登录
1. 某移动通信公司开设了两种市内通信费：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付费0.4元；“快捷通”使用者不缴月租费，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话时间为x分钟，两种方式的费用分别为$y_1$元和$y_2$元.
(1)分别写出$y_1$和$y_2$关于x的函数关系式，并在同一坐标系中画出两个函数图象.
(2)一个月内的通话时间为多少分钟时，两种通信方式的费用相等？
(3)某人估计一个月内的通话时间为300分钟，应选用哪种通信方式较合算？试以不等式、方程与函数图象结合等方法进行分析.
(1)分别写出$y_1$和$y_2$关于x的函数关系式，并在同一坐标系中画出两个函数图象.
(2)一个月内的通话时间为多少分钟时，两种通信方式的费用相等？
(3)某人估计一个月内的通话时间为300分钟，应选用哪种通信方式较合算？试以不等式、方程与函数图象结合等方法进行分析.
答案
(1)$y_1=50+0.4x$ $y_2=0.6x$ 作图略
(2)250分钟
(3)选用“全球通”比较合算
(2)250分钟
(3)选用“全球通”比较合算
解析
【分析】
本题是通信方案选择的实际应用问题，解题思路如下：
1. 写函数关系式：分别梳理两种通信方式的费用构成，“全球通”费用=固定月租+每分钟通话费×通话时长，“快捷通”费用=每分钟通话费×通话时长，据此直接列出函数式即可；
2. 求费用相等的通话时长：费用相等即两个函数值相等，将两个表达式联立为一元一次方程，求解即可得到对应时长；
3. 判断300分钟的最优方案：可以分别代入x=300计算两种方式的费用比较大小，也可以列不等式求y₁＜y₂时x的取值范围，再判断300是否在该范围内，还可以结合两个一次函数的图象位置，判断x=300时哪个函数值更低，三种方法都能得到结论。
【解析】
(1) “全球通”需先缴50元月租，每通话1分钟付0.4元，因此费用$y_1$与通话时间x的函数关系为：
$y_1 = 50 + 0.4x$（$x≥0$）
“快捷通”无月租，每通话1分钟付0.6元，因此费用$y_2$与通话时间x的函数关系为：
$y_2 = 0.6x$（$x≥0$）
作图：两个均为一次函数，$y_1$是过点$(0,50)$、斜率为0.4的射线，$y_2$是过原点、斜率为0.6的射线，在第一象限交于点$(250,150)$，作图略。
(2) 两种通信方式费用相等时，$y_1 = y_2$，列方程：
$50 + 0.4x = 0.6x$
移项得：$0.6x - 0.4x = 50$
合并同类项得：$0.2x = 50$
解得：$x = 250$
即通话250分钟时两种方式费用相等。
(3) 方法1（代入计算）：
当x=300时，
$y_1 = 50 + 0.4×300 = 170$（元）
$y_2 = 0.6×300 = 180$（元）
因为$170＜180$，所以选“全球通”更合算。
方法2（不等式法）：
若“全球通”更合算，则$y_1 ＜ y_2$，即：
$50 + 0.4x ＜ 0.6x$
解得$x＞250$
因为$300＞250$，所以此时“全球通”费用更低，更合算。
方法3（函数图象法）：
两个函数图象交点横坐标为250，当$x＞250$时，$y_1$的图象在$y_2$图象下方，即$y_1＜y_2$，300分钟属于$x＞250$的范围，因此选“全球通”更合算。
【答案】
(1)$y_1=50+0.4x$ $y_2=0.6x$ 作图略
(2)250分钟
(3)选用“全球通”比较合算
【知识点】
一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题紧密联系生活实际，考查了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的综合运用，解题的核心是准确梳理不同方案的费用构成，建立对应的数学模型，既可通过代数计算得出结论，也可结合函数图象的几何意义分析，能够有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.75
本题是通信方案选择的实际应用问题，解题思路如下：
1. 写函数关系式：分别梳理两种通信方式的费用构成，“全球通”费用=固定月租+每分钟通话费×通话时长，“快捷通”费用=每分钟通话费×通话时长，据此直接列出函数式即可；
2. 求费用相等的通话时长：费用相等即两个函数值相等，将两个表达式联立为一元一次方程，求解即可得到对应时长；
3. 判断300分钟的最优方案：可以分别代入x=300计算两种方式的费用比较大小，也可以列不等式求y₁＜y₂时x的取值范围，再判断300是否在该范围内，还可以结合两个一次函数的图象位置，判断x=300时哪个函数值更低，三种方法都能得到结论。
【解析】
(1) “全球通”需先缴50元月租，每通话1分钟付0.4元，因此费用$y_1$与通话时间x的函数关系为：
$y_1 = 50 + 0.4x$（$x≥0$）
“快捷通”无月租，每通话1分钟付0.6元，因此费用$y_2$与通话时间x的函数关系为：
$y_2 = 0.6x$（$x≥0$）
作图：两个均为一次函数，$y_1$是过点$(0,50)$、斜率为0.4的射线，$y_2$是过原点、斜率为0.6的射线，在第一象限交于点$(250,150)$，作图略。
(2) 两种通信方式费用相等时，$y_1 = y_2$，列方程：
$50 + 0.4x = 0.6x$
移项得：$0.6x - 0.4x = 50$
合并同类项得：$0.2x = 50$
解得：$x = 250$
即通话250分钟时两种方式费用相等。
(3) 方法1（代入计算）：
当x=300时，
$y_1 = 50 + 0.4×300 = 170$（元）
$y_2 = 0.6×300 = 180$（元）
因为$170＜180$，所以选“全球通”更合算。
方法2（不等式法）：
若“全球通”更合算，则$y_1 ＜ y_2$，即：
$50 + 0.4x ＜ 0.6x$
解得$x＞250$
因为$300＞250$，所以此时“全球通”费用更低，更合算。
方法3（函数图象法）：
两个函数图象交点横坐标为250，当$x＞250$时，$y_1$的图象在$y_2$图象下方，即$y_1＜y_2$，300分钟属于$x＞250$的范围，因此选“全球通”更合算。
【答案】
(1)$y_1=50+0.4x$ $y_2=0.6x$ 作图略
(2)250分钟
(3)选用“全球通”比较合算
【知识点】
一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题紧密联系生活实际，考查了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的综合运用，解题的核心是准确梳理不同方案的费用构成，建立对应的数学模型，既可通过代数计算得出结论，也可结合函数图象的几何意义分析，能够有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.75
2. 甲地有砂石200吨，乙地有砂石300吨，现要把这些砂石全部运往A，B两村.从甲地运往A，B两村运砂石的费用分别是每吨20元和25元，从乙地运往A，B两村运砂石的费用分别是每吨18元和24元，现在A村需要砂石220吨，B村需要砂石280吨，设甲地运往A村的砂石量为x吨，总运费为y元.
(1)求出总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式；
(2)怎样调运砂石，可使总运费最少？最少运费是多少元？
(1)求出总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式；
(2)怎样调运砂石，可使总运费最少？最少运费是多少元？
答案
(1)$y=20x+25(200-x)+18(220-x)+24(x+80)=x+10880(0≤ x≤ 200)$
(2)甲地运砂石200吨去B村,乙地运砂石220吨去A村,运80吨去B村,最少运费为10880元
(2)甲地运砂石200吨去B村,乙地运砂石220吨去A村,运80吨去B村,最少运费为10880元
解析
【分析】
(1) 求总运费y与x的函数关系式时，首先要明确4条运输路线的砂石量：已知甲地运往A村x吨，结合甲乙两地砂石总量、A和B两村的需求总量，可依次推导出甲地运往B村、乙地运往A村、乙地运往B村的砂石量，再对应乘以各路线的运费单价求和就能得到总运费表达式，最后根据运输量不能为负的实际要求确定x的取值范围。
(2) 得到一次函数关系式后，根据一次函数的增减性判断最值对应的x取值：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此要让总运费最少，只需取x的最小值，代入函数即可求出最小运费，再对应写出各路线的调运方案即可。
【解析】
(1) 根据题意分析各路线运输量：
甲地运往A村x吨，则甲地运往B村的砂石量为$(200-x)$吨；
A村共需220吨，因此乙地运往A村的砂石量为$(220-x)$吨；
乙地共有砂石300吨，因此乙地运往B村的砂石量为$300-(220-x)=(x+80)$吨。
总运费为各路线运费之和，列式得：
$\begin{aligned}y &= 20x + 25(200-x) + 18(220-x) + 24(x+80) \\&= 20x + 5000 -25x + 3960 -18x +24x +1920 \\&= x + 10880\end{aligned}$
结合运输量非负的要求，得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\ 200-x≥0 \\ 220-x≥0 \\ x+80≥0\end{cases}$，解得$0≤ x≤200$
因此总运费y与x的函数关系式为$y=x+10880(0≤ x≤200)$。
(2) 一次函数$y=x+10880$中，一次项系数$k=1＞0$，因此y随x的增大而增大，要使总运费最小，x应取最小值，即$x=0$。
将$x=0$代入函数得最小运费：$y=0+10880=10880$元。
对应调运方案：甲地运往B村$200-0=200$吨，乙地运往A村$220-0=220$吨，乙地运往B村$0+80=80$吨。
【答案】
(1)$y=x+10880(0≤ x≤ 200)$
(2)甲地运砂石200吨去B村,乙地运砂石220吨去A村,运80吨去B村,最少运费为10880元
【知识点】
一次函数的应用；一次函数的性质；最优方案设计
【点评】
本题是一次函数实际应用的常见题型，解题的关键是梳理清楚各运输路径的货物数量，准确列出函数解析式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解最值。
【难度系数】
0.7
(1) 求总运费y与x的函数关系式时，首先要明确4条运输路线的砂石量：已知甲地运往A村x吨，结合甲乙两地砂石总量、A和B两村的需求总量，可依次推导出甲地运往B村、乙地运往A村、乙地运往B村的砂石量，再对应乘以各路线的运费单价求和就能得到总运费表达式，最后根据运输量不能为负的实际要求确定x的取值范围。
(2) 得到一次函数关系式后，根据一次函数的增减性判断最值对应的x取值：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此要让总运费最少，只需取x的最小值，代入函数即可求出最小运费，再对应写出各路线的调运方案即可。
【解析】
(1) 根据题意分析各路线运输量：
甲地运往A村x吨，则甲地运往B村的砂石量为$(200-x)$吨；
A村共需220吨，因此乙地运往A村的砂石量为$(220-x)$吨；
乙地共有砂石300吨，因此乙地运往B村的砂石量为$300-(220-x)=(x+80)$吨。
总运费为各路线运费之和，列式得：
$\begin{aligned}y &= 20x + 25(200-x) + 18(220-x) + 24(x+80) \\&= 20x + 5000 -25x + 3960 -18x +24x +1920 \\&= x + 10880\end{aligned}$
结合运输量非负的要求，得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\ 200-x≥0 \\ 220-x≥0 \\ x+80≥0\end{cases}$，解得$0≤ x≤200$
因此总运费y与x的函数关系式为$y=x+10880(0≤ x≤200)$。
(2) 一次函数$y=x+10880$中，一次项系数$k=1＞0$，因此y随x的增大而增大，要使总运费最小，x应取最小值，即$x=0$。
将$x=0$代入函数得最小运费：$y=0+10880=10880$元。
对应调运方案：甲地运往B村$200-0=200$吨，乙地运往A村$220-0=220$吨，乙地运往B村$0+80=80$吨。
【答案】
(1)$y=x+10880(0≤ x≤ 200)$
(2)甲地运砂石200吨去B村,乙地运砂石220吨去A村,运80吨去B村,最少运费为10880元
【知识点】
一次函数的应用；一次函数的性质；最优方案设计
【点评】
本题是一次函数实际应用的常见题型，解题的关键是梳理清楚各运输路径的货物数量，准确列出函数解析式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解最值。
【难度系数】
0.7
