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14. 嘉嘉准备完成题目“$( \blacksquare \sqrt{\dfrac{1}{27}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{18} ) - ( \sqrt{\dfrac{4}{3}} - \sqrt{8} )$”时，发现■处的数字印刷不清楚。
（1）他把■处的数猜成6，请你计算$( 6\sqrt{\dfrac{1}{27}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{18} ) - ( \sqrt{\dfrac{4}{3}} - \sqrt{8} )$的结果。
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是$-\sqrt{3}$。”请你通过计算说明原题中■处的数是几。
（1）他把■处的数猜成6，请你计算$( 6\sqrt{\dfrac{1}{27}} - \dfrac{2}{3}\sqrt{18} ) - ( \sqrt{\dfrac{4}{3}} - \sqrt{8} )$的结果。
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是$-\sqrt{3}$。”请你通过计算说明原题中■处的数是几。
答案
(1) 原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}=0$ (2) 设原题中■处的数是$a$，则原式$=(a\sqrt{\frac{1}{27}}-\frac{2}{3}\sqrt{18})-(\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{8})=a×\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{3}}{9}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}=\frac{(a - 6)\sqrt{3}}{9}=-\sqrt{3}$. 解得$a = -3$. 所以原题中■处的数是$-3$
解析
【分析】
（1）第一问的解题思路：先将式子中所有二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可得到计算结果。
（2）第二问的解题思路：设■处的数为a，先按照二次根式加减的运算规则化简原式，再根据标准答案为$-\sqrt{3}$列关于a的一元一次方程，解方程即可求出■处的数。
【解析】
（1）先化简各二次根式：$\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=0\end{aligned}$
（2）设原题中■处的数是$a$，代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a\sqrt{\frac{1}{27}}-\frac{2}{3}\sqrt{18})-(\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{8})\\&=a×\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=\frac{a\sqrt{3}}{9}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=\frac{(a-6)\sqrt{3}}{9}\end{aligned}$
由题意得$\frac{(a-6)\sqrt{3}}{9}=-\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{a-6}{9}=-1$，解得$a=-3$。
【答案】
（1）$\boxed{0}$；（2）$\boxed{-3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，解一元一次方程
【点评】
本题围绕二次根式的加减运算设置问题，核心考查“先化简再合并同类二次根式”的运算规则，第二问结合方程思想求解未知系数，侧重对基础运算能力和方程思想应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的解题思路：先将式子中所有二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可得到计算结果。
（2）第二问的解题思路：设■处的数为a，先按照二次根式加减的运算规则化简原式，再根据标准答案为$-\sqrt{3}$列关于a的一元一次方程，解方程即可求出■处的数。
【解析】
（1）先化简各二次根式：$\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=0\end{aligned}$
（2）设原题中■处的数是$a$，代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a\sqrt{\frac{1}{27}}-\frac{2}{3}\sqrt{18})-(\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{8})\\&=a×\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}×3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=\frac{a\sqrt{3}}{9}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}\\&=\frac{(a-6)\sqrt{3}}{9}\end{aligned}$
由题意得$\frac{(a-6)\sqrt{3}}{9}=-\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{a-6}{9}=-1$，解得$a=-3$。
【答案】
（1）$\boxed{0}$；（2）$\boxed{-3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，解一元一次方程
【点评】
本题围绕二次根式的加减运算设置问题，核心考查“先化简再合并同类二次根式”的运算规则，第二问结合方程思想求解未知系数，侧重对基础运算能力和方程思想应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
1.（河北中考）计算：$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=$ 【 】
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
B
解析
【分析】
观察算式的结构，两个因式中$\sqrt{10}$是相同项，$\sqrt{6}$和$-\sqrt{6}$是相反项，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以直接套用平方差公式简化计算。首先明确公式中$a=\sqrt{10}$、$b=\sqrt{6}$，再代入公式，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可得到结果，无需展开逐项计算，可提升运算效率、降低出错概率。
【解析】
利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})&=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{6})^2\\&=10-6\\&=4\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1.平方差公式 2.二次根式的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，熟练识别乘法公式的结构特征是快速解题的关键，能有效避免复杂的逐项展开计算。
【难度系数】
0.8
观察算式的结构，两个因式中$\sqrt{10}$是相同项，$\sqrt{6}$和$-\sqrt{6}$是相反项，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征，因此可以直接套用平方差公式简化计算。首先明确公式中$a=\sqrt{10}$、$b=\sqrt{6}$，再代入公式，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算即可得到结果，无需展开逐项计算，可提升运算效率、降低出错概率。
【解析】
利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})&=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{6})^2\\&=10-6\\&=4\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1.平方差公式 2.二次根式的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，熟练识别乘法公式的结构特征是快速解题的关键，能有效避免复杂的逐项展开计算。
【难度系数】
0.8
2. (大连模拟)下列各式中，正确的是 【 】
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 9$
C.$(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 4$
D.$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5$
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 9$
C.$(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 4$
D.$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，与选项给出的结果对比判断正误，涉及二次根式的化简、四则运算法则、乘法公式的应用：①二次根式加减要先化简为最简二次根式再合并同类二次根式；②二次根式除法可先写为根号下两数相除再化简；③符合乘法公式特征的可以用乘法公式简化计算。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，A错误；
选项B：根据二次根式除法法则，$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=\sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3≠9$，B错误；
选项C：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4$，C正确；
选项D：利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}≠5$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的化简、运算法则，以及常用乘法公式的应用，计算时要注意不要漏项，避免因公式记错导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，与选项给出的结果对比判断正误，涉及二次根式的化简、四则运算法则、乘法公式的应用：①二次根式加减要先化简为最简二次根式再合并同类二次根式；②二次根式除法可先写为根号下两数相除再化简；③符合乘法公式特征的可以用乘法公式简化计算。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，A错误；
选项B：根据二次根式除法法则，$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=\sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3≠9$，B错误；
选项C：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4$，C正确；
选项D：利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}≠5$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心是熟练掌握二次根式的化简、运算法则，以及常用乘法公式的应用，计算时要注意不要漏项，避免因公式记错导致错误。
【难度系数】
0.8
3. 已知$m=(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})×\sqrt{2}$，则实数$m$的取值范围为【 】
A.$1＜m＜2$
B.$2＜m＜3$
C.$3＜m＜4$
D.$4＜m＜5$
A.$1＜m＜2$
B.$2＜m＜3$
C.$3＜m＜4$
D.$4＜m＜5$
答案
B
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先利用二次根式的乘法分配律化简给定的m的表达式，得到含有无理数√3的最简形式；第二步估算√3的取值范围，再利用不等式的性质计算出m的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
首先化简m的表达式：
$\begin{aligned}m&=(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})×\sqrt{2}\\&=2\sqrt{6}×\sqrt{2} - 2\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=2\sqrt{12} - 2×(\sqrt{2})^2\\&=2×2\sqrt{3} - 2×2\\&=4\sqrt{3} - 4\end{aligned}$
接下来估算√3的范围：
因为$1.7^2=2.89$，$1.75^2=3.0625$，所以$1.7＜\sqrt{3}＜1.75$。
根据不等式的性质，三边同时乘4得：$6.8＜4\sqrt{3}＜7$，
三边同时减4得：$6.8-4＜4\sqrt{3}-4＜7-4$，即$2.8＜m＜3$，
因此$2＜m＜3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的乘法运算
2. 无理数的大小估算
3. 不等式的性质
【点评】
本题是二次根式运算结合无理数估算的常规题型，先化简再估算是解决这类问题的核心思路，需要熟练掌握二次根式的运算法则，记住常见无理数的近似值可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先利用二次根式的乘法分配律化简给定的m的表达式，得到含有无理数√3的最简形式；第二步估算√3的取值范围，再利用不等式的性质计算出m的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
首先化简m的表达式：
$\begin{aligned}m&=(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})×\sqrt{2}\\&=2\sqrt{6}×\sqrt{2} - 2\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=2\sqrt{12} - 2×(\sqrt{2})^2\\&=2×2\sqrt{3} - 2×2\\&=4\sqrt{3} - 4\end{aligned}$
接下来估算√3的范围：
因为$1.7^2=2.89$，$1.75^2=3.0625$，所以$1.7＜\sqrt{3}＜1.75$。
根据不等式的性质，三边同时乘4得：$6.8＜4\sqrt{3}＜7$，
三边同时减4得：$6.8-4＜4\sqrt{3}-4＜7-4$，即$2.8＜m＜3$，
因此$2＜m＜3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的乘法运算
2. 无理数的大小估算
3. 不等式的性质
【点评】
本题是二次根式运算结合无理数估算的常规题型，先化简再估算是解决这类问题的核心思路，需要熟练掌握二次根式的运算法则，记住常见无理数的近似值可以提升解题速度。
【难度系数】
0.7
4. 计算:(1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=$
1
;(2) $(4+3\sqrt{5})^2=$ $61+24\sqrt{5}$
.答案
4. (1) 1 (2) $61+24\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题考查乘法公式在二次根式运算中的应用，解题思路如下：
(1) 观察第一个算式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，其中$a=\sqrt{2}$，$b=1$，直接代入公式计算即可，计算时注意二次根式平方的运算规则$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$。
(2) 观察第二个算式，是两个数和的平方，符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构特征，其中$a=4$，$b=3\sqrt{5}$，代入公式后分别计算每一项，再合并常数项即可得到结果。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)&=(\sqrt{2})^2 - 1^2\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
(2) 利用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}(4+3\sqrt{5})^2&=4^2 + 2×4×3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2\\&=16 + 24\sqrt{5} + 9×5\\&=16 + 24\sqrt{5} + 45\\&=61 + 24\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{61+24\sqrt{5}}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础常考题型，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，熟记乘法公式的结构特征、准确计算二次根式的乘方和乘法即可顺利解题，此类题型需要熟练掌握，为后续复杂运算打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查乘法公式在二次根式运算中的应用，解题思路如下：
(1) 观察第一个算式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，其中$a=\sqrt{2}$，$b=1$，直接代入公式计算即可，计算时注意二次根式平方的运算规则$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$。
(2) 观察第二个算式，是两个数和的平方，符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构特征，其中$a=4$，$b=3\sqrt{5}$，代入公式后分别计算每一项，再合并常数项即可得到结果。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)&=(\sqrt{2})^2 - 1^2\\&=2 - 1\\&=1\end{aligned}$
(2) 利用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}(4+3\sqrt{5})^2&=4^2 + 2×4×3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2\\&=16 + 24\sqrt{5} + 9×5\\&=16 + 24\sqrt{5} + 45\\&=61 + 24\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{61+24\sqrt{5}}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础常考题型，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，熟记乘法公式的结构特征、准确计算二次根式的乘方和乘法即可顺利解题，此类题型需要熟练掌握，为后续复杂运算打好基础。
【难度系数】
0.9
5. 计算:(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}} =$
$\frac{1}{3}$
；(2) $(\sqrt{27}-\sqrt{12})×\sqrt{\frac{1}{3}} =$ 1
；(3) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 - \sqrt{24} =$ 5
；(4) $(3\sqrt{2}+\sqrt{6})(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) =$ 12
。答案
5. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 1 (3) 5 (4) 12
解析
【分析】
这4道题均属于二次根式的混合运算题型，解题通用思路如下：①先将式子中所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②观察式子结构特征，优先选择简便方法计算：符合乘法公式（平方差、完全平方公式）结构的直接套用公式，有括号的可结合分配律简化运算，分母含二次根式的可先合并分母的同类二次根式再约分，或进行分母有理化；③最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
原式$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$；
(2) 利用乘法分配律计算更简便：
原式$=\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27×\frac{1}{3}}-\sqrt{12×\frac{1}{3}}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$；
(3) 先利用完全平方公式展开，再化简$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$：
原式$=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6}=3+2\sqrt{6}+2-2\sqrt{6}=5$；
(4) 观察式子符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式：
原式$=(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2=9×2 - 6=18-6=12$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $1$；(3) $5$；(4) $12$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础练习题，侧重考察二次根式运算法则和乘法公式的灵活运用，计算前先观察式子特征选择简便方法，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
这4道题均属于二次根式的混合运算题型，解题通用思路如下：①先将式子中所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②观察式子结构特征，优先选择简便方法计算：符合乘法公式（平方差、完全平方公式）结构的直接套用公式，有括号的可结合分配律简化运算，分母含二次根式的可先合并分母的同类二次根式再约分，或进行分母有理化；③最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
原式$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$；
(2) 利用乘法分配律计算更简便：
原式$=\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27×\frac{1}{3}}-\sqrt{12×\frac{1}{3}}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$；
(3) 先利用完全平方公式展开，再化简$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$：
原式$=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6}=3+2\sqrt{6}+2-2\sqrt{6}=5$；
(4) 观察式子符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式：
原式$=(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2=9×2 - 6=18-6=12$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $1$；(3) $5$；(4) $12$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础练习题，侧重考察二次根式运算法则和乘法公式的灵活运用，计算前先观察式子特征选择简便方法，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
