正六边形的重心，首先回忆相关几何性质：正多边形是均匀对称的图形，它的重心与自身的几何中心（即中心对称的对称中心）重合，正六边形的几何中心是两组对顶点连线的交点。因此我们只需要作出两组过对顶点的对角线，两条对角线的交点就是正六边形的重心。
【解析】
1. 连接正六边形的相对顶点A、D，得到对角线AD；
2. 连接正六边形的相对顶点C、F，得到对角线CF；
3. 对角线AD与CF交于点O，点O即为正六边形ABCDEF的重心。
【答案】
如图,点O就是所求作的点.
【知识点】
正多边形性质，重心概念，中心对称图形特征
【点评】
本题属于基础作图类题目，解题关键是掌握正多边形重心和几何中心重合的性质，只需通过简单连线找交点即可完成作图，主要考查对基础几何概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9
4.已知在平面直角坐标系上，有一个L形组合体是由长方形①和长方形②组成，长方形①的四个顶点坐标分别为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$；长方形②的四个顶点坐标分别为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$.求该L形组合体的重心坐标.
答案
4. 解 设该L形组合体的重心坐标为
$G(x,y)$,长方形①和长方形②的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$,面积分别为$S_1,S_2$,
由题意,得 $x_1=2,y_1=1,x_2=5.5$,
$y_2=3,S_1=4×2=8,S_2=3×2=6$,
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 = \frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2} y_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} y_2 = \frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,
故该L形组合体的重心坐标为
$G(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$.
$G(x,y)$,长方形①和长方形②的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$,面积分别为$S_1,S_2$,
由题意,得 $x_1=2,y_1=1,x_2=5.5$,
$y_2=3,S_1=4×2=8,S_2=3×2=6$,
则 $x = \frac{S_1}{S_1+S_2} x_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} x_2 = \frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2} y_1 + \frac{S_2}{S_1+S_2} y_2 = \frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,
故该L形组合体的重心坐标为
$G(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$.
解析
【分析】
解题可按三步开展：①规则均匀图形的重心为其几何中心，长方形的中心是对角线交点，可利用中点坐标公式分别求出两个长方形的重心坐标；②分别计算两个长方形的面积，面积是各部分对总重心的影响权重；③组合体的重心坐标需按面积加权计算，即分别对x、y坐标用“各部分面积×对应重心坐标的和除以总面积”的方法求解即可。
【解析】
解：设L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$，长方形①的重心为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形②的重心为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
1. 求两个长方形的重心坐标：
长方形①的顶点为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$，其中心横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，即$x_1=2,y_1=1$；
长方形②的顶点为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$，其中心横坐标为$\frac{4+7}{2}=5.5$，纵坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，即$x_2=5.5,y_2=3$。
2. 计算两个长方形的面积：
$S_1=4×2=8$，$S_2=(7-4)×(4-2)=6$，总面积为$S_1+S_2=14$。
3. 计算组合体重心坐标：
$x=\frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2}=\frac{8×2 + 6×5.5}{14}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$
$y=\frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2}=\frac{8×1 + 6×3}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$
【答案】
$(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$
【知识点】
组合体重心计算，长方形性质，坐标运算
【点评】
本题考查规则组合图形的重心求解，解题关键是将复杂组合体拆解为熟悉的规则图形，利用规则图形的重心结合面积权重计算总重心，解题过程中需注意坐标取值和数值计算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题可按三步开展：①规则均匀图形的重心为其几何中心，长方形的中心是对角线交点，可利用中点坐标公式分别求出两个长方形的重心坐标；②分别计算两个长方形的面积，面积是各部分对总重心的影响权重；③组合体的重心坐标需按面积加权计算，即分别对x、y坐标用“各部分面积×对应重心坐标的和除以总面积”的方法求解即可。
【解析】
解：设L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$，长方形①的重心为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形②的重心为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
1. 求两个长方形的重心坐标：
长方形①的顶点为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$，其中心横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，即$x_1=2,y_1=1$；
长方形②的顶点为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$，其中心横坐标为$\frac{4+7}{2}=5.5$，纵坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，即$x_2=5.5,y_2=3$。
2. 计算两个长方形的面积：
$S_1=4×2=8$，$S_2=(7-4)×(4-2)=6$，总面积为$S_1+S_2=14$。
3. 计算组合体重心坐标：
$x=\frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2}=\frac{8×2 + 6×5.5}{14}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$
$y=\frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2}=\frac{8×1 + 6×3}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$
【答案】
$(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$
【知识点】
组合体重心计算，长方形性质，坐标运算
【点评】
本题考查规则组合图形的重心求解，解题关键是将复杂组合体拆解为熟悉的规则图形，利用规则图形的重心结合面积权重计算总重心，解题过程中需注意坐标取值和数值计算的准确性。
【难度系数】
0.7
