登录
5.某市为了鼓励节约用水，按以下规定收水费。
(1)若每户每月用水量不超过20m³，则每立方米水费为2.4元。
(2)若每户每月用水量超过20m³，则超过的部分每立方米水费为4元。
设某户一个月所交水费为y(元)，用水量为x(m³)，则y与x的函数关系用图象表示为 (
(1)若每户每月用水量不超过20m³，则每立方米水费为2.4元。
(2)若每户每月用水量超过20m³，则超过的部分每立方米水费为4元。
设某户一个月所交水费为y(元)，用水量为x(m³)，则y与x的函数关系用图象表示为 (
C
)答案
5.C
解析
【分析】
这是分段计费的函数图象问题，解题时先按收费规则分两段分析函数关系：第一步，先分析用水量不超过20m³的情况，此时水费随用水量增加匀速上涨，计算出20m³对应的水费，确定第一段图象的端点；第二步，分析用水量超过20m³的情况，此时超出部分单价更高，因此图象的倾斜程度会比第一段更陡，同时水费随用水量增加只会上涨，不会下降或不变；最后结合特征排除错误选项即可。
【解析】
我们分两段分析y与x的函数关系：
1. 当$0≤ x≤20$时，每立方米水费2.4元，因此$y=2.4x$，是正比例函数。当$x=20$时，$y=2.4×20=48$元，即第一段图象是连接$(0,0)$和$(20,48)$的线段。
2. 当$x＞20$时，前20m³水费为48元，超出部分每立方米4元，因此$y=48+4(x-20)=4x-32$，是一次函数，且斜率4大于第一段的斜率2.4，所以第二段图象比第一段更陡，且y随x增大而增大。
接下来排除错误选项：
选项A：两段图象倾斜程度相同，不符合超出部分单价更高的规则，错误；
选项B：用水量超过20后水费下降，不符合实际，错误；
选项D：用水量超过20后水费不变，不符合实际，错误；
只有选项C符合上述两段图象的特征。
【答案】
C
【知识点】
分段函数，一次函数图象，函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的水费计费场景考查分段函数的图象识别，解题核心是根据不同区间的计费规则判断函数图象的走势和倾斜程度，也可结合生活常识直接排除不符合实际的错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
这是分段计费的函数图象问题，解题时先按收费规则分两段分析函数关系：第一步，先分析用水量不超过20m³的情况，此时水费随用水量增加匀速上涨，计算出20m³对应的水费，确定第一段图象的端点；第二步，分析用水量超过20m³的情况，此时超出部分单价更高，因此图象的倾斜程度会比第一段更陡，同时水费随用水量增加只会上涨，不会下降或不变；最后结合特征排除错误选项即可。
【解析】
我们分两段分析y与x的函数关系：
1. 当$0≤ x≤20$时，每立方米水费2.4元，因此$y=2.4x$，是正比例函数。当$x=20$时，$y=2.4×20=48$元，即第一段图象是连接$(0,0)$和$(20,48)$的线段。
2. 当$x＞20$时，前20m³水费为48元，超出部分每立方米4元，因此$y=48+4(x-20)=4x-32$，是一次函数，且斜率4大于第一段的斜率2.4，所以第二段图象比第一段更陡，且y随x增大而增大。
接下来排除错误选项：
选项A：两段图象倾斜程度相同，不符合超出部分单价更高的规则，错误；
选项B：用水量超过20后水费下降，不符合实际，错误；
选项D：用水量超过20后水费不变，不符合实际，错误；
只有选项C符合上述两段图象的特征。
【答案】
C
【知识点】
分段函数，一次函数图象，函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的水费计费场景考查分段函数的图象识别，解题核心是根据不同区间的计费规则判断函数图象的走势和倾斜程度，也可结合生活常识直接排除不符合实际的错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
▲6.生物学家研究表明,某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数,当蛇的尾长为6cm时,蛇长45.5cm;当尾长为14cm时,蛇长为105.5cm.当一条蛇的尾长为10cm时,这条蛇的长度是
75.5
cm.答案
75.5
解析
【分析】
题目明确说明蛇的长度y是尾长x的一次函数，因此我们可以用待定系数法先求出一次函数的解析式，再将x=10代入解析式计算即可得到对应的蛇长。解题思路为：第一步设一次函数的一般形式；第二步代入已知的两组x、y值，列出二元一次方程组；第三步解方程组得到系数k和b，确定函数解析式；第四步代入目标x值计算得到结果。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=6,y=45.5$和$x=14,y=105.5$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}6k + b = 45.5 ①\\14k + b = 105.5 ②\end{cases}$
用②-①消去b，得：$8k=60$，解得$k=7.5$。
将$k=7.5$代入①，得：$6×7.5 + b=45.5$，解得$b=0.5$。
因此函数解析式为$y=7.5x + 0.5$。
当$x=10$时，$y=7.5×10 + 0.5=75.5$。
【答案】
75.5
【知识点】
一次函数应用；待定系数法；代入求值
【点评】
本题是一次函数的基础应用型题目，主要考查对用待定系数法求函数解析式方法的掌握，解题过程中仔细计算，避免方程组求解和代入计算的失误即可得分。
【难度系数】
0.8
题目明确说明蛇的长度y是尾长x的一次函数，因此我们可以用待定系数法先求出一次函数的解析式，再将x=10代入解析式计算即可得到对应的蛇长。解题思路为：第一步设一次函数的一般形式；第二步代入已知的两组x、y值，列出二元一次方程组；第三步解方程组得到系数k和b，确定函数解析式；第四步代入目标x值计算得到结果。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=6,y=45.5$和$x=14,y=105.5$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}6k + b = 45.5 ①\\14k + b = 105.5 ②\end{cases}$
用②-①消去b，得：$8k=60$，解得$k=7.5$。
将$k=7.5$代入①，得：$6×7.5 + b=45.5$，解得$b=0.5$。
因此函数解析式为$y=7.5x + 0.5$。
当$x=10$时，$y=7.5×10 + 0.5=75.5$。
【答案】
75.5
【知识点】
一次函数应用；待定系数法；代入求值
【点评】
本题是一次函数的基础应用型题目，主要考查对用待定系数法求函数解析式方法的掌握，解题过程中仔细计算，避免方程组求解和代入计算的失误即可得分。
【难度系数】
0.8
7.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系是一次函数.现记录如表.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数表达式；
(2)求销售价定为30元时,每日的销售量为多少件？
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数表达式；
(2)求销售价定为30元时,每日的销售量为多少件？
答案
(1)$y=-x+40$
(2)10件
(2)10件
解析
【分析】
（1）已知y是x的一次函数，可设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数表达式，最后代入第三组数据验证正确性即可。
（2）将$x=30$代入第（1）问求出的函数表达式中，计算对应的y值，就是售价30元时的每日销售量。
【解析】
（1）设日销售量y与销售价x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=15\\y=25\end{cases}$和$\begin{cases}x=20\\y=20\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}15k + b = 25 \\20k + b = 20 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$5k=-5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$15k + b =25$，得：$-15 + b =25$，解得$b=40$，
所以函数表达式为$y=-x+40$，
验证：当$x=25$时，$y=-25+40=15$，与表格数据一致，表达式正确。
（2）当销售价定为30元时，即$x=30$，代入$y=-x+40$得：
$y=-30+40=10$（件）
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-x+40}$
(2)$\boldsymbol{10}$件
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的代入求值
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，再结合函数解析式代入数值计算即可，解题时注意选取数值代入后要验证结果是否符合剩余数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）已知y是x的一次函数，可设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数表达式，最后代入第三组数据验证正确性即可。
（2）将$x=30$代入第（1）问求出的函数表达式中，计算对应的y值，就是售价30元时的每日销售量。
【解析】
（1）设日销售量y与销售价x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=15\\y=25\end{cases}$和$\begin{cases}x=20\\y=20\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}15k + b = 25 \\20k + b = 20 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$5k=-5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$15k + b =25$，得：$-15 + b =25$，解得$b=40$，
所以函数表达式为$y=-x+40$，
验证：当$x=25$时，$y=-25+40=15$，与表格数据一致，表达式正确。
（2）当销售价定为30元时，即$x=30$，代入$y=-x+40$得：
$y=-30+40=10$（件）
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-x+40}$
(2)$\boldsymbol{10}$件
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的代入求值
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，再结合函数解析式代入数值计算即可，解题时注意选取数值代入后要验证结果是否符合剩余数据，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
8.为了学生的身体健康，学校课桌凳的高都是按一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一批课桌凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度，于是他测量了一套课桌与凳子相对应的四档高度，得到如下数据.
(1)你能经过对数据研究判断桌高$y$与凳高$x$是不是一次函数关系吗？若是，请求其关系式；若不是，请说出理由.
★(2)小明回家后测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由.
(1)你能经过对数据研究判断桌高$y$与凳高$x$是不是一次函数关系吗？若是，请求其关系式；若不是，请说出理由.
★(2)小明回家后测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由.
答案
(1)是,$y=1.6x+10.8$
(2)不配套,写字台高度应为 80.4cm
(2)不配套,写字台高度应为 80.4cm
解析
【分析】
对于第(1)问，一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，我们可以先假设桌高$y$与凳高$x$是一次函数关系，选取表格中两组数据用待定系数法求出$k$、$b$的值，再将剩余两组数据代入所得解析式验证，若都符合则说明是一次函数，即可得到对应的函数关系式。对于第(2)问，将凳子高度代入已求出的解析式，算出对应的标准桌高，与实际写字台高度对比，即可判断是否配套。
【解析】
(1) 假设桌高$y$与凳高$x$满足一次函数关系，设解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
选取表格中第一档、第二档数据$\begin{cases}x=37.0,y=70.0\\x=40.0,y=74.8\end{cases}$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}37k + b = 70 \\40k + b = 74.8\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=4.8$，解得$k=1.6$。
将$k=1.6$代入$37k + b = 70$，得$37×1.6 + b=70$，解得$b=10.8$。
得到解析式为$y=1.6x+10.8$，验证剩余两组数据：
当$x=42.0$时，$y=1.6×42+10.8=78.0$，与表格数据一致；
当$x=45.0$时，$y=1.6×45+10.8=82.8$，与表格数据一致。
因此桌高$y$与凳高$x$是一次函数关系，关系式为$y=1.6x+10.8$。
(2) 将凳高$x=43.5$代入$y=1.6x+10.8$，得：
$y=1.6×43.5+10.8=80.4$（cm）
由于计算得到的配套桌高为80.4cm，与实际写字台高度77cm不相等，因此它们不配套。
【答案】
(1) 是一次函数关系，$\boldsymbol{y=1.6x+10.8}$
(2) 不配套，凳高为43.5cm时配套的桌高应为80.4cm，与77cm不符
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的相关知识，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，注意求出解析式后要验证所有数据是否匹配，再利用解析式的对应关系解决实际判断问题，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，我们可以先假设桌高$y$与凳高$x$是一次函数关系，选取表格中两组数据用待定系数法求出$k$、$b$的值，再将剩余两组数据代入所得解析式验证，若都符合则说明是一次函数，即可得到对应的函数关系式。对于第(2)问，将凳子高度代入已求出的解析式，算出对应的标准桌高，与实际写字台高度对比，即可判断是否配套。
【解析】
(1) 假设桌高$y$与凳高$x$满足一次函数关系，设解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
选取表格中第一档、第二档数据$\begin{cases}x=37.0,y=70.0\\x=40.0,y=74.8\end{cases}$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}37k + b = 70 \\40k + b = 74.8\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=4.8$，解得$k=1.6$。
将$k=1.6$代入$37k + b = 70$，得$37×1.6 + b=70$，解得$b=10.8$。
得到解析式为$y=1.6x+10.8$，验证剩余两组数据：
当$x=42.0$时，$y=1.6×42+10.8=78.0$，与表格数据一致；
当$x=45.0$时，$y=1.6×45+10.8=82.8$，与表格数据一致。
因此桌高$y$与凳高$x$是一次函数关系，关系式为$y=1.6x+10.8$。
(2) 将凳高$x=43.5$代入$y=1.6x+10.8$，得：
$y=1.6×43.5+10.8=80.4$（cm）
由于计算得到的配套桌高为80.4cm，与实际写字台高度77cm不相等，因此它们不配套。
【答案】
(1) 是一次函数关系，$\boldsymbol{y=1.6x+10.8}$
(2) 不配套，凳高为43.5cm时配套的桌高应为80.4cm，与77cm不符
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的相关知识，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，注意求出解析式后要验证所有数据是否匹配，再利用解析式的对应关系解决实际判断问题，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
