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9. 已知$6+\sqrt{13}$的整数部分为$a$，$6-\sqrt{13}$的小数部分为$b$，则$a-b$的值为 【 】
A.12
B.$2\sqrt{13}$
C.$5+\sqrt{13}$
D.$5-\sqrt{13}$
A.12
B.$2\sqrt{13}$
C.$5+\sqrt{13}$
D.$5-\sqrt{13}$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，核心是先估算出无理数$\sqrt{13}$的取值范围，再据此分别求出$6+\sqrt{13}$的整数部分$a$、$6-\sqrt{13}$的小数部分$b$，最后代入$a-b$计算即可。第一步先利用相邻平方数确定$\sqrt{13}$的范围：$3^2=9$，$4^2=16$，因此$3＜\sqrt{13}＜4$；第二步根据$\sqrt{13}$的范围推导$6+\sqrt{13}$的取值区间，得到整数部分$a$；第三步推导$6-\sqrt{13}$的取值区间，根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；最后代入计算$a-b$的结果。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$
求整数部分$a$：
给$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时加6，得：
$6+3 ＜ 6+\sqrt{13} ＜ 6+4$，即$9＜6+\sqrt{13}＜10$
$\therefore 6+\sqrt{13}$的整数部分$a=9$
求小数部分$b$：
给$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得：
$-4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$
两边同时加6，得：
$6-4 ＜ 6-\sqrt{13} ＜ 6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$
$\therefore 6-\sqrt{13}$的整数部分是2，小数部分$b=(6-\sqrt{13})-2=4-\sqrt{13}$
计算$a-b$：
$a-b=9-(4-\sqrt{13})=9-4+\sqrt{13}=5+\sqrt{13}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、二次根式的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数整数、小数部分的求解方法，解题关键是先准确估算出无理数的取值范围，计算时注意去括号的符号变化规则。
【难度系数】
0.7
要解决本题，核心是先估算出无理数$\sqrt{13}$的取值范围，再据此分别求出$6+\sqrt{13}$的整数部分$a$、$6-\sqrt{13}$的小数部分$b$，最后代入$a-b$计算即可。第一步先利用相邻平方数确定$\sqrt{13}$的范围：$3^2=9$，$4^2=16$，因此$3＜\sqrt{13}＜4$；第二步根据$\sqrt{13}$的范围推导$6+\sqrt{13}$的取值区间，得到整数部分$a$；第三步推导$6-\sqrt{13}$的取值区间，根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；最后代入计算$a-b$的结果。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$
求整数部分$a$：
给$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时加6，得：
$6+3 ＜ 6+\sqrt{13} ＜ 6+4$，即$9＜6+\sqrt{13}＜10$
$\therefore 6+\sqrt{13}$的整数部分$a=9$
求小数部分$b$：
给$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得：
$-4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$
两边同时加6，得：
$6-4 ＜ 6-\sqrt{13} ＜ 6-3$，即$2＜6-\sqrt{13}＜3$
$\therefore 6-\sqrt{13}$的整数部分是2，小数部分$b=(6-\sqrt{13})-2=4-\sqrt{13}$
计算$a-b$：
$a-b=9-(4-\sqrt{13})=9-4+\sqrt{13}=5+\sqrt{13}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、二次根式的加减运算
【点评】
本题重点考查无理数整数、小数部分的求解方法，解题关键是先准确估算出无理数的取值范围，计算时注意去括号的符号变化规则。
【难度系数】
0.7
10.（河北模拟）已知$\sqrt{27}+\sqrt{a}=3\sqrt{b}+2\sqrt{3}=c\sqrt{3}$，则$a+b-c=$
10
.答案
10. 10
解析
【分析】
解题时先将已知的$\sqrt{27}$化为最简二次根式，再根据“只有同类二次根式才能合并为单个二次根式”的规则，判断$3\sqrt{b}$与$2\sqrt{3}$是同类二次根式，先求出$b$的值，再合并同类二次根式得到$c$的值，最后代入第一个等式求出$a$的值，代入代数式$a+b-c$计算即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
2. 求$b$的值：由$3\sqrt{b}+2\sqrt{3}=c\sqrt{3}$可知，$3\sqrt{b}$与$2\sqrt{3}$是同类二次根式，且$\sqrt{b}$为最简二次根式时被开方数为3，因此$b=3$。
3. 求$c$的值：将$b=3$代入$3\sqrt{b}+2\sqrt{3}$，得$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(3+2)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，因此$c\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，即$c=5$。
4. 求$a$的值：由$\sqrt{27}+\sqrt{a}=c\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，代入$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，得$3\sqrt{3}+\sqrt{a}=5\sqrt{3}$，移项得$\sqrt{a}=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，两边平方得$a=(2\sqrt{3})^2=4×3=12$。
5. 计算$a+b-c$：代入$a=12,b=3,c=5$，得$a+b-c=12+3-5=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式，二次根式的加减
【点评】
本题核心考查二次根式加减的运算规则，解题关键是明确只有同类二次根式才能合并，需先将根式化为最简形式再进行运算，是二次根式加减章节的常规基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先将已知的$\sqrt{27}$化为最简二次根式，再根据“只有同类二次根式才能合并为单个二次根式”的规则，判断$3\sqrt{b}$与$2\sqrt{3}$是同类二次根式，先求出$b$的值，再合并同类二次根式得到$c$的值，最后代入第一个等式求出$a$的值，代入代数式$a+b-c$计算即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{27}$：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
2. 求$b$的值：由$3\sqrt{b}+2\sqrt{3}=c\sqrt{3}$可知，$3\sqrt{b}$与$2\sqrt{3}$是同类二次根式，且$\sqrt{b}$为最简二次根式时被开方数为3，因此$b=3$。
3. 求$c$的值：将$b=3$代入$3\sqrt{b}+2\sqrt{3}$，得$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(3+2)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，因此$c\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，即$c=5$。
4. 求$a$的值：由$\sqrt{27}+\sqrt{a}=c\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，代入$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，得$3\sqrt{3}+\sqrt{a}=5\sqrt{3}$，移项得$\sqrt{a}=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，两边平方得$a=(2\sqrt{3})^2=4×3=12$。
5. 计算$a+b-c$：代入$a=12,b=3,c=5$，得$a+b-c=12+3-5=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式，二次根式的加减
【点评】
本题核心考查二次根式加减的运算规则，解题关键是明确只有同类二次根式才能合并，需先将根式化为最简形式再进行运算，是二次根式加减章节的常规基础题。
【难度系数】
0.7
11. 我们规定“⊗”的意义是:当$a＞b$时，$a\otimes b=a+b$；当$a≤ b$时，$a\otimes b=a-b$，其他运算符号意义不变.按上述规定，$(\sqrt{3} \otimes 1)-(\sqrt{3} \otimes 2)=$
3
.答案
11. 3
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步，先明确“⊗”运算的两种规则，根据参与运算的两个数的大小关系选择对应运算公式；第二步，分别比较$\sqrt{3}$与1、$\sqrt{3}$与2的大小，确定两个“⊗”运算对应的计算方式；第三步，将运算结果代入原式，按照二次根式加减的运算法则化简计算即可得到最终结果。
【解析】
已知$\sqrt{3}\approx1.732$，因此：
1. 比较$\sqrt{3}$和1的大小：$\sqrt{3}＞1$，根据“当$a＞b$时，$a\otimes b=a+b$”的规则，可得$\sqrt{3}\otimes1=\sqrt{3}+1$；
2. 比较$\sqrt{3}$和2的大小：$\sqrt{3}＜2$，根据“当$a≤ b$时，$a\otimes b=a-b$”的规则，可得$\sqrt{3}\otimes2=\sqrt{3}-2$；
3. 代入原式计算：
$(\sqrt{3} \otimes 1)-(\sqrt{3} \otimes 2)$
$=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-2)$
$=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+2$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算、实数大小比较、二次根式加减
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力，难度较低，易错点是去括号时容易忽略括号前的负号导致符号错误，计算时注意细心判断大小、规范去括号即可。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步，先明确“⊗”运算的两种规则，根据参与运算的两个数的大小关系选择对应运算公式；第二步，分别比较$\sqrt{3}$与1、$\sqrt{3}$与2的大小，确定两个“⊗”运算对应的计算方式；第三步，将运算结果代入原式，按照二次根式加减的运算法则化简计算即可得到最终结果。
【解析】
已知$\sqrt{3}\approx1.732$，因此：
1. 比较$\sqrt{3}$和1的大小：$\sqrt{3}＞1$，根据“当$a＞b$时，$a\otimes b=a+b$”的规则，可得$\sqrt{3}\otimes1=\sqrt{3}+1$；
2. 比较$\sqrt{3}$和2的大小：$\sqrt{3}＜2$，根据“当$a≤ b$时，$a\otimes b=a-b$”的规则，可得$\sqrt{3}\otimes2=\sqrt{3}-2$；
3. 代入原式计算：
$(\sqrt{3} \otimes 1)-(\sqrt{3} \otimes 2)$
$=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-2)$
$=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+2$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算、实数大小比较、二次根式加减
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力，难度较低，易错点是去括号时容易忽略括号前的负号导致符号错误，计算时注意细心判断大小、规范去括号即可。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1) $(\sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}) - (\sqrt{\dfrac{1}{8}} + \sqrt{6})$；
(2) $\dfrac{1}{2}\sqrt{32} - 2\sqrt{75} + \sqrt{0.5} - 3\sqrt{\dfrac{1}{27}}$。
(1) $(\sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}) - (\sqrt{\dfrac{1}{8}} + \sqrt{6})$；
(2) $\dfrac{1}{2}\sqrt{32} - 2\sqrt{75} + \sqrt{0.5} - 3\sqrt{\dfrac{1}{27}}$。
答案
(1) $\sqrt{6}-\frac{3\sqrt{2}}{4}$ (2) $\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{31\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
二次根式加减运算的核心思路是“先化简、再合并”：第一步先处理括号（注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号），第二步将所有二次根式化为最简二次根式，第三步找出被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变即可。
【解析】
(1) 先去括号，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{24}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{6}\\&=2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}\\&=(2\sqrt{6}-\sqrt{6})+(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4})\\&=\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(2) 先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{1}{2}×4\sqrt{2}-2×5\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3×\dfrac{\sqrt{3}}{9}\\&=2\sqrt{2}-10\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\&=(2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2})+(-10\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3})\\&=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{31\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$；(2) $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{31\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，重点考查运算的规范性，计算时要注意去括号的符号变化，以及最简二次根式的化简准确性，合并同类二次根式时仅系数相加减，不要改动被开方数。
【难度系数】
0.7
二次根式加减运算的核心思路是“先化简、再合并”：第一步先处理括号（注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号），第二步将所有二次根式化为最简二次根式，第三步找出被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变即可。
【解析】
(1) 先去括号，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{24}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{6}\\&=2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}\\&=(2\sqrt{6}-\sqrt{6})+(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4})\\&=\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(2) 先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{1}{2}×4\sqrt{2}-2×5\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-3×\dfrac{\sqrt{3}}{9}\\&=2\sqrt{2}-10\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\&=(2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2})+(-10\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3})\\&=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{31\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$；(2) $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}-\dfrac{31\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，重点考查运算的规范性，计算时要注意去括号的符号变化，以及最简二次根式的化简准确性，合并同类二次根式时仅系数相加减，不要改动被开方数。
【难度系数】
0.7
13. 已知$a$、$b$、$c$满足$\sqrt{a - 5} + |b - 2\sqrt{5}| + (c - \sqrt{5})^2 = 0$.
(1) 求$a$、$b$、$c$的值.
(2) 试问:以$a$、$b$、$c$为三边长能否构成三角形?如果能,判断这个三角形是否是直角三角形;如果不能,请说明理由.
(1) 求$a$、$b$、$c$的值.
(2) 试问:以$a$、$b$、$c$为三边长能否构成三角形?如果能,判断这个三角形是否是直角三角形;如果不能,请说明理由.
答案
(1) 根据题意，得$a - 5 = 0$，$b - 2\sqrt{5} = 0$，$c - \sqrt{5} = 0$. 解得$a = 5$，$b = 2\sqrt{5}$，$c = \sqrt{5}$ (2) 能. 由(1)知，$a = 5$，$b = 2\sqrt{5}$，$c = \sqrt{5}$. $\because \sqrt{5} ＜ 2\sqrt{5} ＜ 5$，且$2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} ＞ 5$，即$b + c ＞ a$，$\therefore$以$a$、$b$、$c$为三边长能构成三角形. $\because b^2 + c^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 25 = 5^2 = a^2$，$\therefore$这个三角形是直角三角形
解析
【分析】
（1）算术平方根、绝对值、完全平方数都属于非负数，当多个非负数的和为0时，每一个非负数的取值都为0，因此我们可以分别令三个非负项对应的式子等于0，即可求出a、b、c的值。
（2）判断三边能否构成三角形，首先确定三边的大小关系，找到最长边，验证较短两边之和是否大于最长边，满足该条件即可构成三角形；判断是否为直角三角形，只需验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，符合即可判定为直角三角形。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{a - 5}≥0$，$|b - 2\sqrt{5}|≥0$，$(c - \sqrt{5})^2≥0$，且三者的和为0，因此每个非负项均为0，可得：
$a - 5 = 0$，$b - 2\sqrt{5} = 0$，$c - \sqrt{5} = 0$
解得：$a = 5$，$b = 2\sqrt{5}$，$c = \sqrt{5}$
(2) 能构成三角形，且为直角三角形，理由如下：
由(1)可知三边长为$a=5$，$b=2\sqrt{5}$，$c=\sqrt{5}$，先比较大小得$\sqrt{5} ＜ 2\sqrt{5} ＜ 5$，即最长边为$a=5$。
验证三边关系：较短两边之和$b + c = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$，$3\sqrt{5}=\sqrt{45}＞\sqrt{25}=5$，即$b + c ＞ a$，满足三角形三边关系，因此以a、b、c为三边长能构成三角形。
再验证是否为直角三角形：计算较短两边的平方和：$b^2 + c^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25$，最长边的平方$a^2 = 5^2 = 25$，可得$b^2 + c^2 = a^2$，符合勾股定理的逆定理，因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $a=5$，$b=2\sqrt{5}$，$c=\sqrt{5}$；
(2) 能构成三角形，该三角形是直角三角形。
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是掌握非负项和为0的性质，同时熟练运用三角形三边关系、勾股逆定理完成判定，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
（1）算术平方根、绝对值、完全平方数都属于非负数，当多个非负数的和为0时，每一个非负数的取值都为0，因此我们可以分别令三个非负项对应的式子等于0，即可求出a、b、c的值。
（2）判断三边能否构成三角形，首先确定三边的大小关系，找到最长边，验证较短两边之和是否大于最长边，满足该条件即可构成三角形；判断是否为直角三角形，只需验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，符合即可判定为直角三角形。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{a - 5}≥0$，$|b - 2\sqrt{5}|≥0$，$(c - \sqrt{5})^2≥0$，且三者的和为0，因此每个非负项均为0，可得：
$a - 5 = 0$，$b - 2\sqrt{5} = 0$，$c - \sqrt{5} = 0$
解得：$a = 5$，$b = 2\sqrt{5}$，$c = \sqrt{5}$
(2) 能构成三角形，且为直角三角形，理由如下：
由(1)可知三边长为$a=5$，$b=2\sqrt{5}$，$c=\sqrt{5}$，先比较大小得$\sqrt{5} ＜ 2\sqrt{5} ＜ 5$，即最长边为$a=5$。
验证三边关系：较短两边之和$b + c = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$，$3\sqrt{5}=\sqrt{45}＞\sqrt{25}=5$，即$b + c ＞ a$，满足三角形三边关系，因此以a、b、c为三边长能构成三角形。
再验证是否为直角三角形：计算较短两边的平方和：$b^2 + c^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25$，最长边的平方$a^2 = 5^2 = 25$，可得$b^2 + c^2 = a^2$，符合勾股定理的逆定理，因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $a=5$，$b=2\sqrt{5}$，$c=\sqrt{5}$；
(2) 能构成三角形，该三角形是直角三角形。
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是掌握非负项和为0的性质，同时熟练运用三角形三边关系、勾股逆定理完成判定，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
