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6. 按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为$\sqrt{5}$，则输出的值为
$27+10\sqrt{5}$
。答案
6. $27+10\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先根据流程图的操作步骤，先列出输出结果对应的代数式，再将$x=\sqrt{5}$代入代数式，运用完全平方公式展开计算，最后合并同类项得到结果。第一步：梳理运算顺序，输入x后先加5，再平方，最后减3，因此输出的代数式为$(x+5)^2-3$；第二步：代入x的值，结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开计算，注意二次根式平方的运算规则，最后合并常数项即可。
【解析】
根据图示的操作步骤，可得输出的代数式为：$(x+5)^2 - 3$
将$x=\sqrt{5}$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}+5)^2 - 3\\&=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×5 + 5^2 - 3\\&=5 + 10\sqrt{5} + 25 - 3\\&=27 + 10\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$27+10\sqrt{5}$
【知识点】
列代数式、二次根式混合运算、完全平方公式
【点评】
本题结合流程图考查代数式求值问题，解题关键是准确根据运算顺序列出代数式，计算时要正确运用完全平方公式，避免出现漏乘$2ab$项的错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据流程图的操作步骤，先列出输出结果对应的代数式，再将$x=\sqrt{5}$代入代数式，运用完全平方公式展开计算，最后合并同类项得到结果。第一步：梳理运算顺序，输入x后先加5，再平方，最后减3，因此输出的代数式为$(x+5)^2-3$；第二步：代入x的值，结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开计算，注意二次根式平方的运算规则，最后合并常数项即可。
【解析】
根据图示的操作步骤，可得输出的代数式为：$(x+5)^2 - 3$
将$x=\sqrt{5}$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{5}+5)^2 - 3\\&=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×5 + 5^2 - 3\\&=5 + 10\sqrt{5} + 25 - 3\\&=27 + 10\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$27+10\sqrt{5}$
【知识点】
列代数式、二次根式混合运算、完全平方公式
【点评】
本题结合流程图考查代数式求值问题，解题关键是准确根据运算顺序列出代数式，计算时要正确运用完全平方公式，避免出现漏乘$2ab$项的错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2) $(\sqrt{2} - 1)^2 + \sqrt{32} - (\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)$。
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2) $(\sqrt{2} - 1)^2 + \sqrt{32} - (\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)$。
答案
(1) $4+\sqrt{6}$ (2) $7+2\sqrt{2}$
解析
【分析】
二次根式混合运算的顺序和整式混合运算一致，先算乘方、乘除，后算加减，有括号先算括号内的，同时可结合乘法公式简化计算。
对于(1)：先根据二次根式乘除法则分别计算除法和乘法，再将所有二次根式化为最简，最后合并同类二次根式即可。
对于(2)：先利用完全平方公式计算乘方、平方差公式计算多项式乘法，再化简二次根式，最后合并同类项和同类二次根式。
【解析】
(1) 按先乘除后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{48÷3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}×12} + \sqrt{24}\\&=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}\\&=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}\\&=4+\sqrt{6}\end{aligned}$
(2) 先算乘方和乘法，再化简合并：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 + 4\sqrt{2} - [(\sqrt{5})^2 - 3^2]\\&=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 4\sqrt{2} - (5 - 9)\\&=3 + 2\sqrt{2} - (-4)\\&=3 + 2\sqrt{2} + 4\\&=7 + 2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4+\sqrt{6}}$；(2) $\boxed{7+2\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题时要注意运算顺序，正确套用乘法公式可大幅简化计算，化简二次根式后要注意只有同类二次根式才能合并，计算时要注意符号问题，尤其是减去多项式整体时不要漏变号。
【难度系数】
0.7
二次根式混合运算的顺序和整式混合运算一致，先算乘方、乘除，后算加减，有括号先算括号内的，同时可结合乘法公式简化计算。
对于(1)：先根据二次根式乘除法则分别计算除法和乘法，再将所有二次根式化为最简，最后合并同类二次根式即可。
对于(2)：先利用完全平方公式计算乘方、平方差公式计算多项式乘法，再化简二次根式，最后合并同类项和同类二次根式。
【解析】
(1) 按先乘除后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{48÷3} - \sqrt{\dfrac{1}{2}×12} + \sqrt{24}\\&=\sqrt{16} - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}\\&=4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6}\\&=4+\sqrt{6}\end{aligned}$
(2) 先算乘方和乘法，再化简合并：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 + 4\sqrt{2} - [(\sqrt{5})^2 - 3^2]\\&=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 4\sqrt{2} - (5 - 9)\\&=3 + 2\sqrt{2} - (-4)\\&=3 + 2\sqrt{2} + 4\\&=7 + 2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4+\sqrt{6}}$；(2) $\boxed{7+2\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题时要注意运算顺序，正确套用乘法公式可大幅简化计算，化简二次根式后要注意只有同类二次根式才能合并，计算时要注意符号问题，尤其是减去多项式整体时不要漏变号。
【难度系数】
0.7
8. 以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程,请认真阅读,完成相应的任务.
解：$(\sqrt{2} - 1)^2(3 + 2\sqrt{2})$
$=(2 - 2\sqrt{2} + 1)(3 + 2\sqrt{2})$……第一步
$=(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$……第二步
$=9 - 4$……第三步
$=5.$……第四步
【任务】(1) 上述解答过程中,第一步依据的乘法公式为
（2）上述解答过程,从第
（3）请写出正确的计算过程.
解：$(\sqrt{2} - 1)^2(3 + 2\sqrt{2})$
$=(2 - 2\sqrt{2} + 1)(3 + 2\sqrt{2})$……第一步
$=(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$……第二步
$=9 - 4$……第三步
$=5.$……第四步
【任务】(1) 上述解答过程中,第一步依据的乘法公式为
完全平方公式
（填“平方差公式”或“完全平方公式”）；（2）上述解答过程,从第
三
步开始出错；（3）请写出正确的计算过程.
答案
8. (1) 完全平方公式 (2) 三 (3) 原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
解析
【分析】
(1) 观察第一步的运算，是将二项式的平方展开为三项式，符合完全平方公式的结构特征，由此可判断对应的公式；
(2) 逐步骤核验运算：第二步得到的是两数差乘两数和的形式，符合平方差公式结构，应用公式时需注意第二个项是$2\sqrt{2}$，计算它的平方时系数和根号内的数都要分别平方，原第三步错误将$(2\sqrt{2})^2$算成4，因此从第三步开始出错；
(3) 正确计算时，先利用完全平方公式展开第一个因式，再利用平方差公式计算两个因式的乘积，最后计算减法得到结果即可。
【解析】
(1) 第一步对$(\sqrt{2}-1)^2$展开，运用的是完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，因此依据的乘法公式为完全平方公式；
(2) 第三步应用平方差公式计算时，$(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$，原步骤错误将其计算为4，因此从第三步开始出错；
(3) 正确计算过程如下：
原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=3^2-(2\sqrt{2})^2$
$=9-8$
$=1$
【答案】
(1) 完全平方公式 (2) 三 (3) 原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题围绕二次根式的混合运算设置考点，核心是对乘法公式的准确识别与应用，解题时要注意带系数的二次根式平方运算中，系数也要同步平方，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.75
(1) 观察第一步的运算，是将二项式的平方展开为三项式，符合完全平方公式的结构特征，由此可判断对应的公式；
(2) 逐步骤核验运算：第二步得到的是两数差乘两数和的形式，符合平方差公式结构，应用公式时需注意第二个项是$2\sqrt{2}$，计算它的平方时系数和根号内的数都要分别平方，原第三步错误将$(2\sqrt{2})^2$算成4，因此从第三步开始出错；
(3) 正确计算时，先利用完全平方公式展开第一个因式，再利用平方差公式计算两个因式的乘积，最后计算减法得到结果即可。
【解析】
(1) 第一步对$(\sqrt{2}-1)^2$展开，运用的是完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，因此依据的乘法公式为完全平方公式；
(2) 第三步应用平方差公式计算时，$(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$，原步骤错误将其计算为4，因此从第三步开始出错；
(3) 正确计算过程如下：
原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})$
$=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$
$=3^2-(2\sqrt{2})^2$
$=9-8$
$=1$
【答案】
(1) 完全平方公式 (2) 三 (3) 原式$=(2-2\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题围绕二次根式的混合运算设置考点，核心是对乘法公式的准确识别与应用，解题时要注意带系数的二次根式平方运算中，系数也要同步平方，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.75
