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8.如图，直线$y=mx+n$与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于$A(-1,p),B(4,q)$两点，则关于$x$的不等式$mx+n＞ax^2+bx+c$的解集是
$x＜-1或x＞4$
。答案
8. $x＜-1或x＞4$
9.某同学进行了一次投篮,篮球准确落入篮筐内,建立如图所示的平面直角坐标系,篮球的运行轨迹可看作抛物线$y=-x^2+2x+2.6$的一部分,则篮球在空中运行的最大高度为
3.6
m.答案
9. 3.6
10.如图，利用一面墙，用40 m长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25 m，那么围成矩形场地的最大面积是
200
m².答案
10. 200
11. (2026湖南)如图,公路$l_1$与铁路$l_2$垂直交汇于河岸O点处,公路$l_1$与河岸的另一交点为A,其中河岸OCB段为抛物线的一部分,AB段为线段,$OA=7\ \mathrm{km},AB=5\ \mathrm{km}$,点B到公路$l_1$的距离$BD=3\ \mathrm{km}$,抛物线的顶点C到公路$l_1$与铁路$l_2$的距离分别为4 km与2 km.当地政府为了振兴乡村经济,拟开发河道与公路$l_1$围成的区域,用于生态放牧.为了放牧安全,准备用栅栏与河道围成封闭区域,如图,栅栏EF紧挨公路$l_1$(与公路$l_1$的距离忽略不计),栅栏$EH⊥ EF$,点H在该段抛物线上;栅栏$FG⊥ EF$,点G在线段AB上.以点O为坐标原点,直线$l_1$与$l_2$分别为x轴与y轴,规定1个单位长度为1 km,建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出点B的坐标;
(2)分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)点E到铁路$l_2$的距离小于1.5 km,$EH=2FG$,已知建1 km长栅栏的各项开支为2万元,建完栅栏需花费17万元.求栅栏EH到铁路$l_2$的距离.
(1)请直接写出点B的坐标;
(2)分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)点E到铁路$l_2$的距离小于1.5 km,$EH=2FG$,已知建1 km长栅栏的各项开支为2万元,建完栅栏需花费17万元.求栅栏EH到铁路$l_2$的距离.
答案
11. 解:(1)$B(3,3)$
(2)设直线AB的函数表达式为:$y=kx+b$，
将$A(7,0),B(3,3)$代入,得$\begin{cases}7k+b=0,\\3k+b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=\dfrac{21}{4},\end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数表达式为:$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{21}{4}$.
$\because$顶点C到$l_1$的距离为4 km,到$l_2$的距离为2 km,
$\therefore C(2,4)$,
$\therefore$设抛物线OCB的函数表达式为$y=a(x-2)^2+4$,
将$O(0,0)$代入得$0=4a+4$,
解得:$a=-1$,
$\therefore y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$,
$\therefore$抛物线OCB的函数表达式为:$y=-x^2+4x$.
(3)$\because$建1 km长栅栏的各项开支为2万元,建完栅栏需花费17万元,
$\therefore$栅栏总长为$\dfrac{17}{2}\ \mathrm{km}$,
$\therefore HE+EF+FG=\dfrac{17}{2}$.
设点E的坐标为$(e,0)$,且$0＜e＜3$,
$\because$点E到铁路$l_2$的距离小于1.5 km,
$\therefore e＜1.5$.
$\because$点H在抛物线$y=-x^2+4x$上,
$\therefore H(e,-e^2+4e)$,
$\therefore HE=-e^2+4e$.
设点F的坐标为$(f,0)$,且$f＞e$.
$\because$点G在直线AB:$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{21}{4}$上,
$\therefore G(f,-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4})$,
$\therefore FG=-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4}$.
$\because EH=2FG$,
$\therefore -e^2+4e=2(-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4})$,
整理得:$f=\dfrac{2e^2-8e+21}{3}$.
又$\because EF=f-e$,
$\therefore HE+EF+FG=(-e^2+4e)+(f-e)+(-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4})=\dfrac{17}{2}$,
将$f=\dfrac{2e^2-8e+21}{3}$代入,整理,得$5e^2-14e+9=0$,
解得$e_1=1,e_2=\dfrac{9}{5}$.
$\because e＜1.5$,
$\therefore e=\dfrac{9}{5}$不合题意,舍去,
$\therefore e=1$,
$\therefore$栅栏$EH$到铁路$l_2$的距离为1 km.
(2)设直线AB的函数表达式为:$y=kx+b$，
将$A(7,0),B(3,3)$代入,得$\begin{cases}7k+b=0,\\3k+b=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=\dfrac{21}{4},\end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数表达式为:$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{21}{4}$.
$\because$顶点C到$l_1$的距离为4 km,到$l_2$的距离为2 km,
$\therefore C(2,4)$,
$\therefore$设抛物线OCB的函数表达式为$y=a(x-2)^2+4$,
将$O(0,0)$代入得$0=4a+4$,
解得:$a=-1$,
$\therefore y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$,
$\therefore$抛物线OCB的函数表达式为:$y=-x^2+4x$.
(3)$\because$建1 km长栅栏的各项开支为2万元,建完栅栏需花费17万元,
$\therefore$栅栏总长为$\dfrac{17}{2}\ \mathrm{km}$,
$\therefore HE+EF+FG=\dfrac{17}{2}$.
设点E的坐标为$(e,0)$,且$0＜e＜3$,
$\because$点E到铁路$l_2$的距离小于1.5 km,
$\therefore e＜1.5$.
$\because$点H在抛物线$y=-x^2+4x$上,
$\therefore H(e,-e^2+4e)$,
$\therefore HE=-e^2+4e$.
设点F的坐标为$(f,0)$,且$f＞e$.
$\because$点G在直线AB:$y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{21}{4}$上,
$\therefore G(f,-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4})$,
$\therefore FG=-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4}$.
$\because EH=2FG$,
$\therefore -e^2+4e=2(-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4})$,
整理得:$f=\dfrac{2e^2-8e+21}{3}$.
又$\because EF=f-e$,
$\therefore HE+EF+FG=(-e^2+4e)+(f-e)+(-\dfrac{3}{4}f+\dfrac{21}{4})=\dfrac{17}{2}$,
将$f=\dfrac{2e^2-8e+21}{3}$代入,整理,得$5e^2-14e+9=0$,
解得$e_1=1,e_2=\dfrac{9}{5}$.
$\because e＜1.5$,
$\therefore e=\dfrac{9}{5}$不合题意,舍去,
$\therefore e=1$,
$\therefore$栅栏$EH$到铁路$l_2$的距离为1 km.
